这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计。
这就为分阶段处理问题提供了依据。
象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：
…④
当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔEK=fd（这里的d为木块的厚度），但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用④式计算ΔEK的大小。
3．反冲问题
在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开。
这类问题相互作用过程中系统的动能增大，有其它能向动能转化。
可以把这类问题统称为反冲。
【例4】质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。
当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？
解析：
先画出示意图。
人、船系统动量守恒，总动量始终为零，所以人、船动量大小始终相等。
从图中可以看出，人、船的位移大小之和等于L。
设人、船位移大小分别为l1、l2，则：
mv1=Mv2，两边同乘时间t，ml1=Ml2，而l1+l2=L，
∴
点评：
应该注意到：
此结论与人在船上行走的速度大小无关。
不论是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要人最终到达船的左端，那么结论都是相同的。
以上列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。
如果发生相互作用前系统就具有一定的动量，就不能再用m1v1=m2v2这种形式列方程，而要用（m1+m2）v0=m1v1+m2v2列式。
【例5】总质量为M的火箭模型从飞机上释放时的速度为v0，速度方向水平。
火箭向后以相对于地面的速率u喷出质量为m的燃气后，火箭本身的速度变为多大？
解析：
火箭喷出燃气前后系统动量守恒。
喷出燃气后火箭剩余质量变为M-m，以v0方向为正方向，
4．爆炸类问题
【例6】抛出的手雷在最高点时水平速度为10m/s，这时突然炸成两块，其中大块质量300g仍按原方向飞行，其速度测得为50m/s，另一小块质量为200g，求它的速度的大小和方向。
分析：
手雷在空中爆炸时所受合外力应是它受到的重力G=（m1+m2）g，可见系统的动量并不守恒。
但在爆炸瞬间，内力远大于外力时，外力可以不计，系统动量近似守恒。
设手雷原飞行方向为正方向，则整体初速度
；m1=0.3kg的大块速度为
m/s、m2=0.2kg的小块速度为
，方向不清，暂设为正方向。
由动量守恒定律：
m/s
此结果表明，质量为200克的部分以50m/s的速度向反方向运动，其中负号表示与所设正方向相反
5．某一方向上的动量守恒
【例7】如图所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M的小圆环，环上系一长为L质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球，现将绳拉直，且与AB平行，由静止释放小球，则当线绳与AB成θ角时，圆环移动的距离是多少？
解析：
虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零（杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等）系统动量不守恒，但是系统在水平方向不受外力，因而水平动量守恒。
设细绳与AB成θ角时小球的水平速度为v，圆环的水平速度为V，则由水平动量守恒有：
MV=mv
且在任意时刻或位置V与v均满足这一关系，加之时间相同，公式中的V和v可分别用其水平位移替代，则上式可写为：
Md=m［（L-Lcosθ）-d］
解得圆环移动的距离：
d=mL（1-cosθ）/（M+m）
6．物块与平板间的相对滑动
【例8】如图所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M,A、B间动摩擦因数为μ，现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v0,使A开始向左运动，B开始向右运动，最后A不会滑离B，求：
（1）A、B最后的速度大小和方向；
