届合肥一模数学答案理科高考资料高考复习资料中考资料.docx
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届合肥一模数学答案理科高考资料高考复习资料中考资料
路漫漫其修远兮
合肥市2019年高三第一次教学质量检测
数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分.
题号123456789101112
答案DCCDADDDCCBA
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
1322
13.1，614.115.
，16.
n
32n4
233
三、解答题：
17.（本小题满分12分）
3131
（I）∵
fxcos2xsin2xcos2xsin2xcos2xsin2x，
22226
∴函数fx的最小正周期为T.…………………………5分
11（II）由
f可得.
sin2
363
∵0,，∴2，.
7
2666
11
又∵
0sin
（2）,∴2+,,
63262
∴
22
cos2
63
，
∴
126
cos2cos2cos2cossin2sin
6666666
………………………12分
.
18.（本小题满分12分）
（I）取CD的中点M，连结EM，BM.
由已知得BCD为等边三角形，∴BMCD.
∵ADAB2,BD23，
∴ADBABD30,
∴ADC90,∴BM//AD.
又∵BM平面PAD，AD平面PAD，
∴BM∥平面PAD.
∵E为PC的中点，M为CD中点，∴EM∥PD.
又∵EM平面PAD，PD平面PAD.
∴EM∥平面PAD.
∵EMBMM，∴平面BEM∥平面PAD，
高三数学试题（理科）答案第1页（共4页）
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
∵BE平面BEM，
∴BE∥平面PAD.…………………………5分
（II）连结AC，交BD于点O，连结PO.由对称性知，O为BD中点，且ACBD，POBD
平面PBD平面ABCD,POBD，
PO平面ABCD，POAO1，CO3.
以O为坐标原点，OC的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
则D（0，3，0），C（3，0，0），P（0，0，1）.
易知平面PBD的一个法向量为
n11,0,0
.
设平面PCD的法向量为
nxyz
，，，
2
则n2DC,nDP
2，∴
n.
0
DC
2
0
nDP
2
3x
3y
∵DC（3,3,0），DP（0,3,1），∴
3y0
z0
.
令y3，得x1,z3，∴n2（1,3,3）
∴
cos
nn1
n,n
112
2
nn13
13
12
13
13
设二面角CPDB的大小为，则cos13
.………………………12分
13
19.（本小题满分12分）
（I）x0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245；
…………………………5分
（II）由题意知，39.2，50.8，P39.2t50.80.6826，
所以估计该人群中一周睡眠时间在区间39.2，50.8的人数约为100000.68266826（人）；
…………………………12分
20.（本小题满分12分）
（I）设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为
2
2
xy
22
知，bc，a2b，则椭圆方程为221.
2bb
22
易求得A2，0，则点2，2在椭圆上，所以
1，
2bb
22
a2
2
a
解得
b
2
6
3
xy.…………………………5分
22
，所以椭圆方程为1
63
（II）当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x2，由
（1）知，
2222
M，，N，，
22220
OM，，ON，，OMON，∴OMON.
当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为ykxm，
高三数学试题（理科）答案第2页（共4页）
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
Mx，y，Nx，y，
1122
则
m
k
2
1
2
，即
m22k21.
联立直线和椭圆的方程得
x22kxm6，
2
0
4km
12k2x24kmx2m260，得xx∴
122
2k1
2m6
2
xx
122
2k1
∵
OMxyONxy
，，，，
1122
∴
OMONxxyyxxkxmkxm
12121212
.
2m64km
2
1kxxkmxxm1kkmm
2222
121222
2k12k1
1k22m264k2m2m22k213m26k2632k226k26
2k12k12k1
222
∴OMON.
综上所述，圆O上任意点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OMON.
0，
在RtOMN中，由OMP与NOP相似，可得
OP2PMPN2为定值.
…………………………12分
21.（本小题满分12分）
（I）易知x1，且
fxe
x
1
.令
hxe
x
x1
x
1
1
，
1
则
hxe
x
x
2
1
0
，∴函数x
hxe
1
x1
在x1，上单调递增，且
h0f00.
可知，当x1，0时，hxfx0，ln1
fxexx单调递减；
当x0，时，hxfx0，ln1
fxexx单调递增.
∴函数fx的单调递减区间是1，0，单调递增区间是0，.……………………5分
（II）∵gxfxaxelnx1ax，∴gxfxa.
x
由（I）知，gx在x1，上单调递增，
当x1时，gx；当x时，gx，则gx0有唯一解
x.
0
可知，当x，x时，gx0，ln1
1gxexax单调递减；
x0
当xx，时，gx0，ln1
gxexxax单调递增，0
1
∴函数gx在xx处取得极小值
gx0elnx01ax0，且x
x
x满足ea
00
00
x1
0
.
∴
gx1xelnx11
x
0
000
x
0
1
1
.
高三数学试题（理科）答案第3页（共4页）
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
11
令，则
x1xelnx11xxe
xx
x1
1
2
x
可知，当x1，0时，x0，x单调递增；
.
当x0，时，x0，x单调递减，∴
xmax01.
∴函数gx极小值的最大值为1.…………………………12分
22.（本小题满分10分）
（I）C1:
x2y21，2:
=2cos
C，则2=2cos，∴x2y22x.
xy122
联立方程组得
xyx
xyx
22
x
1
，解得
y
1
1
2
3
2
1
x
2
，
2
3
y
2
2
，
1313
∴所求交点的坐标为
，，，.………………………5分
2222
（II）设B，，则=2cos,
11
SOAOBsinAOB4sin4cossin
∴AOB的面积
2233
2cos23
，
623
S
∴当时，max23………………………10分
12
23.（本小题满分10分）
（I）fx2x2，即x1>22x
x10x10
或
x1>22xx1>22x
x
1
3
1
∴实数x的取值范围是，.………………………5分
3
（II）∵a1，∴
（a1）x2，x，-1
11
，
1gx（1a）xx1
，，，
aa
1
a1x2x
，，
a
易知函数gx在
1
x，时单调递减，在
a
1
x，时单调递增，则
a
11
gxg1
min
aa
.
∴
11
1，解得a2.…………………………10分
a2
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