初中数学《特殊的平行四边形》教学设计.docx

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初中数学《特殊的平行四边形》教学设计

《特殊的平行四边形》教学设计

【教学目标】

1.知识技能：

掌握矩形、菱形和正方形概念、性质和判定方法，理解它们与平行四边形的区别与联系，会用这些定理进行有关的论证和计算.

2.数学思考：

经历探索矩形、菱形和正方形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法.

3.问题解决：

了解矩形、菱形和正方形的现实应用和常用判别条件.探索并掌握矩形、菱形和正方形的性质和判定并应用解决实际问题.

4.情感态度：

培养良好的思维意识以及合情推理的能力，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

【教学重点】

矩形、菱形和正方形的定义性质和判定及矩形、菱形和正方形与平行四边形的联系．

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的.它们的探索方法，也都与平行四边形性质和判定的探索方法一脉相承.也都是以平行四边形的有关定理为依据的，是平行四边形知识的综合应用.

【教学难点】

灵活应用矩形、菱形和正方形性质和判别在实际生活中的应用能力.

平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别，则是本章的教学难点.因为各种平行四边形概念交错，容易混淆，常会出现“张冠李戴”的现象.在应用它们的性质和判定的时候，也常常会出现用错或多用或少用条件的错误.教学中要注意用“集合”的思想，结合教科书中的关系图，分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，是克服这一难点的关键.

【教学过程】

（一）动手操作，引入新课

1．思考：

拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？

为什么？

（动画1演示过程）2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？

（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．

（二）合作交流，探索新知

1、矩形的定义、性质和判定

矩形定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）．矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．探究：

在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？

它的两条对角线的长度有什么关系？

（图片3演示过程）

操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质．矩形性质1　矩形的四个角都是直角．

矩形性质2　矩形的对角线相等．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=

AC=

BD.因此可以得到直角三角形的一个性质：

图1

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

例1：

已知：

如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．

分析：

因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．

解：

∵　四边形ABCD是矩形，

∴　AC与BD相等且互相平分．

∴　OA=OB．

又∠AOB=60°，

∴△OAB是等边三角形．

∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×4=8（cm）．

例2：

（补充）已知：

如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

例2（补充）图例3（补充）图

分析：

（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

略解：

设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：

x2+82=（x+4）2解得x=6．则AD=6cm．

（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：

AE×DB＝AD×AB，解得AE＝．

例3：

（补充）已知：

如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：

CE＝EF．

分析：

CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，且AD∥BC．∴∠1=∠2．

∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．

∴∠B=∠AFD．又AD=AE，

∴△ABE≌△DFA（AAS）．

∴AF=BE．

∴EF=EC．

此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

2、菱形的定义、性质和判定

（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：

（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．

菱形定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

强调：

　菱形

（1）是平行四边形；

（2）一组邻边相等．

让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．

探究：

菱形的性质，让学生动手利用折纸、剪切的方法，探究、归纳．

方法一：

将一张长方形的纸横对折，再竖对折（如教材P107的探究），然后沿图中的虚线剪下，打开即是菱形纸片；

方法二：

如图1，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD就是菱形；（图片9演示）

图1图2

方法三：

将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形（如图2）．

总结：

菱形的性质：

（1）菱形的四条边都相等.

