浙江省中考数学总复习 第二章 方程与不等式 第7讲 二元一次方程组及其应用讲解篇.docx

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浙江省中考数学总复习第二章方程与不等式第7讲二元一次方程组及其应用讲解篇

第7讲　二元一次方程组及其应用

二元一次方程组及解法

考试内容

考试

要求

二元一次方程的概念

含有未知数，并且未知项的次数是的整式方程叫做二元一次方程．

a

b

二元一次方程组的概念

一般地，含有的未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

二元一次方程组的解

二元一次方程组的两个方程的，叫做二元一次方程组的解．

二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的方法步骤：

二元一次方程组

____________________方程．

消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有消元法和消元法两种．

c

考试内容

考试

要求

基本

思想

化归与转化思想：

解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即化“二元”为“一元”，这种方法体现了数学研究中的化归思想，具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，本部分的二元一次方程组问题一般通过“消元”转化为一元一次方程问题解决．

c

基本

方法

两个方法：

①代入消元法；②加减消元法．若方程组其中一个方程中的未知数系数为1或－1，则直接采用代入消元法求解；若相同未知数的系数相等或互为相反数时，则直接采用加减消元法求解．

b

c

1．（2017·舟山）若二元一次方程组

的解为

则a－b＝（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．1B．3C．－

D.

2．（2016·温州）已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（　　）

A.

B.

C.

D.

3．（2016·金华）解方程组

【问题】对于二元一次方程2x＋y＝10.

（1）求其正整数解；

（2）若x＋y＝7，求x，y的值；

（3）对于

（1）、

（2）中的x，y值的求法，你有何体会？

.

　【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二元一次方程整数解类问题；会选择并运用代入、加减消元法解二元一次方程组．

类型一　二元一次方程（组）的有关概念

（1）（2016·永康模拟）已知

是关于x，y的二元一次方程x－ay＝3的一个解，则a的值为（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．1B．－1C．2D．－2

（2）（2017·南宁）已知

是方程组

的解，则3a－b＝________；

（3）已知关于x，y的方程组

的解为

则m＝________，n＝________.

【解后感悟】

（1）解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程；

（2）解题的关键是观察两方程的系数，从而求出3a－b的值；（3）通过二元一次方程组的解的概念，转化为解m，n的二元一次方程组，并且会用代入消元法或加减消元法解方程组．注意“消元法”的运用．

1．

（1）（2016·毕节）已知关于x，y的方程x2m－n－2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（　　）

A．m＝1，n＝－1

B．m＝－1，n＝1

C．m＝

，n＝－

D．m＝－

，n＝

（2）已知x、y是二元一次方程组

的解，则代数式x2－4y2的值为____________________．

类型二　二元一次方程（组）的解法

　解方程（组）：

（1）方程x＋3y＝9的正整数解是________；

（2）（2015·成都）

（2）

【解后感悟】二元一次方程的解法，把一个未知数的代数式表示另一个末知数是解题的关键．对于二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．

2．解方程组：

（1）（2015·聊城）

（2）1－6x＝

＝

.

类型三　二元一次方程组的综合问题

　已知方程组

与

的解相同，求a，b的值．

【解后感悟】几个方程（组）同解，可选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程（或方程组），解方程（或方程组）即可．

　（2016·枣庄）Pn表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么Pn与n的关系式是：

Pn＝

·（n2－an＋b）（其中，a，b是常数，n≥4）

（1）通过画图，可得四边形时，P4＝　　　　　　　　（填数字）；五边形时，P5＝

　　　　　　　　（填数字）；

（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．

【解后感悟】先通过数形结合和特殊数据来解决简单问题，再利用上述方法构建二元一次方程组模型解决一般性问题．

3．已知方程组

的解x，y的和为12，求n的值．

4.当m取什么值时，方程x＋2y＝2，2x＋y＝7，mx－y＝0有公共解．

类型四　二元一次方程组的应用

　（2015·佛山）某景点的门票价格如下表：

购票人数/人

1－50

51－100

100以上

每人门票价/元

12

10

8

某校七年级

（1）、

（2）两班计划去游览该景点，其中

（1）班人数少于50人，

（2）班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．

（1）两个班各有多少名学生？

（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？

【解后感悟】本题是二元一次方程组解决实际问题的运用和分类思想的应用．解答时注意分两班人数和多于50人且少于100人和两班人数和多于100人两种情况讨论．

5．八

（1）班五位同学参加学校举办的数学竞赛，试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况（E同学只记得有7道题未答），具体如下表：

