初一教案有理数及其运算 1.docx
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初一教案有理数及其运算1
第二章有理数及其运算
一、有理数的认识
1.是否存在满足下面条件的数，存在的话，把它们写出来：
（1）最小的正有理数：
（2）最小的负整数：
（3）最大的非整数：
（4）最小的整数：
（5）最大的负有理数：
（6）最小的有理数：
考点：
有理数．
分析：
没有最大的整数，也没有最小的负数，但有最大的负整数和最小的正整数，1，0，-1这三个数比较特殊．
解答：
解：
（1）最小的正有理数：
不存在；
（2）最小的负整数：
不存在；
（3）最大的非整数：
-1；
（4）最小的整数：
不存在；
（5）最大的负有理数：
不存在；
（6）最小的有理数：
不存在；
点评：
本题考查了有理数的性质，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．特别注意：
1，-1，0这3个数．
2.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：
-
1
3
，0.618，-3.14，260，-2001，
6
7
，-1，-53%，0
考点：
有理数；正数和负数．
分析：
大于0的数是正数；小于0的数是负数；正整数，0，负整数统称整数．
解答：
解：
点评：
考查有理数中数的分类问题；掌握各类数的特征是解决本题的关键；注意0既不是正数，也不是负数
3．已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，且|a|＞|b|＞|c|，下列式子中正确的是（ ）
A．a+b+c＜0
B．a+b＞c
C．b+c＜a
D．以上答案都不对
考点：
有理数的加法；数轴；绝对值．
专题：
计算题；数形结合．
分析：
根据数轴的三要素可得，a＜0，c＜0，b＞0，a＜c，进而得出a+c＜0，然后根据|a|＞|b|＞|c|，即可解得答案．
解答：
解：
∵a＜0，c＜0，b＞0，a＜c
∴a+c＜0
又∵|a|＞|b|＞|c|，
∴a+b+c＜0．
故选A．
点评：
此题主要考查学生对有理数加法，数轴和绝对值的理解和掌握．
4.如果a，b，c是三个任意的整数，那么在
a+b
2
，
b+c
2
，
c+a
2
这三个数中至少会有几个整数？
请利用整数的奇偶性简单说明理由．
考点：
有理数．
分析：
首先任何一个整数只有两种可能，不是奇数，就是偶数，所以a，b，c至少会有2个数的奇偶性相同，这样就可以判断至少会有一个整数．
解答：
解：
至少会有一个整数．
根据整数的奇偶性：
两个整数相加除以2可以判定三种情况：
奇数+偶数=奇数，如果除以2，不等于整数．
奇数+奇数=偶数，如果除以2，等于整数．
偶数+偶数=偶数，如果除以2，等于整数．
故讨论a，b，c的四种情况：
全是奇数：
则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2全是整数
全是偶数：
则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2全是整数
一奇两偶：
则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2一个整数
一偶两奇：
则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2一个整数
∴综上所述，所以至少会有一个整数．
点评：
此题主要考查了整数的奇偶性．注意：
奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数．
二、数抽相反数绝对值
1.如图，数轴上的点A、O、B、C、D分别表示-3，0，2.5，5，-6，
回答下列问题．
（1）O、B两点间的距离是
2.5
2.5
．
（2）A、D两点间的距离是
3
3
．
（3）C、B两点间的距离是
2.5
2.5
．
（4）请观察思考，若点A表示数m，且m＜0，点B表示数n，且n＞0，
那么用含m，n的代数式表示A、B两点间的距离是
n-m
n-m
．
考点：
数轴．
分析：
首先由题中的数轴得到各点的坐标，坐标轴上两点的距离为两数坐标差的绝对值．
解答：
解：
（1）B，O的距离为|2.5-0|=2.5
（2）A、D两点间的距离|-3-（-6）|=3
（3）C、B两点间的距离为：
2.5
（4）A、B两点间的距离为|m-n|=n-m．
点评：
数轴上两点的距离为两数的距离为两数的绝对值，两点的距离为一个正数．
2.已知a，b，c的位置如图，化简：
|a-b|+|b+c|+|c-a|=
-2a
-2a
．
考点：
数轴；绝对值；有理数的加法．
分析：
