论数形结合在高中数学中的应用.docx

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论数形结合在高中数学中的应用

论数形结合在高中数学中的应用

姓名：

陈涛涛指导教师：

史瑞东

（吕梁高级实验中学理科1415班山西离石033000）

摘要：

数形结合常常能为解决有关中学数学问题提供一条便于接受的思路，

它有助于探讨问题的途径，是提高解决中学数学问题的一种重要手段。

本文将从不同的方面探索数形结合思想在中学数学教学活动中是如何

应用，而不仅仅局限于数形结合的解题功能上。

关键词：

新课程高中数形结合

一、“数形结合思想”的背景

早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。

我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成了代数式之间的代数关系。

十七世纪上半叶，法国数学家笛卡尔以坐标为桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。

后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如立方倍积、三等分任意角、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决，即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用。

初等数学历来被划分为代数和几何两大分支，前者偏重于数的分析，而后者偏重于形的研究。

但是今天人们越来越认识到仅有代数的思想而无图形的直观，或者虽然有直观的图形而缺少数据的分析，许多数学问题都难以高质有效的解决。

形是数的翅膀，数是形的灵魂。

二、“数形结合思想”的理解

所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性来阐述形的某些属性，另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。

具体地说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征或使“数”的问题，借助“形”去观察；或将“形”的问题借助“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想。

事实上，数形结合思想就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形。

三、“数形结合思想”方法的概述

数形结合思想方法是高中数学中的一个重要的思想方法，它不仅在数学解题中有着强大的功能，更在数学教学中发挥着巨大的作用。

“形”的直观与“数”的精确相辅相成，能优化解题，化解难点知识，学生易于理解接受。

中国学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现。

“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确的描述。

数和形也可以一定条件相互转化，互相沟通。

我们在研究数量关系时，有时要借助与图形直观地去研究，而在研究图形时，又常借助于数量关系去探求，“数”和“形”是研究数学的两个侧面，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思维广阔。

华罗庚教授对此有精辟概述：

“数无形，少直观；形无数，难入微。

”因此要根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，也可把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，数形结合才能真正发挥其作用。

四、“数形结合思想”的原则

1.精确性原则

几何图形的优点是具有直观性，但构图不精确往往会造成视觉性的误解。

2.等价性原则

等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转化应是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性。

利用数形结合解决数学问题时要注意转化的等价性，我们常常由“形”观察出“数”，由“数”构造出“形”，这中间的观察与构造未经过严格的逻辑推理，加之审题不周到，容易造成数形转化的不等价而产生误解。

3.双向性原则

双向性原则是指既进行几何直观地分析，又进行代数抽象的探索，代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性，能克服几何直观方法的局限性。

4.简单性原则

简单性原则是指属性转化时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算简洁明了，避免了繁琐的运算。

五、“数形结合思想”的途径

1.由“数”到“形”的转化途径

1　方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点，位置关系的问题并借助函数的图象和性质解决相关的问题。

2　利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式的性质。

3　构造几何模型，通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将a与正方体的面积互化，将abc与体积互化，将a-c与勾股定理沟通等等。

4　利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离、点到直线的距离、直线的斜率、直线的截距）定义等A+B求寻求代数式的图形背景及有关性质。

2.由“形”到“数”的转化途径

1　解析法：

建立适当的坐标系（直角坐标系、极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间

2　借助所给的图形，仔细研究观察，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

3.“数形转换”

