届高三第一次联合模拟考试数学理试题.docx
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届高三第一次联合模拟考试数学理试题
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部是（）A.4B.-4
C.2
D.-2
【答案】D
【解析】【分析】先将复数进行化简得，得出答案.
【详解】复数=所以虚部为-2
故选D
【点睛】本题主要考查了复数的化简，属于基础题.
2.集合，，则（）A.
B.
C.D.
【答案】B
【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案.
【详解】因为可得，集合，所以故选B
【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.
3.已知向量的夹角为，，，则（）A.
B.
C.D.
【答案】C
【解析】【分析】．
由题，先求出，可得结果.
【详解】所以C
故选【点睛】本题主要考查了数列的运算，属于基础题.
4.设，，，则的大小关系为（）A.
B.C.D.
A【答案】【解析】【分析】是单调递减的，得出；再利用在先利用是单调递增的，得出.
求得答案【详解】因为是单调递减的，且，所以；又因为在是单调递增的，，所以综上，故选A
【点睛】本题主要考查了指数函数和幂函数的性质，来比较大小，掌握函数的性质是解题的关键.
5.等差数列的前项和为，且，，则（）B.35
D.56
A.30C.42
B【答案】【解析】【分析】.
，再利用求和公式得出结果，先根据题目已知利用公式求出公差
【详解】因为是等差数列，所以，，所以公差根据求和公式B
故选【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.
6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）C.60种D.90种B.50A.30种种B【答案】【解析】【分析】.
，甲选马有，得出结果先分情况甲选牛共有【详解】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的中任意10选，所以共有若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有种所以共有B
故选.
【点睛】本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题，记第，第二次输入的的值为457.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为）（，则的值为，第二次输出的的值为一次输出的．
A.2B.1C.0D.-1
D【答案】【解析】【分析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可得结果.
时，4x【详解】当输入的值为；整除，输出第一次不满足x能被b，但是满足当输入x的值为5时，第一次不满足，也不满足x能被b整除，故b=3
，故输出第二次满足-1
则D
故选.
【点睛】本题主要考查了程序框图，属于较为基础题轴分别作中，过坐标原点在直角坐标系8.如图，，过点切点为作曲线的切线，则它落到阴影部分的概率为中随机撒一粒黄豆，）（向矩形，垂足分别为的垂线，
A.
B.C.D.
A【答案】【解析】【分析】，利用切线过原点求出切点先设出切点P的坐标，再用积分求出阴影部分的面积，最后用几何概型求得结果.
【详解】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得所以点P因为与轴在围成的面积是则阴影部分的面积为而矩形的面积为故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为故选A
【点睛】本题主要考查了几何概型，但是解题的关键是在于对于切点和积分的运用是否熟练，
属于中档题.
9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（），，B.A.
，D.
，C.
，，【答案】C
【解析】【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，，得出，再得出，得出.
答案错；是相交的或是垂直的，故与A，A【详解】对于答案：
，得出与B错；B：
，，得出是相交的、平行的都可以，故答案，再答案C：
得出，故，C，得出正确；D，得出D:
答案，，错与是相交的或是垂直的，故C
故选【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理.
是我们解题的关键所在，属于较为基础题的左焦点为双曲线10.，点为双曲线右支的坐标为，点8，则双曲线的离心率为（）周长的最小值为上的动点，且C.2
D.
B.
A.
D【答案】【解析】【分析】三点共线，先根据双曲线的定义求出周长的最小值是当，然后据题意.
求出的值，再求出离心率即可a，【详解】由题易知双曲线的右焦点，即点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知所以周长为：
共线时，周长最小当点．
即解得故离心率D
故选【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题.
11.各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（）A.4B.6C.8D.12
C【答案】【解析】【分析】，然后求得公比首项由题意，根据等比中项得出，再利用公式求得，代入用基本不等式求最值.
通项【详解】因为，且等比数列各项均为正数，所以首项公比，通项所以所以当且仅当所以当时，的最小值为8
故选C
【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”．12.的取值范围是，则中，，，，中，）（B.A.
