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电气外文翻译

外文资料翻译

学院（系）：

　　信息与电气工程学院　

专　　业：

　电气工程及其自动化　　

学生：

扬扬

班级:

电气二班

学号：

130010321

指导教师：

昱

2017年3月22日

采样数据模型预测控制

非线性时变系统的：

稳定性和鲁棒性

概要:

我们这里所叙述的一采样数据模型预测控制的框架，使用连续时间模型，但采样的实际状况以及为计算控制的状态，进行了在离散instants的时间。

在此框架可以解决一个非常大的一类系统，非线性，时变的，非完整。

如同在许多其他采样数据模型预测控制计划，barbalat的引理一个重要的角色，在证明的名义稳定的结果。

这是争辩这泛barbalat的引理，形容这里，可以有也类似的的作用，在证明的鲁棒稳定性的结果，也允许以解决一个很一般类非线性，时变的，非完整系统，受到的干扰。

那个的可能性的框架，以容纳间断的意见是必要的实现名义的稳定性和鲁棒稳定性，例如一般类别的系统。

1引言

许多模型预测控制（MPC）计划描述，在文献上使用连续时间的模型和样本状态的在离散的instants时间。

见例如[3，7，9，13]，也是[6]。

有许多好处，在考虑连续时间模型。

不过，任何可执行的模型预测控制计划只能措施，状态和解决的优化问题在离散instants的时间。

在所有的提述，引用上述情况，barbalat的引理，或修改它，是用来作为一个重要步骤，以证明稳定的MPC的计划。

（barbalat的引理是众所周知的和有力的工具，以推断的渐近稳定性的非线性系统，尤其是时间变系统，利用Lyapunov样的办法;见例如[17]为讨论和应用）。

显示模型预测控制的一项战略是稳定（在名义如此），这表明，如果某些设计参数（目标函数，码头设置等），方便的选定，然后价值函数是单调递减。

然后，运用barbalat的引理，吸引力该轨迹的名义模型可以建立（i.e.x（t）→0ast→∞）.这种稳定的状态可以推断，一个很笼统的类非线性系统：

包括时变系统的，非完整系统，系统允许间断意见，等此外，如果值函数具有一定的连续性属性，然后Lyapunov稳定性（即轨迹停留任意接近的起源提供了足够的密切开始向原产地）也可以得到保障（见例如[11]）。

不过，这最后的财状态可能否则就不可能实现，为某些类别的系统，例如汽车一样，车辆（见[8]为讨论这个问题，这个例子）。

类似的做法，可以用来推断鲁棒稳定的货币政策委员会系统允许的不确定性。

后建立的单调减少的价值功能，我们会要保证状态的轨迹渐近办法订定一些载有原产地。

但是，遇到的困难是，预测的轨迹，只有刚好与由此产生的轨迹在特定的抽样instants。

鲁棒稳定性能可以得到，因为我们显示，用一种广义的版本barbalat的引理。

这些鲁棒稳定性结果也有效期为一个很一般类非线性时变系统的允许间断的意见。

最优控制有待解决的问题与模型预测控制的战略是在这里制定了非常笼统的受理套管制（例如，可衡量的控制职能），使更容易保证，在理论上讲，存在的解决办法。

不过，某种形式的有限参数的控制功能需要/可取的解决上线的优化问题。

它可以证明即稳定或鲁棒性的结果在这里所描述的仍然有效，当优化进行了有限的参数化的管制，如分段常数控制（如在[13]），或帮邦间断反馈（如在[9]）。

2采样数据MPC的框架

我们会考虑一种非线性的静态具有输入与状态的限制，凡变化的状态后，时间t0，预计由以下模型。

数据模型，这包括了一套包含所有可能的初始状态在最初的时间，矢量这是状态的测量时间，某一函数f：

一套的尽可能控制值。

我们假设这个制度，以渐近的可控性对，并为所有我们进一步假设函数f是连续的和局部Lipschitz方面的第二个论点。

注意到，在区间控制值的选定是由单身人士因此，优化的决定，都是进行在区间与预期的效益，在计算时间.

