容斥原理奥数原题.docx

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容斥原理奥数原题

容斥原理

                        在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：

先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

                        容斥原理

（1）

                        如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ 

                        B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

                        例1  

                        一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

                        分析：

依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。

                        试一试：

某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？

（并说一说你的想法。

）

                        容斥原理

（2）

                        如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ 

                        B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数

1、某艺术团的小演奏家们每人都至少会演奏小提琴和钢琴中的一种。

他们中有32人会拉小提琴，27人会弹钢琴，小提琴和钢琴都能演奏的有11人。

这个团共有多少个小演奏家？

2、一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且全班每人至少参加一个队。

问：

这个班两队都参加的有多少人？

3、京华小学五年级学生采集标本。

采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人。

全班学生共有40人，没有采集标本的有多少人？

4、有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂日语，有75人懂英语，83人懂日语。

既懂英语又懂日语的有多少人？

5、一个工厂有一批工人，每人至少会一门技术。

其中会开车床的有235人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人。

既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人，三种都会的有19人。

这个工厂一共有多少人？

6、外语学校有英语、法语和日语教师共27人。

其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英语和日语的有5人，能教法语和日语的有3人，能教英语和法语的有4人，能教英语、法语和日语的只有2人。

只能教法语的教师有多少人？

7、某校五年级有学生54人，每人至少爱好一种球。

其中爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14人，既爱好足球又爱好排球的有12人。

这三种球都爱好的有多少人？

8、如图，在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20厘米和45厘米的正方形纸。

问：

桌面上没有被纸片盖住的面积是多少？

9、如图，边长是2厘米、4厘米、5厘米的三个正方形叠放在桌面上，它们所覆盖的面积是多少？

10、如图，在桌面上放置三个两两重叠，形状相同的圆形纸片，它们的面积都是24平方厘米。

三张纸片共同重叠的面积是9平方厘米，三张纸片盖住的总面积是37平方厘米。

求三个阴影部分面积的和是多少？

第十七讲周期问题

1、小朋把节省下来的硬币先按四个一分，再按三个2分，后按两个5分这样的顺序往下排，

（1）他排的第111个硬币是几分硬币？

（2）这111个硬币共多少元？

2、把自然数中的偶数：

2、4、6、8、…、依次按照右图规律排成5列，最左边的一列叫第一列，则2006出现在第几列？

3、2007年元旦是星期一，那么，2008年元旦是星期几？

2009年元旦是星期几？

5、有一个77位数，它的各位数字都是1，这个数除以7，余数是多少？

7、如图，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（奥，数）第二组为（林，学），那么第340组是什么？

8、如下图，每列上面的汉字和下面的字母组成一组，如第一组是（我，A），第二组是（们，B），……，那么，第100组是什么？

9、将分母为15的所有最简假分数由小到大依次排列，问第99假分数的分子是几？

10、有一排算式：

1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，2+19，…，那么，________+_________=2005。

11、A＝2006.1234567891011121314……，A的小数点后第2006位是几？

12、自然数的平方按从小到大排列成：

149162536496481100121……，从左至右第100个数字是几？

13、把1至2006这2006个自然数依次写下来，得一多位数：

123456789101112……20052006，试求这一多位数除以9的余数。

14、一列数，第一个是1940，第二个是2006，从第三个开始，每个数是它前两个数的平均值的整数部分，这列数的第100个数是多少？

15、有一串数字9286……，从第3个数字起，每一个数字都是它前面2个数字的积的个位数字。

问：

第100个数字是几？

前100个数字之和是多少？

16、1，1，2，3，5，8，13，……，90个数排成一列，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和。

那么，这90个数的和除以5的余数是多少？

17、一串数1、2、4、7、11、16、……，其中第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3，依此类推，那么这串数左起第2003个数除以5的余数是几？

18、70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和。

这一行最左边的几个数是这样的：

0、1、3、8、21、55、144、……，最右边一个数（第70个数）被6除余几？

19、将既能被5整除又能被7整除的自然数自35起从小到大排成一行，共有1991个数。

这1991个数的和被11除的余数是多少？

20、观察数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，这列数中第2006个数的个位上数字是几？

21、在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米染一个红点，然后沿红点将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有多少根？

22、有一个人在草坪上散步，从A点出发，面向正东向前走3米，然后向左转120°，再向前走3米，接着再向左转120°，仍向前走3米，不断重复进行，当这个人走过2000米后，他距出发点A的距离是多少米？