（2）从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车向右运动位移大小。
解析：
（1）由A、B系统动量守恒定律得：
Mv0-mv0=（M+m）v①
所以v=
v0方向向右
（2）A向左运动速度减为零时，到达最远处，此时板车移动位移为s,速度为v′,则由动量守恒定律得：
Mv0-mv0=Mv′①
对板车应用动能定理得：
-μmgs=
mv′2-
mv02②
联立①②解得：
s=
v02
【例9】两块厚度相同的木块A和B，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为
，
，它们的下底面光滑，上表面粗糙；另有一质量
的滑块C（可视为质点），以
的速度恰好水平地滑到A的上表面，如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B上，B和C的共同速度为3.0m/s，求：
（1）木块A的最终速度
；
（2）滑块C离开A时的速度
。
解析：
这是一个由A、B、C三个物体组成的系统，以这系统为研究对象，当C在A、B上滑动时，A、B、C三个物体间存在相互作用，但在水平方向不存在其他外力作用，因此系统的动量守恒。
（1）当C滑上A后，由于有摩擦力作用，将带动A和B一起运动，直至C滑上B后，A、B两木块分离，分离时木块A的速度为
。
最后C相对静止在B上，与B以共同速度
运动，由动量守恒定律有
∴
=
（2）为计算
，我们以B、C为系统，C滑上B后与A分离，C、B系统水平方向动量守恒。
C离开A时的速度为
，B与A的速度同为
，由动量守恒定律有
∴
三、针对训练
练习1
1．质量为M的小车在水平地面上以速度v0匀速向右运动。
当车中的砂子从底部的漏斗中不断流下时，车子速度将（B）
A．减小B．不变C．增大D．无法确定
2．如图所示，放在光滑水平桌面上的A、B木块中部夹一被压缩的弹簧，当弹簧被放开时，它们各自在桌面上滑行一段距离后，飞离桌面落在地上。
A的落地点与桌边水平距离0.5m，B的落地点距离桌边1m，那么（A、B、D）
A．A、B离开弹簧时的速度比为1∶2
B．A、B质量比为2∶1
C．未离开弹簧时，A、B所受冲量比为1∶2
D．未离开弹簧时，A、B加速度之比1∶2
3．如图所示，在沙堆表面放置一长方形木块A，其上面再放一个质量为m=0.10kg的爆竹B，木块的质量为M=6.0kg。
当爆竹爆炸时，因反冲作用使木块陷入沙中深度h=50cm，而木块所受的平均阻力为f=80N。
若爆竹的火药质量以及空气阻力可忽略不计，g取
，求爆竹能上升的最大高度。
解：
爆竹爆炸瞬间，木块获得的瞬时速度v可由牛顿第二定律和运动学公式求得
，
，
爆竹爆炸过程中，爆竹木块系统动量守恒
练习2
1．质量相同的两个小球在光滑水平面上沿连心线同向运动，球1的动量为7kg·m/s,球2的动量为5kg·m/s,当球1追上球2时发生碰撞，则碰撞后两球动量变化的可能值是A
A．Δp1=-1kg·m/s，Δp2=1kg·m/s
B．Δp1=-1kg·m/s，Δp2=4kg·m/s
C．Δp1=-9kg·m/s，Δp2=9kg·m/s
D．Δp1=-12kg·m/s，Δp2=10kg·m/s
2．小车AB静置于光滑的水平面上，A端固定一个轻质弹簧，B端粘有橡皮泥，AB车质量为M，长为L，质量为m的木块C放在小车上，用细绳连结于小车的A端并使弹簧压缩，开始时AB与C都处于静止状态，如图所示，当突然烧断细绳，弹簧被释放，使物体C离开弹簧向B端冲去，并跟B端橡皮泥粘在一起，以下说法中正确的是BCD
A．如果AB车内表面光滑，整个系统任何时刻机械能都守恒
B．整个系统任何时刻动量都守恒
C．当木块对地运动速度为v时，小车对地运动速度为
v
D．AB车向左运动最大位移小于
L
4．质量为M的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小球用细绳吊在小车上O点，将小球拉至水平位置A点静止开始释放（如图所示），求小球落至最低点时速度多大？
（相对地的速度）（
）
6．如图所示甲、乙两人做抛球游戏，甲站在一辆平板车上，车与水平地面间摩擦不计.甲与车的总质量M=100kg，另有一质量m=2kg的球.乙站在车的对面的地上，身旁有若干质量不等的球.开始车静止，甲将球以速度v（相对地面）水平抛给乙，乙接到抛来的球后，马上将另一质量为m′=2m的球以相同速率v水平抛回给甲，甲接住后，再以相同速率v将此球水平抛给乙，这样往复进行.乙每次抛回给甲的球的质量都等于他接到的球的质量为2倍,求：
（1）甲第二次抛出球后，车的速度大小.
