天津科技数模比赛选拔赛B题思路.docx
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天津科技数模比赛选拔赛B题思路
鉴于A题网上已经有各种成熟的原题答案和分析方法，我队选择B题。
空间几何体归类分析
问题一解决思路：
按照表格中给出的点的顺序，使用Matlab作图。
平面的五边形应该属于凹多边形。
平面五边形类别I散点分布入下图所示
平面五边形类别II散点分布入下图所示
根据标准图类I和II，两个图类之间还是有些差别，确定判别的标准有（其中第3个最重要）：
Std1：
第一点和第五点之间的欧氏距离；（dist115>dist215）
Std2:
第三点和第四点的长度，第四点和第五点的长度，或二个长度的比值，或比较
345和
；
Std3：
类I和类II图中将4、5两点连线做出直线方程，可以看出类别I和II当中1点都在直线左下区域，3点都在直线右上区域。
那么2点的相对位置是在直线左边还是右边就成为一个至关重要的判断标准。
类别1的点2在直线左下方区域，类别2的点2在直线右上方区域。
（对不同的图号点的顺序可能要调整）
待分类的5个数据点图像如下所示
图形编号1
根据Std1，Std3判断，求直线方程，把坐标点代入后比较，用程序完成，这里不再详细描述。
图形编号1的点组成的五边形属于类别I。
图形编号2
图形编号2的点的顺序需要调整，用点1和2来做直线，依据点4的位置来判别。
根据Std3得出，编号2的点组成的五边形属于类别II。
图像编号3的点的顺序需要作出调整，用点2,3组成的直线来判别点5的位置情况。
根据Std3标准，点5在直线的上方区域，故图像编号3的点组成的五边形属于类别II。
图形编号4的点的顺序需要作出调整，用点1、2组成直线来判别点4的相对位置。
根据Std3可知，点4在直线的左下区域，故这些点组成的五边形属于类别I。
图形编号5，由点4、5连成直线看点2的相对位置。
根据Std3判断，点2位于直线的上方区域。
故这些点组成的五边形属于类别II。
图形编号
类别
1
I
2
II
3
II
4
I
5
II
问题二解决方法
由6个顶点坐标，作出三维图。
三维空间标准八面体I
由于坐标点特殊，这是2个标准正四面体底面重合在一起的正八面体，结构空间对称。
三维空间标准八面体类别II
这个八面体空间结构不再对称，上下2部分也不是正四面体。
类别1和类别II的判断联系和区别：
标准1的正八面体，其最小外接球的球心在两个四面体重合面的中心；标准II的八面体由2个非正四面体构成，其最小外接球（或椭球）的球心不在两个四面体重合面的中心（也不一定在重合面内）。
待判别的6个空间八面体分别显示如下：
待判别图形编号1，据三维图即可看出是正八面体，属于类别I。
待判别图形编号2，据三维图即可看出不是正八面体，有倾斜，属于类别II。
待判别图形编号3，据三维图和空间顶点分布看不是由正四面体组成，也不对称，属于类别II。
待判别图形编号4，据三维图没有两个四面体关于结合面对称，属于类别II。
八面体图形编号5的坐标点如下：
5
x
5.4945
-0.5402
-15.3093
-5.2359
-6.6805
-2.3227
y
10.4945
4.4598
-10.3093
-0.2359
-1.6805
2.6773
z
0.1942
-8.1474
0.381
14.6057
-9.7847
-1.458
编号5八面体6顶点的空间分布
（1）由于这6个点坐标有直线关系y=x+5（z高低不同），故这些点都在Y=X+5这个空间平面上，并不构成八面体，既不属于类别I，也不属于类别II。
（2）这6个空间点看成用Y=X+5这个空间平面在某个八面体相交截面上的6个点，由于其XY投影是直线，YZ/XZ面的投影点的分布一致，所以推测原八面体有对称的结构部分，应该属于类别I。
八面体图形编号6的坐标点如下：
6
x
1.4819
0.482
1.4933
0.1752
-0.6712
1.4278
y
1.4819
0.482
1.4933
0.1752
-0.6712
1.4278
z
4.7339
4.2529
4.616
5.5263
4.6671
6.2662
由于空间里面点坐标x=y，故这些点都在X=Y这个空间平面上，应该是用X=Y空间平面去截某个由两个对称的四面体构成的八面体所得的平面点。
（因为XY投影是条直线，而YZ面和XZ面投影是相同的，表明原八面体有对称结构存在），那么编号6的八面体应该属于类别I。
总结如下：
编号
类别归属
1
类别I
2
类别II
3
类别II
4
类别II
5
类别I或者都不是
6
类别I或都不是
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