第十讲行程问题

（一）

1、东西两地长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东地到西地；1.5小时后，乙车从西地出发到东地，再过3小时两车还相距15千米。

乙车每小时行多少千米？

2、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行6千米，乙车每小时行8千米，两车在离中点32千米处相遇。

求A、B两地间的距离是多少千米？

3、甲、乙两辆旅游车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇。

相遇后甲车继续行驶了3小时到达B地，乙车每小时行24千米。

问：

A、B两地相距多少千米？

4、两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑，甲每分跑250米，乙每分跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分两人相遇？

5、两名运动员在湖的周围环形跑道上练习长跑。

甲每分比乙多跑50米。

如果两人同时同地同向出发，则经过45分甲追上乙。

如果两人同时同地反向出发，则经过5分可以相遇。

求甲乙两人的速度。

6、甲、乙两人以每分60米的速度同时、同地、同向步行出发，走15分后，甲返回原地取东西，而乙继续前进。

甲取东西用去5分时间，然后改骑自行车以每分360米的速度去追乙，骑车多少分才能追上乙？

7、一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6小时，逆流需要8小时，水流速度每小时为2.5千米。

求轮船在静水中的速度是多少？

8、某人步行的速度为每秒2米，一列火车从后面开来，超过他用了10秒。

已知火车长90米。

求火车的速度？

9、一列火车通过440米的桥需要40秒，以同样的速度穿过310米的隧道需要30秒。

这列火车的速度和车身长各是多少？

10、一列货车共50节，每节车身长30米，两节车间隔长1.5米，这列货车平均每分钟前进1000米，要穿过1426.5米山洞，需要多少分钟？

11、一列火车长640米，从路旁的一棵大树旁通过，需40秒。

如果以同样的速度通过一座长800米的大桥，需要多少秒？

12、有两列火车，一列长102米，每秒行20米，一列长120米，每秒行17米。

两列火车同向而行，从第一列车追上第二列车到两车离开需要几秒？

13、甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米。

有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。

求丙车的速度。

14、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。

这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人。

现知道快车每小时行24千米，中车每小时行20千米。

慢车每小时行多少千米？

15、A、B两地相距21千米，上午8时甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行。

甲到达B地后立即返回，乙到达A地后立即返回，上午11时他们第二次相遇。

此时，甲走的路程比乙走的路程多9千米。

甲每小时走多少千米？

16、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。

8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。

到家后又立刻回头去追小明。

再追上他的时候，离家恰是8千米。

这时是几时几分？

17、两辆汽车同时从A、B两城相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原速返回，又在离A城44千米处相遇。

两城相距多少千米？

18、甲、乙两地相距１００千米，一辆汽车和一台拖拉机都从甲地开往乙地，汽车出发时，拖拉机已开出１５千米；当汽车到达乙地时，拖拉机距乙地还有１０千米。

那么，汽车是在距乙地多少千米处追上拖拉机的？

19、当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米，比丙领先20米。

如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先多少米？

20、两辆汽车同时从A、B两站相对开出，在B侧距中点20千米处两车相遇。

继续以原速前进，到达对方出发站后又立即返回。

两车再在距A站160千米处第二次相遇。

求A、B两站距离？

21、兄弟骑车旅游，弟弟先出发，速度是每分200米，5分后，哥哥带一只狗出发，以每分250米的速度去追弟弟。

而狗则以每分300米的速度向弟弟跑去，追上弟弟后立即返回，遇到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟后为止。

这时狗跑了多少千米？

第十一讲行程问题

（二）

1、如右图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C离A有80米；在D点第二次相遇，D点离B点有60米，求这个圆的周长。

2、在一圆形跑道上，小明从A点，小强从B点同时出发反向行走6分，小明与小强相遇，再过4分，小明到达B点，又再过8分，又与小强再次相遇。

小明环形一周要多少分？

3、A、B、C三人在一个圆形池塘的周围散步。

三人从同一地点同时出发，A与B按顺时针方向行走，而C是按逆时针方向行走。

A每分钟走80米，B每分钟走65米。

C在出发后20分钟先遇到A，再过2分钟时C又遇到了B。

求这个圆形池塘的周长是多少米？

4、如图，AC两地相距2千米，CB两地相距5千米。

甲、乙两人同时从C地出发，甲向B地走，到达B地后立即返回；乙向A地走，到达A地后立即返回。

如果甲速是乙速的1.5倍，那么在乙到达D地时，还未能与甲相遇，他们还相距0.5千米，这时甲距C地多少千米？

5、自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走20级，女孩每分走15级，结果男孩用了5分到达楼上，女孩用了6分到达楼上。