参赛同学

答对题数

答错题数

未答题数

A

19

0

1

B

17

2

1

C

15

2

3

D

17

1

2

E

/

/

7

（1）根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；

（2）最后获知：

A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分．

①求E同学的答对题数和答错题数；

②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩平均分是80.75分，与

（1）中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况．请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况（直接写出答案即可）．

【实际应用题】

1．（2017·自贡）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：

“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？

”意思是：

有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？

设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组__________________．

2．（2017·济宁）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：

甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的

，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？

设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是____________．

【方法与对策】这是两道数学史的材料题，构建二元一次方程组来解决实际问题，关键是揭示数量关系．该题型是中考命题的一种形式．

【二元一次方程的解，二元一次方程组的解理解不清】

方程组

的解对方程2x－3y＝－5而言（　　）

A．是这个方程的唯一解

B．是这个方程的一个解

C．不是这个方程的解

D．以上结论都不对

参考答案

第7讲　二元一次方程组及其应用

【考点概要】

两个　1　相同　两个　公共解　一元一次　代入　加减

【考题体验】

1．D　

2.A　

3.

【知识引擎】

【解析】

（1）

（2）

　（3）对于

（1）只要把方程变形为用一个未知数的代数式来表示另一个未知数，然后利用正整数解这个条件来求；对于

（2）是解方程组，其基本思想是“消元”，体现了数学的化归思想．消元的方法根据方程组的结构特点，选择代入消元法或加减消元法．

【例题精析】

例1　

（1）B；

（2）5；（3）m＝5，n＝1.　例2　

（1）解得：

x＝－3y＋9，当y＝1时，x＝6；当y＝2时，x＝3；故正整数解是

（2）两式相加得4x＝4，解得x＝1，将x＝1代入第一个式子，解得y＝2，所以方程组的解为

（3）方程组可化为

由②得，x＝5y－3③，③代入①得，5（5y－3）－11y＝－1，解得y＝1，把y＝1代入③得，x＝5－3＝2，所以，原方程组的解是

　例3　由题意得

解之得

把

代入

得

整理得

解得

例4　

（1）由画图，可得当n＝4时，P4＝1；当n＝5时，P5＝5.

（2）将上述数值代入公式，得

解之，得

例5　

（1）设七年级

（1）班有x名学生，七年级

（2）班有y名学生，若两班人数和多于50人且少于100人，有

解得

不合题意，舍去．若两班人数和多于100人，有

解得

答：

七年级

（1）班有49名学生，七年级

（2）班有53名学生．　

（2）∵49×（12－8）＝196，53×（10－8）＝106，∴团体购票与单独购票相比较，七年级

（1）班节约了196元，七年级

（2）班节约了106元．

【变式拓展】

1．

（1）A　

（2）

　2.

（1）

（2）

　3.解法一：

解方程组

得

又∵x＋y＝12，∴（2n－6）＋（－n＋4）＝12，n＝14.

解法二：

已知方程组

②－①，得x＋2y＝2，∵x＋y＝12，∴

把

代入①，得n＝2×22＋3×（－10）＝44－30＝14.　4.m＝－

.　5.

（1）82.5分．　

（2）①设E同学答对x题，答错y题，由题意得

解得

答：

E同学答对12题，答错1题．　②C同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题．

【热点题型】

1．【分析与解】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式，则可以列方程组：

2．【分析与解】根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的

，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组

【错误警示】

B.理由：

由上述解法可知

是方程2x－3y＝－5的一个解．