（2）从第一次算起，甲抛出多少个球后，再不能接到乙抛回来的球.（
（1）
v,向左
（2）5个）
练习3
1．在光滑水平面上，两球沿球心连线以相等速率相向而行，并发生碰撞，下列现象可能的是（）
A．若两球质量相同，碰后以某一相等速率互相分开
B．若两球质量相同，碰后以某一相等速率同向而行
C．若两球质量不同，碰后以某一相等速率互相分开
D．若两球质量不同，碰后以某一相等速率同向而行
2．如图所示，用细线挂一质量为M的木块，有一质量为m的子弹自左向右水平射穿此木块，穿透前后子弹的速度分别为
和v（设子弹穿过木块的时间和空气阻力不计），木块的速度大小为（）
A．
B．
C．
D．
3．载人气球原静止于高h的空中，气球质量为M，人的质量为m。
若人要沿绳梯着地，则绳梯长至少是（）
A．（m+M）h/MB．mh/MC．Mh/mD．h
4．质量为2kg的小车以2m/s的速度沿光滑的水平面向右运动，若将质量为2kg的砂袋以3m/s的速度迎面扔上小车，则砂袋与小车一起运动的速度的大小和方向是（）
A．2.6m/s，向右B．2.6m/s，向左C．0.5m/s，向左D．0.8m/s，向右
5．车厢停在光滑的水平轨道上，车厢后面的人对前壁发射一颗子弹。
设子弹质量为m，出口速度v，车厢和人的质量为M，则子弹陷入前车壁后，车厢的速度为（）
A．mv/M，向前B．mv/M，向后
C．mv/（m+M），向前D．0
6．向空中发射一物体，不计空气阻力。
当此物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂成a、b两块，若质量较大的a块的速度方向仍沿原来的方向，则（）
A．b的速度方向一定与原速度方向相反
B．从炸裂到落地的这段时间里，a飞行的水平距离一定比b的大
C．a、b一定同时到达水平地面
D．在炸裂过程中，a、b受到的爆炸力的冲量大小一定相等
7．两质量均为M的冰船A、B静止在光滑冰面上，轴线在一条直线上，船头相对，质量为m的小球从A船跳入B船，又立刻跳回，A、B两船最后的速度之比是_________________。
参考答案1．A、D2．B3．A4．C5．D6．C、D7．
第三单元动量和能量
概述：
处理力学问题、常用的三种方法
一是牛顿定律；二是动量关系；三是能量关系。
若考查的物理量是瞬时对应关系，常用牛顿运动定律；若研究对象为一个系统，首先考虑的是两个守恒定律；若研究对象为一个物体，可优先考虑两个定理。
特别涉及时间问题时，优先考虑的是动量定理、而涉及位移及功的问题时，优先考虑的是动能定理。
两个定律和两个定理，只考查一个物理过程的始末两个状态，对中间过程不予以细究，这正是它们的方便之处，特别是变力问题，就显示出其优越性。
例题分析：
例1.如图所示，质量分别为m和2m的A、B两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A靠紧竖直墙。
用水平力F将B向左压，使弹簧被压缩一定长度，静止后弹簧储存的弹性势能为E。
这时突然撤去F，关于A、B和弹簧组成的系统，下列说法中正确的是（BD）
A.撤去F后，系统动量守恒，机械能守恒
B.撤去F后，A离开竖直墙前，系统动量不守恒，机械能守恒
C.撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E
D.撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E/3
[A离开墙前墙对A有弹力，这个弹力虽然不做功，但对A有冲量，因此系统机械能守恒而动量不守恒；A离开墙后则系统动量守恒、机械能守恒。
A刚离开墙时刻，B的动能为E，动量为p=
向右；以后动量守恒，因此系统动能不可能为零，当A、B速度相等时，系统总动能最小，这时的弹性势能为E/3。
]
指出：
应用守恒定律要注意条件。
对整个宇宙而言，能量守恒和动量守恒是无条件的。
但对于我们选定的研究对象所组成的系统，守恒定律就有一定的条件了。
如系统机械能守恒的条件就是“只有重力做功”；而系统动量守恒的条件就是“合外力为零”。
例2.长为L宽为d质量为m总电阻为R的矩形导线框上下两边保持水平，在竖直平面内自由落下而穿越一个磁感应强度为B宽度也是d的匀强磁场区。
已知线框下边刚进入磁场就恰好开始做匀速运动。
则整个线框穿越该磁场的全过程中线框中产生的电热是___________。
[若直接从电功率计算，就需要根据
求匀速运动的速度v、再求电动势E、电功率P、时间t，最后才能得到电热Q。
如果从能量守恒考虑，该过程的能量转化途径是重力势能EP→电能E→电热Q，因此直接得出Q=2mgd]
例3如图所示，质量为1.0kg的物体m1，以5m/s的速度在水平桌面上AB部分的左侧向右运动，桌面AB部分与m1间的动摩擦因数μ=0.2，AB间的距离s=2.25m，桌面其他部分光滑。
m1滑到桌边处与质量为2.5kg的静止物体m2发生正碰，碰撞后m2在坚直方向上落下0.6m时速度大小为4m/s，若g取10m/s2，问m1碰撞后静止在什么位置？
解析：
m1向右运动经过AB段作匀减速运动，由动能定律可以求出离开B点继续向右运动的速度为4米/秒；和m2发生碰撞后，m2作平抛运动，由平抛运动知识可以求出m2做平抛运动的初速度（碰撞之后）为2米/秒。
利用动量守恒定律可以求出碰撞之后瞬间m1的速度为1米/秒。
由动能定律可以求出返回经过AB段，离B点0.25米处停止。
例4翰林汇翰林汇222例子例如图所示，球A无初速地沿光滑圆弧滑下至最低点C后，又沿水平轨道前进至D与质量、大小完全相同的球B发生动能没有损失的碰撞。
B球用长L的细线悬于O点，恰与水平地面切于D点。
A球与水平地面间摩擦系数=0.1，已知球A初始高度h=2米，CD=1米。
问：
（1）若悬线L=2米，A与B能碰几次?
