全国初中数学竞赛试题及答案.docx

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全国初中数学竞赛试题及答案

2007年全国初中数学竞赛试题

班级座号姓名成绩

一、选择题（共5题，每小题6分，共30分）

1、方程组

的实数解的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。

现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）

A．14B．16C．18D．20

3、已知a、b、c是三个互不相等的实数，且三个关于x的一元二次方程

恰有一个公共实数根，则

的值为（）

A．0B．1C．2D．3

4、已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且AB、AC分别相交于点D、E，若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（）

A．内心B．外心C．重心D．垂心

5、方程

的整数解（x，y）的个数是（）

A．0B．1C．3D．无穷多

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6、如图，点A、C都在函数

的图象上，点B、D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为.

7、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是.

8、如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=n·90°，则n=.

9、已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0），若二次函数

的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是.

10、已知对于任意正整数n，都有

则

.

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）

11、已知抛物线C1：

和抛物线C2：

相交于A，B两点。

点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间。

（1）求线段AB的长；

（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值。

12、已知a，b都是正整数，试问关于x的方程

是否有两个整数解？

如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。

13、如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足

.若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD。

求证：

（1）

；

（2）△PAB∽△PDC.

14、

（1）是否存在正整数m，n，使得

（2）设k（k≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得