问：

该扶梯露在外面的部分共有多少级？

6、亮亮沿公共汽车路线行走，他注意到，每隔10分钟就有一辆公共汽车迎面向他开来，每隔15分钟就有一辆公共汽车由后面追上他。

如果公共汽车和亮亮的速度都不变，车站发车间隔时间相同，那么车站每隔几分钟发出一辆公共汽车？

7、一条大河上有A、B两个码头，A在B的上游50千米处，客船、货船分别从A、B两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。

客船出发时有一物品从船上落入水中漂浮，10分钟后，此物品距离客船5千米，客船在行驶20千米后折回向下游追赶此物，追上时恰好与货船相遇，求水流的速度？

8、如右图，两只小爬虫甲和乙从A点出发，沿长方形ABCD的边，按箭头方向爬行，在离C点32厘米的E点，它们第一次相遇；在离D点16厘米的F点第二次相遇；在离A点16厘米的G点第三次相遇。

求长方形的边AB长多少厘米？

AD边长多少厘米？

9、一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离开出发点30厘米处与甲相遇。

问：

爬虫乙原来的速度是多少？

10、一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。

这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。

它们每爬行1秒，3秒，5秒……（连续的奇数），就调头爬行。

那么，它们相遇时已经爬行的时间是多少秒？

11、一支摩托车小分队奉命把一份重要的文件送到距小分队驻地300千米以外的指挥部。

每辆摩托车装满油最多能行驶300千米，途中无加油站。

为保证顺利完成任务，队长想出一个巧妙的方法：

用三辆摩托车执行此项任务，恰好有辆摩托车可以把文件送到指挥部，另外两辆安全返回驻地（三辆摩托车所带的油全部用完）。

指挥部距小分队驻地多少千米？

12、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后在C地相遇；如果甲速不变，乙车每小时多行5千米，则相遇点距C地12千米；如果乙速不变，甲车每小时多行5千米，则相遇点距C地16千米，甲车原来每小时行多少千米？

13、唐老鸭与米老鼠进行10000米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟行100米。

唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n次指令，米老鼠就以原速度的n×10%倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是多少次？

14、三个人从A地到B，两地相距36千米，三个人只有一辆自行车，这辆车只能坐两人，自行车的速度比步行速度快两倍。

他们三人决定：

第一个人和第二个人同乘自行车，第三个人步行。

这三个人同时出发，当骑车的二人到达某点C时，骑车人放下第二个人，立即沿原路返回去接第三个人，到某处D与第三个人相遇，两人同乘自行车前往B；第二个人在C处下车后继续步行前往B地。

结果三个人同时到达B地。

那么C距A处多少千米？

D距A多少千米？

15、一辆奥迪轿车和一辆桑塔纳轿车分别从A、B两地出发，相向而行，奥迪车每分行1400米。

如果两车同时出发，则恰好在途中的加油站相遇；如果桑塔纳轿车先出发了1分钟，则两车在距加油站600米处相遇；如果奥迪轿车先出发1分钟，则两车在距加油站多少米的地方相遇？