先根据数轴上的大小关系确定绝对值符号内代数式的正负情况a-b＜0，b+c＜0，c-a＞0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解．注意：
数轴上的点右边的总比左边的大．
解答：
解：
由数轴可知a＜c＜0＜b，所以a-b＜0，b+c＜0，c-a＞0，则
|a-b|+|b+c|+|c-a|=b-a-b-c+c-a=-2a．
点评：
此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．要注意先确定绝对值符号内代数式的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算．
3.已知a与l-2b互为相反数，则代数式2a-4b-3的值是
-5
-5
．
考点：
相反数；代数式求值．
专题：
整体思想．
分析：
根据相反数的意义得出a+1-2b=0，求出a-2b的值，变形后代入即可．
解答：
解：
∵a与l-2b互为相反数，
∴a+1-2b=0，
∴a-2b=-1，
∴2a-4b-3=2（a-2b）-3=2×（-1）-3=-5．
故答案为：
-5．
4.已知：
abc≠0，且M=
|a|
a
+
|b|
b
+
|c|
c
，当a，b，c取不同值时，M有
4
4
种不同可能．
当a、b、c都是正数时，M=
3
3
；
当a、b、c中有一个负数时，则M=
1
1
；
当a、b、c中有2个负数时，则M=
-1
-1
；
当a、b、c都是负数时，M=
-3
-3
．
考点：
绝对值．
分析：
根据abc≠0，可以知道，a、b、c一定不可能是0，可以分三个中都是正数，只有一个负数，有2个负数，3个都是负数，4种情况进行讨论即可．
解答：
解：
当a、b、c中都是正数时，M=1+1+1=3；
当a、b、c中有一个负数时，不妨设a是负数，则M=-1+1+1=1；
当a、b、c中有2个负数时，不妨设a，b是负数，则M=-1-1+1=-1；
当a、b、c都是负数时，M=-1-1-1=-3；
故M有4种不同结果．
点评：
正确对三个字母的符号进行讨论是解决本题的关键．
5.已知|2-b|与|a-b+4|互为相反数，求2008-ab的值．
考点：
非负数的性质：
绝对值；相反数．
分析：
已知两个非负数互为相反数，即它们的和为0，根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出2008-ab的值．
解答：
解：
由题意，得：
|2-b|+|a-b+4|=0；
则有：
2-b=0
a-b+4=0
，
解得
a=-2
b=2
；
因此2008-ab=2012．
点评：
初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
6.有理数a，b，c，d使
|abcd|
abcd
=-1，则
|a|
a
+
|b|
b
+
|c|
c
+
|d|
d
的最大值是
2
2
．
考点：
绝对值．
专题：
分类讨论．
分析：
根据绝对值的运用判断出有理数a，b，c，d中负数的个数，然后分别讨论求出最大值．
解答：
解：
∵
|abcd|
abcd
=-1，
∴有理数a，b，c，d中负数为奇数个．
①若有理数a，b，c，d有一个负三个正，
则
|a|
a
+
|b|
b
+
|c|
c
+
|d|
d
=2；
②若有理数a，b，c，d有三个负一个正，
则
|a|
a
+
|b|
b
+
|c|
c
+
|d|
d
=-2；
所以
|a|
a
+
|b|
b
+
|c|
c
+
|d|
d
的最大值是2．
故答案为：
2．
点评：
本题主要考查了绝对值的运用，采用分类讨论的思想进行解题．
7.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，则
a+b
m
+m2-cd的值是
3
3
．
考点：
倒数；相反数；绝对值．
分析：
首先根据考查了倒数、相反数、绝对值的意义，得到：
a+b=0，cd=1，|m|=2，再整体代入求解即可．
解答：
解：
∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b=0，cd=1，|m|=2，
∴m2=4，
若m=2，则
a+b
m
+m2-cd=
0
2
+4-1=3，
若m=-2，则
a+b
m
+m2-cd=
0
-2
+4-1=3，
∴
a+b
m
+m2-cd=3．
故答案为：
3．
点评：
此题考查了倒数、相反数、绝对值的意义．注意整体思想的应用．
8.若a=
2007
2008
，b=
2008
2009
，则a，b的大小关系是a
＜
＜
b．
考点：
有理数大小比较．
分析：
已知a，b的值，并且求出a，b的倒数比较大小，从而得到a、b的值．
解答：
解：
∵
1
a
=1
1
2007
，
1
b
=1
1
2008