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

探索：

菱形的面积公式是什么？

如何证明这个公式？

（提示：

四个全等的直角三角形.）

例1（补充）已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：

∠AFD=∠CBE．

例1图例2图

证明：

∵　四边形ABCD是菱形，

∴　CB=CD，CA平分∠BCD．

∴　∠BCE=∠DCE．又CE=CE，

∴△BCE≌△COB（SAS）．

∴　∠CBE=∠CDE．

∵　在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC

∴　∠AFD=∠CBE．

例2：

已知：

如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：

四边形AEDF是菱形.（提示：

运用定义判定.）

3、正方形的定义、性质和判定

（1）做一做：

用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：

什么样的四边形是正方形？

正方形定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

指出：

正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：

（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）

（2）【问题】正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

例1：

求证：

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：

四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．

求证：

△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

例1图例2图例3图

证明：

∵　四边形ABCD是正方形，

∴　AC=BD，AC⊥BD，

AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．

∴　△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，

并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

例2：

（补充）已知：

如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：

OE=OF．

分析：

要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．

∴∠EAO=∠FDO．

∴△AEO≌△DFO．

∴OE=OF．

例3：

（补充）已知：

如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：

四边形PQMN是正方形．

分析：

由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．

证明：

∵　PN⊥l1，QM⊥l1，

∴PN∥QM，∠PNM=90°．

∵　PQ∥NM，

∴　四边形PQMN是矩形．

∵四边形ABCD是正方形

∴　∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．

∴　∠1+∠2=90°．

又　∠3+∠2=90°，∴　∠1=∠3．

∴△ABM≌△DAN．

∴AM=DN．同理AN=DP．

∴AM+AN=DN+DP

即MN=PN．

∴　四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

（三）应用新知，体验成功

利用多媒体素材中的“典型例题”进行教学.

（四）课堂小结，体验收获

这堂课你学会了哪些知识？

有何体会？

（学生小结）

今天我们主要学习了矩形、菱形和正方形的定义及性质.

（五）拓展延伸，布置作业

一．选择题（每小题3分，共24分）1．在矩形中，对角线具有的性质是（）（A）相等且互相垂直.（B）相等且互相平分.（C）互相垂直且互相平分.（D）互相垂直且平分内角.2．直角三角形中，两条直角边长分别为12和5，则斜边中线长是（）（A）26.（B）13.（C）

.（D）.3．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为O，则不能判断四边形ABCD是矩形的是（）（A）AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD.（B）AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°.（C）∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC.（D）AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°.4．如果平行四边形各内角的平分线能够围成一个四边形，则这个四边形是（）（A）正方形.（B）矩形.（C）菱形.（D）平行四边形.5．已知菱形的边长等于2，菱形的一条对角线长也是2，则另一条对角线的长是（）（A）4.（B）.（C）

.（D）3.6．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）（A）对边平行.（B）对角相等.（C）对角线互相平分.（D）对角线互相垂直.7．如果a表示一个菱形的对角线的平方和，b表示这个菱形的一边的平方，那么（）（A）a=4b.（B）a=2b.（C）a=b.（D）b=4a.8．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）（A）AC＝BD，

.（B）AD∥BC，∠A＝∠C.（C）AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD.（D）AO＝CO，BO＝OD，AB＝BC.二．填空题（每小题3分，共24分）9．矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝8cm，∠AOB=60°，则这个矩形的对角线的长是___________cm．10．已知矩形的周长是40cm，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差是8cm，则较大的边长为___________cm．11．工人师傅在做门框或矩形零件时，常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度，请问工人师傅根据的几何道理是___________．12．已知菱形的两条对角线的长都是8cm，则菱形的边长为___________cm．13．过四边形ABCD的顶点A、B、C、D作对角线AC、BD的平行线，围成四边形EFGH，若四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD是___________．14．要使一个平行四边形成为正方形，则需增加的条件是___________．（填上一个正确的结论即可）15．如图1，P是正方形ABCD内一点，将△ABP移动到与△CBP′重合，若BP＝3，则PP′＝___________．

16．如图2，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝___________．三．解答题（共50分）17．（10分）如图3，在矩形ABCD中，已知AC、BD相交于点O，EF⊥AC于点O，且交CD于点E，交AB于点F．求证：

四边形BEDF为平行四边形．

18．（10分）如图6，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE．求证：

OF＝OE．19．（10分）如图7，正方形ABCD的边长为1cm，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于F．

（1）求证：

BE＝CF;

（2）求BE的长．

答案与提示：

一．选择题：

;;;;;;;;二．填空题：

9．1610．1411．对角线相等的平行四边形是矩形12．13．对角线相等的四边形14.对角线相等且互相平分或一组对边相等有一个角是直角（答案不唯一）15．16．

三解答题：

17．提示：

先证△DOE≌△BOF.得到DE=BF，再根据一组对边平行且相等证明四边形BEDF为平行四边形．18．提示：

先证△BOE≌△COF.得到OE=OF19．

（1）因为AE平分∠BAC所以BE=EF,又可以证明三角形CEF为等腰直角三角形所以EF=CF所以BE=CF

（2）