第十八讲尾数与平方数

1、230的尾数是几？

2、20062006的末位数字是几？

3、7887与8778的和的尾数是几？

4、人们用电子计算机找到的最大质数是2216091－1，它的尾数是几？

5、46305乘一个自然数A，积是一个完全平方数，则最小的A是多少？

6、祖孙三人，孙子与爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是多少？

7、若（1×2×3×…×N）＋3是一个完全平方数，则N是多少？

8、777777×888888×999999的尾数是几？

9、乘积71×72×73×…×710的个位数字是几？

10、110＋210＋310＋410＋510＋610＋710＋810＋910＋1010的个位数字是几？

11、把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是多少？

12、已知一个自然数的平方的十位数字是8，这个完全平方数的个位数字是几？

13、如果一个自然数能表示成两个自然数的平方差，则把这个自然数称之为“智慧数”。

如16=52－32，16称为“智慧数”。

请确认：

在自然数列中，从1数起，第2006个智慧数是哪个数？

14、两位数AB减去两位数BA的差为某自然数的平方，这样的两位数共有多少个？

15、如果把2006连写2006次，就得到N=20062006……2006，那么，N被11除所得商的个位数字是几？

16、由非零的偶数码组成一个四位数，它又恰是由偶数码组成的完全平方数，那么这个四位数是多少？

17、设ABCD是四位数，已知A、BCD、ABCD都是完全平方数，符合条件的所有四位数有哪些？

18、从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是多少？

19、一个两位数的立方是一个五位数，组成这个五位数的数字与原两位数的数字都不相同，求原来的两位数。

20、一个小于400的三位数，它是一个完全平方数。

它的前两位数字组成的两位数是一个完全平方数，它的个位数也是完全平方数。

这样的三位数有哪些？

21、如果一个两位数与它的反序数的和是一个完全平方数，则称它为“灵巧数”。

试找出所有的“灵巧数”。

22、甲、乙、丙、丁均买了奖券，他们中只有一个人中奖，而中奖号码的最后四位数字组成的四位数（不变顺序）恰是完全平方数，已知甲的奖券从右数第一个数字是8，第四个数字是1；乙的奖券从右数第一个数字是5，第二个数字是4；丙的奖券从右数第一个数字是1，第三个数字是4，第四个数字是3；丁的奖券从右数第一个数字是0，第二个数字是4，则中奖号码的后四位数字组成的四位数（不变顺序）是多少？

23、两人共买N只皮球，每只皮球N元。

付款时，甲先付10元，乙再付10元，照此轮流下去，当最后余下的所要付的钱不足十元时，轮到乙付。

当所有的款全部付完时，乙再付多少钱给甲，才能使两人所付的钱同样多？

第三讲差倍、年龄问题

1、一个数的小数点向左移动一位，比原数小0.72，原数是多少？

2、甲数减去878，就等于乙数，如果甲数加上1142，就等于乙数的5倍。

甲、乙两数各是多少？

3、把数字5写到一个三位数的左边，再把得到的四位数加上400，它们的和是这个三位数的55倍，这个三位数是多少？

4、甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中苹果数反而比甲筐多3千克？

5、有大、中、小三筐苹果，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐装的是小筐的4倍。

大、中、小三筐共有苹果多少千克？

6、有两袋大米，第二袋比第一袋多40千克，如果从第二袋中取出5千克倒入第一袋，这时第二袋大米的重量正好是第一袋的3倍。

原来两袋大米的重量各是多少千克？

7、有甲、乙两桶油，若从甲桶倒入乙桶15千克，则两桶油重量相等；若从乙桶倒入甲桶48千克，则甲桶油是乙桶油的4倍。

甲桶原有油多少千克？

8、甲在银行存款4000元，乙在银行存款2000元。

两人从银行中取出同样多的钱后，甲的存款是乙存款的5倍。

两人各取出多少元？

9、两筐重量相等的苹果，甲筐卖出了7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的千克数是乙筐的3倍。

两筐原来各有苹果多少千克？

10、甲数是乙数的4倍，如果甲数增加20，乙数增加70，则甲数是乙数的2倍。

甲、乙两数各是多少？

11、有甲、乙两个仓库，甲仓储存的大米等于乙仓的4倍。

如果从甲仓运600袋到乙仓，则乙仓的大米等于甲仓的4倍。

甲、乙两个仓库原来各有大米多少袋？

12、甲、乙、丙三只筐，筐内装球数不等，三只甲筐装的球与四只乙筐装的球相等，两只乙筐装的球刚好等于一个丙，甲筐比丙筐少装60个，乙筐装球多少个？

13、A、B、C三条公路，B公路的长度是A公路的2倍，C公路比B公路的3倍还多15千米，A公路比C公路短230千米，三条公路各长多少千米？

14、父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子的2倍。

父子年龄各是多少？

15、姐姐年龄比妹妹年龄的3倍多1岁，但妹妹5年后的年龄比姐姐3年前的年龄大1岁。

求姐妹年龄各是多少岁？

16、父亲的年龄是50岁，女儿的年龄是16岁，几年后父亲的年龄正好是女儿的3倍？

17、学生问老师多少岁，老师说：

“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁。

”那么，这位老师今年多少岁？

18、小红全家人的年龄加在一起，刚好是90岁。

小红的爸爸比妈妈大3岁，小红比妹妹大5岁。

但是，8年前，他们全家人的年龄和刚好是60岁。

想一想，小红家四人今年各是几岁？

19、有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和，9年后老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；又3年后，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再3年后，则为乙、丙两学生年龄之和。

求现在各人的年龄？

20、梁老师问陈老师有多少个子女。

陈老师说：

“现在我和妻子的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；6年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。

”陈老师有多少个子女？

1.今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：

现在父子的年龄各是多少岁？

2.有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9年后，老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和；又3年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再3年后，老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。

求现在各人的年龄。

3.全