根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

六、“数形结合思想”在高中教学中的地位

《新课标》指出：

“应使学生经历从实际问题抽象出数量关系并运用所学知识解决问题的过程。

”形与数的结合能使学生从图形直观中理解数学结构，掌握数量关系，提高分析解决问题的能力。

在教学中体现数形结合的思想为学生从形象思维向抽象思维发展架设了桥梁。

使学生能自如地从形象中抽象出规律，能把抽象问题转化成形象直观来解决，从形象思维最终向抽象思维发展。

从《新课标》中来看，我们得出数形结合有如下特点：

1.数学，特别是现代形态下数学，过于抽象，过于形式化，符号化。

它与人的直觉经验相差很远，使学生在认知上造成特殊的难度。

在教学中忽视对直观图形的利用，不能很好地利用具体形象来化解对书本中的一些抽象结论的理解，忽视学生形象思维的培养。

事实上，教材中体现数形结合思想方法的内容有很多，可以通过数形结合给代数提供几何模型，形象直观地揭示问题的本质，减轻学生的负担，从而引起学生数学的兴趣。

2.新高中数学课将精选出代数、几何基础知识综合为一门学科，这样做有利于精简教学内容，有利于数学各部门内容相互的联系，有利于数学思想方法的相互渗透。

3.利用数学结合有利于进行中学的数学教学的过渡链接。

七、“数形结合思想”在高中数学教学中的作用

1.利用直观性，激发兴趣，培养思维的简洁性。

问题是数学的心脏，解决问题的数学思想和方法是数学的灵魂。

数形结合能使复杂的问题简单化，抽象问题形象化，寻找简便易行、出乎意料、别开生面的解题方案，以调动学生的学习兴趣。

提高学生学习自觉性，从而使学生从题海中解决出来，真正减轻教与学的沉重负担。

凭借图形能反映并思考客观事物的空间形状与位置关系，为学生学习减轻许多负担，即运用形象思维去研究问题。

2.渗透美育，唤醒学生的直觉联想。

数学本身是美的科学。

数学上的对称美、轮换妹、简洁美、和谐美、奇异美的特点在图形上体现得更为直观动人。

教师利用数形结合能不断培养学生审美情趣，感受审美体验，提高审美意识和审美能力，以激起学生学好数学的激情，动力和追求解题的艺术美，唤醒学生的直觉联想，促进全面素质的提高。

解题时可以观察图形的特征及其数量关系，运用几何意义探求数量关系，还可以构造几何图示显示数量关系。

八、“数形结合思想”方法对高中数学的意义

1.数形结合能够提高教学效果

高中数学是对学生抽象思维和具体思维的全方位考验，教材和试题的编写侧重对学生的锻炼与启发，出题的过程中，只是单独给出数据或者图形，这就需要教师在展现解题步骤的过程中，补充相应的图形或数量，数形结合方法的运用有助于学生理解题目的含义，准确地分析和把握解题思路，实现思维的转化。

同时规范的图形可以对教师正确传达解题方法、启发和培养学生思维、提高教学效果起到事半功倍的效果。

2.数形结合能够提高解题速度和效率

从高中数学的知识体系来看，复杂、抽象的知识比较多，学生单凭教师的口头描述和自己的苦思冥想是无法解出习题答案的，尤其是在课下做题的时候，如果缺少恰当的方法，只能是事倍功半。

但事实上，一些看似复杂的方程或等式，都可以用图象来找到思路。

例如给出等式（X-3）2+Y²=9，求Y/X的最大值时，如果单靠代数法解方程是不容易得出答案的，但如果先画出图形以（3,0）为圆心，以3为半径的圆，通过看图形的位置，就能轻易看出求的是斜率。

在现实世界中，数与形是不可分离的结合在一起的，这是直观与抽象的集合，感知与思维相结合的体现，形与数结合不仅是数学自身发展的需要，也是加深对数学知识的理解，发展智力，培养能力的需要。

数形结合是解决数学问题的一个有力工具，也是中学数学中极为重要的基本方法之一。

通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，是抽象思维与形象思维相结合，缩短思维链。

九、利用“数形结合”可以解决很多数学问题：

1.教师要深入研究教材，有效渗透数形结合

在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、对比、分析、抽象、概括的过程中看到数学知识蕴涵的思想。