，
∴
1
a
＞
1
b
，
∴a，b的大小关系是a＜b．
点评：
在计算此类题目时要把它们均化成小数的形式再比较．
三、有理数加减法及其混合运算
1.观察下面的几个算式：
1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=
10000
10000
．
考点：
有理数的加法．
专题：
规律型．
分析：
观察可得规律：
结果等于中间数的平方．
解答：
解：
根据观察可得规律：
结果等于中间数的平方．
∴1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=1002=10000．
点评：
解本题的关键在于根据给出的算式，找到规律，并应用到解题中．
2.计算3+5+7+9+…+195+197+199的值是（ ）
A．9699
B．9999
C．9899
D．9799
考点：
有理数的加法．
专题：
规律型．
分析：
首先要观察找规律：
都是连续奇数．因此可让首尾两个数相加，共有（199+1）÷2-1=99个数，即共有49对202和正中间的99+2=101，所以原式=202×49+101=9999．
解答：
解：
∵都是连续奇数，
∴共有（199+1）÷2-1=99个数，即：
共有49对202和正中间的99+2=101，
∴原式=202×49+101=9999．
故选B．
点评：
在连续奇数从1加到n中：
有
n+1
2
个奇数．这里从3开始，故要减去一个．
3.计算1-2+3-4+5-6+…+2007-2008的结果是（ ）
A．-2008
B．-1004
C．-1
D．0
考点：
有理数的加减混合运算．
专题：
规律型．
分析：
认真审题不难发现：
相邻两数之差为-1，整个计算式中共有2008个数据，所以可以得到2008÷2=1004个-1．
解答：
解：
1-2+3-4+5-6+…+2007-2008
=（1-2）+（3-4）+（5-6）+…+（2007-2008）
=（-1）×1004
=-1004．
故选B．
点评：
本题是寻找规律题，认真审题，找出规律，是解决此类问题的关键所在．
4.计算：
-1+3-5+7-9+11-…-1989+1991-1993=（ ）
A．997
B．-996
C．996
D．-997
考点：
有理数的加减混合运算．
专题：
规律型．
分析：
两项结合在一起进行运算，将原式变为（3-1）+（7-5）…+（1993-1991），从而可得出答案．
解答：
解：
原式=3-1+7-5+11-9++1991-1989-1993，
=2+2++2（共498个2）-1993，
=-997．
故选D．
点评：
本题考查有理数的加减运算，有一定的难度，关键是找到运算的方法．
5.计算：
|
1
2010
-
1
2009
|+|
1
2011
-
1
2010
|+|
1
2012
-
1
2011
|-|
1
2012
-
1
2009
|=
0
0
．
考点：
有理数的加减混合运算；绝对值．
专题：
计算题．
分析：
根据一个负数的绝对值等于它的相反数先去绝对值符号，再计算即可．
解答：
解：
原式=
1
2009
-
1
2010
+
1
2010
-
1
2011
+
1
2011
-
1
2012
-
1
2009
+
1
2012
，
=0，
故答案为0．
点评：
本题考查了有理数的加减运算和绝对值的应用，注意：
一个负数的绝对值等于它的相反数．
6.三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a的形式，也可以表示为0，
b
a
，b的形式，试求a2000+b2001的值．
考点：
有理数无理数的概念与运算．
专题：
计算题．
分析：
根据三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，
b
a
，b的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a+b与a中有一个是0，
b
a
与b中有一个是1，再根据分式有意义的条件判断出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
解答：
解：
∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，
b
a
，b的形式，
∴这两个数组的数分别对应相等．
∴a+b与a中有一个是0，
b
a
与b中有一个是1，但若a=0，会使
b
a
无意义，
∴a≠0，只能a+b=0，即a=-b，于是
b
a
=-1．只能是b=1，于是a=-1．
∴原式=（-1）2000+12001=1+1=2．
故答案为：
2．
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