乐谱在这里通过的是如下。

可变吨代表的实时同时，我们保留S来表示的时间变量，用于在预测模型。

那个矢量xt是指的实际状况核电厂的测量时间t过程的是一对弹道/控制取得了从系统模型。

那个轨迹，有时是标注为的，当我们想作明确地依赖于初始时间，初始状态，和控制功能。

两人的是指我们的最优解，以一个开放的闭环优化控制问题。

过程中是闭环系统的轨迹和控制造成的从货币政策委员会的策略。

我们要求设计参数的变数，目前，在开环最优控制问题是没有从系统模型（即变量，我们可以选择）;这些包括控制豪华的TC，该预测地平线总磷，运行成本和终端成本的职能升和W，辅助控制律kaux，和终端约束集

正是由此产生的轨迹是由

这里

和功能于是

类似的采样数据框架使用的连续时间模型和采样国家的核电厂在离散instants的时间通过了在[2，6，7，8，13]并正成为公认的框架，连续时间的货币政策委员会。

它可以结果表明，与在此框架是有可能的地址和保证稳定，鲁棒性，由此产生的闭环控制系统-为一个非常大的类系统，可能是非线性，时变的和非完整。

3非完整系统的和间断的反馈意见

有许多物理系统的兴趣，在实践中，只能为蓝本适当作为非完整系统。

一些例子是轮式车辆，机器人，以及其他许多机械系统。

一遇到的困难，在控制这种系统是任何线性周围的原产地是无法控制的，因此任何的线性控制方法是无用的，以解决这些问题。

不过，可能是主要的富有挑战性的特点对非完整系统的是，这是不可能稳定的话，刚才时间不变连续反馈获准[1]。

但是，如果我们容许间断意见，它可能并不清楚什么是解决动态微分方程。

（见[4日，8日]为进一步讨论这个问题）。

解决的概念，已被证明是成功的在处理与稳定由间断的意见为是一种通用类别的可控系统概念是“采样-反馈”提出的解决办法[5]。

可以看出，即采样数据所描述的货币政策委员会的框架，可结合自然与“抽样反馈法”，从而确定一个轨迹的方式，这是非常类似的概念，介绍了在[5]。

这些轨迹，温和条件下，清楚界定，甚至当反馈法是间断。

有在文献中的几个工程，允许间断的反馈意见的法律的背景下货币政策委员会。

（见[8]为一项调查，这些工程）的本质特征

这些框架，允许间断只不过是采样数据的特点-适当使用一种积极的跨采样时间，再加上一个适当的解释解决一个间断微分方程。

4barbalat的引理和变种

barbalat的引理是众所周知的和有力的工具，以推断的渐近稳定性非线性系统，尤其是时间变系统，利用Lyapunov样办法（见例如[17]为讨论和应用）。

简单的变种，这引理已成功地用来证明稳定的结果为模型预测控制（货币政策委员会）的非线性和时变系统的[7，15]。

事实上，在所有采样数据货币政策委员会框架举出上述情况，barbalat的引理，或修改它，是用来作为一个重要步骤，以证明稳定货币政策委员会的计划。

这表明，如果某些设计参数（目标功能，码头设置等），方便的选定，则值函数是单调递减。

然后，运用barbalat的引理，吸引力的轨迹的名义模型可以建立。

这种稳定的财产可以推断，一个很笼统的类非线性系统：

包括时变系统的，非完整系统，系统允许间断意见，等等。

最近的工作，稳健的货币政策委员会的非线性系统[9]用了一个泛化对barbalat引理的一个重要步骤，以证明稳定的算法。

不过，这是我们认为，这种泛化的引理可能提供一个有用的工具来分析稳定在其他稳健的连续时间的货币政策委员会的做法，如一个形容这里时变系统的。

一个标准的结果，在微积分的国家，如果一个功能是较低的围和减少，那么收敛到一个极限。

不过，我们不能断定是否及其衍生物会减少或没有，除非我们施加了一些平滑的财产关于F。

我们在这样一个众所周知的形式的barbalat的引理（见例如：

[17]）。

5名义的稳定

稳定性分析可以进行显示，如果设计参数方便的选定（即选定，以满足某一个足够稳定条件下，例如见[7]），然后在某货币政策委员会的价值函数V是表明要单调递减。

更确切地说，

对于和

这里M是连续的，径向无界，正定功能。

函数V的MPC值被定义为

这里是为最优控制问题的函数值。

从（7）我们可以知道对任意

因为是有限的。

我们得出和因此，

，因为是连续的，我们得出所有的条件，申请barbalat的引理2会见，高产，该轨迹渐近收敛到原点。

注意：

这个概念的稳定，并不一定包括Lyapunov稳定性财产是惯常在其他的概念，稳定;见[8]为了讨论。

6鲁棒稳定性

在过去的几年中合成的强劲货币政策委员会的法律被认为是在不同的工程[14]。

框架下文所述是基于一个在[9]，延长至timevarying系统。

我们的目标是开车到某一所定的目标θ（⊂irn）国家的非线性系统受界扰动