D.
C.
C
【答案】．
【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，设点D的坐标，然后分析点D的位置，利用直线的夹角公.
式，求得点D的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可【详解】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；当点D可能在直线AB的上方；直线BD的斜率；直线AD的斜率由两直线的夹角公式可得：
化简整理的可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；的最短距离为：
此时CD的下方；可能在直线DAB当当点的轨迹方程：
同理可得点DAB的轨迹是以点此时点DD的圆，且点为圆心，半径AB在的下方，所以是圆在下方的劣弧部分；的最大距离为：
此时CD的取值范围为所以CD【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于.
难题分）90第Ⅱ卷（共分，将答案填在答题纸上）二、填空题（每题分，满分520满足约束条件：
13.．______已知的最大值是，则3
【答案】．
【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，代入求出答案.
，可行域如图：
满足约束条件：
【详解】解得时取最大值，A由题，当目标函数过点即3
故答案为.
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题“甲丙说：
乙说：
只有一个会弹钢琴，甲说：
“我会”，“我不会”，甲、14.乙、丙三人中，．不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____【答案】乙【解析】【分析】.
根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙.
【点睛】本题主要考查了推理证明，属于基础题时，为奇函数，当的偶函数，且是定义域为已知函数15.
，则__．【答案】【解析】【分析】是定义域为先由题意，的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出.
的周期，可得，然后带入求得结果为奇函数，所以【详解】因为的偶函数，所以是定义域为又因为即的周期所以因为所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.
16.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为____．【答案】【解析】【分析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CDAC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得表面积即可.
可得BCCD【详解】由题意，，，所以ABCD，即CD平面ABC底面又因为，所以CDAC
取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD
外接球的球心，因为为四面体O故点．
所以球半径故外接球的表面积故答案为【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.
）..小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤6三、解答题（本大题共.17.设函数的值域；时，求函数
（1）当的对边分别为的面，求
（2），，，且中，角.
积
（2）
（1）【答案】【解析】【分析】利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得）先将函数1（的取值，求得值域；，再根据x，b）根据第一问求得角（2的正弦值和边C，然后再求得角B，再根据正弦定理求得角A.利用面积公式求得面积【详解】（Ⅰ），∴∵∴．的值域为∴函数∴（Ⅱ）∵，即，∴∵，∴，∴由正弦定理，
∴，，∴∴【点睛】本题主要考查了三角函数综合和解三角形，解题的关键是在于三角恒等变化公式的利用（和差角、降幂、辅助角公式的合理利用）以及正弦定理的变化应用，属于较为基础题.
亿，高中生和大学生的世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达618.近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：
小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：
每周累积户小不少于外暴露时间28时（单位：
小时）1239近视人数2137
3
不近视人数52
3
37
5
（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；14
（2）若每周累计户外暴露时间少于个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前上数据完成如下列联表，并根据（提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？
近视不近视足够的户外暴露时间不足够的户外暴露时间附:
0.001
0.0100.050P．
3.8416.63510.828
【答案】
（1）
（2）见解析【解析】【分析】
（1）根据题意，时间不少于28小时的4名学生中，近视1名，不近视3名，所以恰好一名近，4名学生抽.
视：
，然后求得其概率2名共有：
（2）先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成联表，然后根据公式求得的观测值，得出结果.
【详解】（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，中恰有一名学生不近视的概率为.
（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：
不近视近视6040足够的户外暴露时间40
60
不足够的户外暴露时间所以的观测值，0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.
故能在犯错误的概率不超过【点睛】本题主要考查了概率和统计案例综合，属于基础题.
19.如图，在三棱锥互相垂中，与都为等边三角形，且侧面与底面.
上一点为棱，上，且在线段的中点，点为直，
（1）试确定点的位置，使得平面；的余弦值.
（2）在
（1）的条件下，求二面角【答案】
（1）见证明；
（2）
【解析】【分析】
（1）根据题意，延长交于点，要使得平面；即，然后确定出点E的位置即可；的法向量，然后根据二面角的夹角公式求得余弦值即建立空间直角坐标系，求出平面
（2）.