2.在课堂教学的主要环节中，利用数形结合，有助于学习难点化解

数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的学习方法。

在教学中那些学生觉得难以理解的或易出现错误或混淆的内容，教师可充分利用“形”，把抽象的问题变得直观形象，丰富学生的表象，引发联想，引导学生探索规律，得出结论。

如：

我省骨干教师培训中听了吴荔丹教师的“植树问题”，吴老师在本课教学中把一一对应数学思想方法作为支点，借助生活中的实例康师傅、3+2饼干、手指、路灯、树课件演示，从而引出间隔与间隔数为新课学习做铺垫，再出示例题，为了美化环境，学校准备在一条长20米的小路一侧种小树，每隔5米种一颗，一共需要多少棵树苗？

教师应用学生已有的经验来画示意图，模拟种树，再将学生画的示意图展示交流，根据示意图，结合一一对应思想，突出了数形结合思想，并让学生感到了生活中洋溢着数学知识，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，是概念更直观更形象，有利于学生的理解和掌握。

学生根据示意图很快得出解题方法。

3.创设情境，培养学习兴趣的同时渗透数形结合思想

数学是一门抽象的知识，在学生看来是枯燥无味的、抽象的、只有让学生对数学产生兴趣，产生求知的欲望，课堂数学才能达到良好的效果，如果课堂上能根据教材特点讲一些生动的故事，介绍数学的巧妙所在，让学生在较短的时间内思维活跃起来，达到“形”之有效，如教学“圆柱的认识”时，我们收集生活中圆柱形的物体，如：

蜡烛、灯笼、茶叶罐等，让学生观察，研究它们的特征，弄清概念的含义，再让他们举出生活中或周围具有这样特征的例子。

课堂上气氛活跃，每个同学都跃跃欲试，既充分激发了学生的兴趣，“数”与“形”是无法分割的。

4.合理应用、深化数学思想

数学思想方法只有在反复运用中，才能得到巩固和深化，在教学中，由“数”想“形”，以“形”助“数”的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，也有利于加深学生对知识的识记和理解。

5.根据教师的经验和自身的条件选择方法

每一位教师都有自己的风格、习惯、经验的素养，对同样的教材内容会有不同的分析和理解。

因此采用的教学方法也有不同。

如表达能力强的教师则常用谈话法或讲解法，善于运用图形；还有的教师多用直观手段配合自己的讲解；擅长设计练习题的教师宜在教学中经常运用题组帮助教学等。

不同的教学方法若能使用得当就能达到预期的效果。

对教材内容的不同分析和理解，选择教学方法也不同。

总之，要根据教师本有的素养和经验选择教学方法。

现实生活中的“数”与“形”是紧密联系的，相辅相成的，抓住“数形结合思想”教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生的迁移思维能力，分析问题能力及解决问题的能力，对学生今后的数学学习和知识的应用将有深远的影响。

数学学习有两条线：

一条明线“数学基础知识”，一条暗线“数学思想方法”。

对于数学知识中所蕴含的数形结合思想教材并未明确指出，需要教师潜心钻研并挖掘其中的思想内涵，这样才能在数学数学知识的同时予以渗透，此外数形结合思想又不像数学知识，解题方法那种具有某种形式，只是体现为一种意识或观念，它不可能是一朝一夕一招一式可以形成的。

它是一个渐进的完成过程，它需要日积月累长期渗透才能逐渐为学生所掌握。

这又要求教师应做教学的有心人，从学生发展的全局着想，从具体的教学过程着手，有目的、有计划、有系统，适时适度以渗透，使“数形结合思想”能始终贯穿在传授教学知识的过程中，成为一种有意识的教学活动。

只有这样，“数形结合思想”方法的教学才能落到实处。

十、新课程背景下的“数形结合”

如此重要的数学思想自然一直被作为重点贯穿于每位数学教师的教学中，笔者发现近年来关于“数形结合”的论文也是数不胜数，但其内容大多是一些可以用数形结合巧解的例题。

笔者认为在讲解练习时强化“数形结合”固然是一种常用的有效的方法，但是也有缺点，就是学生是否能在老师提示之前自己想到“数形结合”的解法，如果不能，需要靠老师的提示完成，那么下次学生在碰到可以用“数形结合”巧解的题目时，是否还能想到要用“数形结合”来解。