强劲的反馈货币政策委员会的策略，是由多次获得解决上线，在每个采样即时钛，Min-Max的优化问题，磷，以选取反馈kti，每一次使用当前措施，该国的核电厂xti。

在这个优化问题，我们使用公约，如果一些约束是不是满意，那么价值的游戏+∞。

这可确保

当价值的游戏是有限的，最优控制策略保证满意的程度的限制，为一切可能的干扰情况。

7有限参数的控制功能

结果的稳定性和鲁棒稳定性，证明了用最优控制问题所在是控制职能，选定由一个非常一般设置（一套可衡量的职能）。

这个是足够的证明理论的稳定结果，它甚至允许使用的结果，就存在一个最小的解决方案，以最优控制问题（如[7，命题2]）。

不过，对于执行，使用任何优化算法，控制功能需要加以形容一个有限的参数数目（所谓有限参数的控制功能）。

控制可参数为分段常数控制（如[13]），多项式或样条所描述的一个有限的数目coeficients，砰-砰管制（例如，[9，10]）等。

注意，我们是不会考虑的离散模型或动态方程。

问题的离散逼近，详细讨论了如在[16]及[12]。

但是，在证明稳定，我们只是要表明，在一些点就是最优成本（值函数）是低于成本的使用另一受理控制。

因此，只要设定可接受的控制值U的常数所有的时间，轻而易举的事，但无论如何，重要的是，必然前稳定结果如下

如果我们考虑到一套接纳控制功能（包括辅警控制法）是一个有限parameterizable设置这样的一套受理的控制值是不断为所有的时间，那么双方的名义稳定性和鲁棒稳定的结果，这里所描述的仍然有效。

举例来说，是利用间断的反馈控制策略榜榜类型，可以说是由少数参数等，使问题的计算tractable。

在邦邦反馈策略，管制的价值观的策略是只允许在其中一个极端它的围。

许多控制问题感兴趣的承认，一帮邦稳定控制。

fontes和magni[9]描述的应用，这参数是一个unicycle移动机器人须有界扰动。

Sampled-DataModelPredictiveControlforNonlinearTime-VaryingSystems:

StabilityandRobustness

Summary.Wedescribehereasampled-dataModelPredictiveControlframeworkthatusescontinuous-timemodelsbutthesamplingoftheactualstateoftheplantaswellasthecomp-utationofthecontrollaws,arecarriedoutatdiscreteinstantsoftime.Thisframeworkcanaddressaverylargeclassofsystems,nonlinear,time-varying,andnonholonomic.

Asinmanyotherssampled-dataModelPredictiveControlschemes,Barbalat’slemmahas

animportantroleintheproofofnominalstabilityresults.Itisarguedthatthegeneralization

ofBarbalat’slemma,describedhere,canhavealsoasimilarroleintheproofofrobuststab-

ilityresults,allowingalsotoaddressaverygeneralclassofnonlinear,time-varying,nonho-lonomicsystems,subjecttodisturbances.Thepossibilityoftheframeworktoaccommodatediscontinuousfeedbacksisessentialtoachievebothnominalstabilityandrobuststabilityforsuchgeneralclassesofsystems.

1Introduction

ManyModelPredictiveControl（MPC）schemesdescribedintheliteratureusecontinuous-timemodelsandsamplethestateoftheplantatdiscreteinstantsoftime.Seee.g.[3,7,9,13]andalso[6].Therearemanyadvantagesinconsideringacontinuous-timemodelfortheplant.Neverthe-less,anyimplementableMPCschemecanonlymeasurethestateandsolveanoptimizationpro-blematdiscreteinstantsoftime.