最后A球停在何处？
（2）若球B能绕悬点O在竖直平面内旋转，L满足什么条件时，A、B将只能碰两次？
A球最终停于何处？
（1）20次A球停在C处
（2）L0.76米，A球停于离D9.5米处
例5如图所示，小木块的质量m＝0.4kg，以速度υ＝20m/s，水平地滑上一个静止的平板小车，小车的质量M＝1.6kg，小木块与小车间的动摩擦因数μ＝0.2.（不计车与路面的摩擦）求：
（1）小车的加速度；
（2）小车上的木块相对于小车静止时，小车的速度；
（3）这个过程所经历的时间.
[
（1）0.5m/s2；
（2）4m/s；（3）8s]
第二问：
对m、M系统研究，利用动量守恒定律很快求出木块相对小车静止时，小车的速度。
也可以利用动能定理分别研究m和M，但相对而言要麻烦得多。
表明合理选择物理规律求解，可以提高解题速度和准确程度
例6如图所示,在光滑水平地面上有一辆质量为M的小车,车上装有一个半径为R的光滑圆环.一个质量为m的小滑块从跟车面等高的平台上以速度V0滑入圆环.试问:
小滑块的初速度V0满足什么条件才能使它运动到环顶时恰好对环顶无压力?
解析：
滑块至圆环的最高点且恰好对环顶无压力，应有
式中V是滑块相对圆心O的线速度，方向向左。
设小车此时速度u，并以该速度方向为正方向，则滑块的对地速度为
对滑块和小车组成的系统，由于水平方向所受合外力为零，由动量守恒有
由滑块和小车系统的机械能守恒有
三式联立求解得：
指出：
公式
是相对圆心的线速度，而本题中的圆心是以u向右移动的，所以滑快对地速度为V—u。
而动量守恒定律、机械能守恒定律表达式中的速度均应为对地的。
例7、如图所示，小车A质量为
置于光滑水平面上。
初速度为
，带电量q=0.2C的可视为质点的物体B,质量为
轻放在小车的右端,它们的周转围存在匀强磁场,方向垂直纸面向里,磁场强度为B=0.5T,物体B与小车之间有摩擦力,小车足够长.求
（1）物体B的最大速度.
（2）小车A的最小速度.（3）在此过程中转变成多少内能
V
AB
[解析:
小车受到摩擦力作减速运动,物体B受到摩擦力作用而加速运动,其受到的磁场力方向向上,把A和B作为一个系统,在竖直方向上合外力为零,水平方向不受外力作用,系统总动量守恒.当物体B受到的磁场力和所受重力平衡时,其速度最大,此时小车A的速度最小,在这个过程中系统损失的动能转变成内能.
（1）
（2）根据动量守恒定律有:
（3）
例8静止在太空中的飞行器上有一种装置,它利用电场加速带电粒子,形成向外发射的粒子流,从而对飞行器产生反冲力,使其获得加速度.已知飞行器的质量为M,发射的2价氧离子,发射功率为P,加速电压为U,每个氧离子的质量为m,单位电荷的电量为e,不计发射离子后飞行器质量的变化,求：
（1）射出的氧离子速度；
（2）每秒钟射出的氧离子数；（3）射出离子后飞行器开始运动的加速度。
[解析：
（1）以氧离子为研究对象，根据动能定理，有：
所以氧离子速度为
（2）设每秒钟射出的氧离子数为N，则发射功率可表示为：
所以氧离子数为N=P/2eU（3）以氧离子和飞行器为系统，设飞行器的反冲速度为V，根据动量守恒定律
所以，飞行器的加速度为
例9、质量为0.01kg的子弹以300m/s的水平速度射中一静止在光滑水平面上的
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