如果说需要强化多次才能使学生掌握这种方法的话，那么需要强化几次强化多久才算够？

在课时安排非常紧张的高一阶段能否抽出大量时间去单独讲“数形结合”？

如果学生在大量基础内容集中的高一阶段没有掌握好“数形结合”的话，是否会影响到后面的数学学习甚至高考？

种种时间上的限制和教学策略上的缺憾使得“数形结合”这一重要数学思想即使只被当作一种解题方法都不容易实现，更别说把它提升到一定的理论高度去指导学生理解数学的结构。

“为了每一位学生的发展”是新课改的核心理念，作为一个高中数学教师，笔者对此的理解是：

以学生为本，以学生为主体，让学生自主获得更多的知识和能力。

得出：

1、数形结合必须要讲，高一开始就要讲。

2.应对以前的灌输式教学作一些调整，具体策略是在平时上新课时就有目的地铺设一些细节使学生深入了解“数形结合”。

这样做的目的就是让学生在老师提示用“数形结合”的解法前就自己想到用“数形结合”解题。

1.关注细节，让学生主动“数形结合”

笔者在去年所教的2008届毕业班学生中，发现一个普遍的问题：

一些能用“数形结合”巧解的题目，在自己做题时却想不到用“数形结合”，等老师提示后才恍然大悟，但下次再碰到却还是想不到要用“数形结合”

2.直觉思维对学习“数形结合思想”的影响

在心理学意义上对于直觉思维是这样定义的：

所谓直觉思维就是人脑对于突然出现在面前的事物、现象、问题及其关系的一种迅速识别、敏锐而深入的洞察、直接的本质理解和综合的整体判断。

直觉思维是贯穿于日常生活学习中，具有迅速性、直接性、本能意识等特点。

伊思·斯图加特曾经说过这样两句话：

“直觉是真正的数学家赖以生存的东西。

”，“数学的全部力量就在与直觉和严格性的巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。

”。

而事实也证明了直觉思维对数学学习具有巨大的影响；欧几里德的欧氏几何中的五个公设均基于直觉思维。

可见，直觉思维是学生学习数学的必备条件。

利用“数形结合思想”方法解题时，能够充分调动了学生的直觉思维和逻辑思维。

学生审题结束后，要根据题目中的已知条件对问题的大致方向，所牵涉的知识要点，相关知识结构，利用直觉思维进行最直接的判断，即判断是否可以利用“数形结合思想”解题。

简而言之，直觉思维是能否利用“数形结合思想”解题的最初判断。

而我国的数学教育一直侧重于学生逻辑思维能力的培养，强调的是对数学概含的明确度，逻辑思维推理的严密度。

而对学生直觉思维培养甚少。

因而，直觉思维对于数形结合思想的运用在一定程度上存在影响。

直觉思维越活越往往可以将“数形结合思想”掌握的更牢固，运用的更灵活。

3.性别差异对学习“数形结合思想”的影响

在数学的学习上，男性善于辨别和判断事物的种类，他们习惯着眼于全局，从整体考虑处理问题，并且具有较强的空间想象能力。

对于“形”的感知较强。

女生则擅长模仿，注重细节，对于基础知识和技能的掌握优于男性。

但是随着年级的上升，数学内容的逐步进化，难度逐步提高，对学生数学能力的要求也日益增加。

与此同时，女生对于数学的学习就不是很轻松了，而男生的优势日益明显了。

可见，性别对数学的学习有一定影响。

对于“数形结合思想”的学习和运用也是如此，男生对于它的运用较女生而言更灵活一些。

之所以出现这样的问题是因为“数形结合思想”的学习对于学生而言是一哥在对事物认识上的一个转折。

以往的数学题是单纯的对于“数”或“形”这样的单个个体而展开的，二“数形结合思想”即同时包含了“数”和“形”两个对象，可由“数”转变为“形”，也可由“形”转变为“数”，学生要改变以往单一的处理符号信息或者是图形信息的操作，要将两种信息同时进行操作。