Inallthereferencescitedabove,Barbalat’slemma,oramodificationofit,isusedasanimpo-rtantsteptoprovestabilityoftheMPCschemes.（Barbalat’slemmaisawell-knownandPower-fultooltodeduceasymptoticstabilityofnonlinearsystems,especiallytime-varyingsystems,usingLyapunov-likeapproaches;seee.g.[17]foradiscussionandapplications）.ToshowthatanMPCstrategyisstabilizing（inthenominalcase）,itisshownthatifcertaindesignparameters

（objectivefunction,terminalset,etc.）areconvenientlyselected,thenthevaluefunctionismono-tonedecreasing.Then,applyingBarbalat’slemma,attractivenessofthetrajectoryofthenominalmodelcanbeestablished（i.e.x（t）→0ast→∞）.Thisstabilitypropertycanbededucedforaverygeneralclassofnonlinearsystems:

includingtime-varyingsystems,nonholonomicsystems,systemsallowingdiscontinuousfeedbacks,etc.If,inaddition,thevaluefunctionpossessessomecontinuityproperties,thenLyapunovstability（i.e.thetrajectorystaysarbitrarilyclosetotheoriginprovideditstartscloseenoughtotheorigin）canalsobeguaranteed（seee.g.[11]）.

However,thislastpropertymightnotbepossibletoachieveforcertainclassesofsystems,forexampleacar-likevehicle（see[8]foradiscussionofthisproblemandthisexample）.

AsimilarapproachcanbeusedtodeducerobuststabilityofMPCforsystemsallowinguncertainty.Afterestablishingmonotonedecreaseofthevaluefunction,wewouldwantto

guaranteethatthestatetrajectoryasymptoticallyapproachessomesetcontainingtheorigin.But,adifficultyencounteredisthatthepredictedtrajectoryonlycoincideswiththeresultingtrajectoryatspecificsamplinginstants.Therobuststabilitypropertiescanbeobtained,asweshow,usingageneralizedversionofBarbalat’slemma.Theserobuststabilityresultsarealsovalidforaverygeneralclassofnonlineartime-varyingsystemsallowingdiscontinuousfeedbacks.

TheoptimalcontrolproblemstobesolvedwithintheMPCstrategyarehereformulatedwithverygeneraladmissiblesetsofcontrols（say,measurablecontrolfunctions）makingiteasiertoguarantee,intheoreticalterms,theexistenceofsolution.However,someformoffiniteparameterizationofthecontrolfunctionsisrequired/desirabletosolveon-linetheoptimizationproblems.Itcanbeshownthatthestabilityorrobustnessresultsheredescribedremainvalidwhentheoptimizationiscarriedoutoverafiniteparameterizationofthecontrols,suchas

piecewiseconstantcontrols（asin[13]）orasbang-bangdiscontinuousfeedbacks（asin[9]）.

2ASampled-DataMPCFramework

Weshallconsideranonlinearplantwithinputandstateconstraints,wheretheevolutionofthestateaftertimet0ispredictedbythefollowingmodel.

Thedataofthismodelcompriseasetcontainingallpossibleinitialstatesattheinitialtimet0,avectorxt0thatisthestateoftheplantmeasuredattimet0,agivenfunction

ofpossiblecontrolvalues.

WeassumethissystemtobeasymptoticallycontrollableonX0andthatforallt≥0f（t,0,0）=0.WefurtherassumethatthefunctionfiscontinuousandlocallyLipschitzwithrespecttothesecondargument.

TheconstructionofthefeedbacklawisaccomplishedbyusingasampleddataMPCstrategy.Considerasequenceofsamplinginstantsπ:

={ti}i≥0withaconstantinter-samplingtimeδ>0suchthatti+1=ti+δforalli≥0.Consideralsothecontrolhorizonandpredictivehorizon,TcandTp,withTp≥Tc>δ,andanauxiliarycontrollawkaux:

IR×IRn→IRm.Thefeedbackcontrolisobtainedbyrepeatedlysolvingonlineopen-loopoptimalcontrolproblemsP（ti,xti,Tc,Tp）ateachsamplinginstantti∈π,everytimeusingthecurrentmeasureofthestateoftheplantxti.

Notethatintheinterval[t+Tc,t+Tp]thecont