可于点交中，延长，【详解】（Ⅰ）在是等边三角形,的重心为平面,平面，,即点为线段上靠近点的三等分点，，交线为中，（Ⅱ）等边，，为原点建立空间直角坐标系如图以．
点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.
，设,则设平面的法向量，则即，取，则又平面，,
则又二面角为钝二面角，所以余弦值为.
【点睛】本题主要考查了立体几何，熟练线面之间的平行、垂直的判定定理和性质定理是证明的关键，以及求出平面的法向量是解决第二问的关键，属于中档题.
上异于为椭圆的一个动点，，点：
20.已知椭圆的左、右两个顶点分别为，的连线斜率分别为的斜率分别为，设直线与，若动点且.
记动点的轨迹为曲线的方程；）当时，求曲线1（的两点，设交于的面积为，分别与曲线与，直线）已知点2（的取值范围，求.
，若面积为
（2）
【答案】
（1）
【解析】【分析】．
（1）由题意设，，再表示出得出.
.然后求得结果，直线由题求出直线的方程为：
的方程为：
，然后分别与曲
（2）
再利用函数的单调线E、联立，求得点F的纵坐标，然后再带入面积公式表示出性求得范围.
【详解】（Ⅰ）设，则，，则因为所以，.整理得.
的方程为时，曲线所以，当由题意知，.（Ⅱ）设的方程为：
直线的方程为：
，直线.
由（Ⅰ）知，曲线的方程为，联立，得，得，消去，得联立，得，消去设则在上递增，又的取值范围为【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，审题仔细以及计算细心是解题的关键，属于较难.
题．
21.已知（为自然对数的底数），.
的极小值；
（1）当时，求函数有且只有一个实数解，求实数时，关于
（2）当的方程的取.
值范围【答案】
（1）见解析；
（2）见解析【解析】【分析】
（1）由题意，当时，然后求导函数，分析单调性求得极值；只有一个零点，再对函
（2）先将原方程化简，然后换元转化成数进行求导，讨论单调性，利用零点存在性定理求得的取值.a【详解】（Ⅰ）当时，令解得递减极小值递增（Ⅱ）设，，，令，，设，得，由单调递增，，在单调递增，在，即单调递在，，即①当时，时，,
增
又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解.
时，，即②当，又故，当时，，单调递减，又，，时，故当有一个实数解.
在内，关于的方程时，又，单调递增，，，令且单调递增，又,故在,，由零点存在定理可，又，故在故单调递增，故.
知，【点睛】本题主要考查了导函数的应用，讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点，属于难题.
如果函数y=f（x）在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）<0,那么，在区间（a,b）内有零点，即存在这个c也就是方程f（x）=
函数y=f（x）c∈（a,b）,使得f（c）=0,.
0的根.
2322、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分请考生在（为参数），直线中，曲线22.在直角坐标系的参数方程为的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；与直线交于两点，若，求的值.
（2）曲线【答案】
（1）；
（2）【解析】【分析】
（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出2（．
求得结果即可.
【详解】
（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：
的极坐标方程：
所以曲线C
（2）直线的方程为，的参数方程为为参数），然后将直线得参数方程带入曲线C的普通方程，化简可得：
，所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.
已知函数23.的取值范围；对恒成立，求实数
（1）若不等式为
（1）中
（2）设实数的最大值，若实数，求满足的.最小值.
（【答案】Ⅰ））
（；Ⅱ【解析】【分析】的范围。
，可解出）由绝对值的三角不等式可得：
（1，利用柯西不等式，12（）由（）可知，进而得到可求得结果。
.
（Ⅰ），解得因为，所以解：
【详解】.的取值范围为故实数）知，1（Ⅱ）由（根据柯西不等式.，即．
等号在即时取得.
.
所以的最小值为【点睛】本题考查不等式选讲中的三角不等式，属于常考题型，学生需灵活运用，便可进行求解。
熟悉柯西不等式是解题的关键，本题属于中档题。
．
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