而男性对于“形”的认识高于女性，对于问题大的整体把握也优于女性。

因此，性别的差异就造成了对于“数形结合思想”的运用的差异性。

十一、“数形结合思想”解决问题

1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题

一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。

利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。

例1某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：

数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：

数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数。

解我们用圆A、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。

用n表示集合的元素，则有：

A（数）B（理）

C（化）

n（A）+n（B）+n（C）-n（A

C）-n（B

C）+n（A

B

C）=807+739+437-593-371-267+213=965

即：

参加竞赛总人数为965人。

2、利用数轴解决集合的有关运算

例2 设A={x|x²-16＜0}，B={x|x²-4x+3≥0}，I=R。

求A∩B，A∪B

分析：

分别先确定集合A，B的元素，A={x|-4＜x＜4}，B{x|x≥3或x≤1}，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案：

3、数形结合思想在解决对称问题中的应用

例3如图，已知（4,0）A、（0,4）B，从点（2,0）P射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）

A．2√10B．6C．3√3D．2√5

[解题思路]利用对称知识，将折线PMN的长度转化为折线CNMD的长度[解析]设点P关于直线AB的对称点为D（4,2），关于y轴的对称点为C（-2,0），则光线所经过的路程PMN的长=PM+MN+NP=DM+MN+NC≥CD=2√10，本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般地，在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。

4、利用函数图像比较函数值的大小

一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较。

如：

例4试判断0.3²，log20.3，20.3三个数间的大小顺序。

分析：

这三个数我们可以看成三个函数y1=x2，y2=log2x，y3=2x在x=0.3时，所对应的函数值。

在同一坐标系内作出这三个函数的图象（如图），从图像可以直观的看出当x=0.3时，所对应的三个点P1，P2，P3的位置，从而得出结论20.3＞0.32＞log20.3。

5、数形结合思想在解方程问题中的应用

例5解方程3x=2-x

分析：

由方程两边的表达式我们可以联想起函数y=3x与y=2-x，作出这两个函数的图像，这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为x≈0.4。

6、数形结合解决最值问题

利用数形结合思想有时可以解决一些比较复杂的最值和值域问题，特别是一些三角函数的题目和我们通常见到的线性规划问题。

7、数形结合解决二元一次不等式问题

二元一次不等式组与二元函数的对应实质上是简单线性规划问题，利用可行域可以求目标函数的最值，属于典型的数形结合实例。

值得注意的是，目标函数对应的直线与边界直线斜率的大小关系用于确定最优解的正确位置仔细观察各直线的倾斜程度，准确判定可行域内的最优解。

总之，“数形结合思想”是数学中基本而又重要的思想，是解答数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择，填空题时发挥着奇特功效。

在高考复习时，同学们必须随时注意运用“数形结合思想”，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。

参考文献

（1）李秉德,李定仁,《教学论》,人民教育出版社,1991.

（2）吴文侃,《比较教学论》,人民教育出版社,1999 

（3）李玉琪，《中学数学教学与实践研究》，高等教育出版社，2001

Ontheapplicationofthecombinationofnumbersandshapesinhighschoolmathematics

Name:

ChenTaotaoInstructor:

ShiRuidong

（Lvliangseniormiddleschoolscienceexperimentclass1415ShanxiLishi033000）

Abstract:

thecombinationofnumbersandshapescanprovideaconvenientwaytosolvetheproblemofmathematicsinmiddleschool,

Ithelpstoexplorethewaytosolvetheproblem,isanimportantmeanstosolvetheproblemofmathematicsinmiddleschool

Inthispaper,wewillexploretheideaofthecombinationofnumberandshapeinthemiddleschoolmathematicsteachingactivitiesfromdifferentaspects

Application,andnotjustlimitedtothefunctionofsolvingtheproblem

Keywords:

newcurriculum,highschool,numberandshape