小河打水最短距离类型题精编.docx

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小河打水最短距离类型题精编

小河打水问题整理

&如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短？

【数学模型】

已知：

直线l和l的同侧两点A、B。

求作：

点C，使C在直线l上，并且AC＋CB最小。

作法：

1、作点A关于直线l的对称点A′；

2、连结A′B交l于点C。

点C就是所求的点。

证明略

构建“对称模型”实现转化

☼1.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC＝BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）米。

A．750B．1000C．1500D．2000

☼2.在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，当MP＋MQ取最小值时，点M的横坐标x=___________。

☼3.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

☼4.如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？

☼5.要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？

☼6.已知点P、Q分别为AB、AC上的点，在BC边上求作一点R，使△PQR周长最小。

（写出画图方法，并说明理由）

☼7.如图，△ABC中，AB=AC，过点A的直线MN∥BC，点P是MN上的任意点，试说明PB+PC≥2AB。

☼8.（2006苏州）台球是一项高雅的体育运动．其中包含了许多物理学、几何学知识。

图①是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡。

（1）击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边，经过一次反弹后再撞击F球。

他应将E球打到AB边上的哪一点？

请在图①中用尺规作出这一点H．并作出E球的运行路线；（不写画法，保留作图痕迹）

（2）如图②，现以D为原点，建立直角坐标系，记A（0，4），C（8，0），E（4，3），F（7，1），求E球按刚才方式运行到F球的路线长度．（忽略球的太小）

☼9.先阅读下文，再回答问题：

你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识，如图，四边形ABCD是一矩形的球桌台面，有两个球位于P、Q两点上，先找出P点关于CD的对称点P′，连接P′Q交CD于M点，则P处的球经CD反弹后，会击中Q处的球。

请回答：

如果使P球先碰撞台边CD反弹碰撞台边AB后，再击中Q球，如何撞击呢？

（画出图形）

☼10.如图，CDEF是一个矩形的台球面，有黑白两球分别位于点A、B两点，试问怎样撞击黑球A，使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B？

你还有其他方法使A碰到台边反弹后再击中白球B吗？

☼11.如图是一台球桌，欲使球A先撞击球桌的某一边反弹后，再进入4号洞，你有几种撞击方法，画出图形即可。

如果反弹后，任意进入其中一个洞，那么你共有多少种撞击方法。

☼12.小新所在的班级去农村学农，劳动之余数学老师让同学们做一个游戏，如图，在河岸边放一排水桶，要求同学从A处出发，先去取水桶，然后去河边打水，再把水送到B处的水缸中。

要求同学们找出路程最短的路线。

同学们七嘴八舌地争论，没有得出统一的意见。

请你帮他们出出主意，究竟怎样走才能使所走的路程最短？

☼13.如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。

试画出图形，并说明理由。

☼14.如图，M是∠AOB内部一点。

（1）分别作出点M关于OA、OB的对称点，M1、M2。

连接M1M2，交OA于点P，交OB于Q；

（2）若M1M2=10cm，求△MNQ的周长。

（3）在OA、OB上任取点P′、Q′，连接MP′、P′Q′、MQ′，得到△MP′Q′。

比较△MP′Q′与△MPQ的周长，你得到什么结论？

☼15.如图，C是∠AOB内一点，C1、C2分别是点C关于OA、OB的对称点，若C1、C2的连线交OA于D，交OB于E，C1C2＝4.5cm，则△CDE的周长为（　　）

A．4.5cmB．6.5cmC．5.5cmD．无法求

☼16.如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________

☼17.如图，点P在∠AOB内部，且∠AOB度数为45°，OP=2cm，在射线OA、OB上找点C、D，使PC+CD+DP之和最小。

☼18.已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________

☼19.如图，在△ABC中，AB＝BC，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，若BC＝10，AC＝6，求△ACE的周长。

☼20.已知：

如图，点P在∠AOB内，且点P与M关于OA对称，PM交OA于Q，点P与N关于OB对称，PN交OB于R，连接MN、OP、OM、ON，若MN＝10cm，OP＝6cm，求△OMN与△PEF的周长。

☼21.已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，求AB的长．

☼22.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝5cm，BC＝4cm，则△BDC的周长为________．

☼23.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

☼24.如图，A、B两村欲在河边建一抽水站，已知A村到河边的距离是100m，B村到河边的距离是300m，且CD的长为300m，若辅设水管的费用是每米100元，问应在河边的何处建水站才能使得辅设水管的费用最低？

在图上画出水站的位置P，并求出辅设水管的最低费用。

☼25.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km，试问：

图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等?

☼26.如图，铁路上A，B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

☼27.（2008年咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：

（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：

B′、C′；

归纳与发现：

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：

坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；

运用与拓广：

（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

☼28.（2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=______时，AC+BC的值最小．

（2009年达州）在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____cm。

☼29.（2009陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4

，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

☼30.如图，在正方形ABCD中，点M在CD上，在AC上确定点N，使DN＋MN最小。

☼31.（2009年达州）在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____cm。

☼32.在正方形ABCD中，E在BC上，BE＝2，CE＝1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到_____________。

如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。

☼33.如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

（1）如图1，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为；

（2）几何拓展：

如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值；

（3）代数应用：

求代数式

（0≤x≤4）的最小值。

☼34.如图，AC、BD为正方形ABCD对角线，相交于点O，点D为BC边的中点，连长为2cm，在BD上找点P，使DP+CP之和最小。

☼35.（2009年抚顺）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）

A．2

B．2

C．3D．

☼36.（2009荆门）一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．

☼37.（2010宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。

（1）求证：

△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM＋BM＋CM的最小值为

＋1时，求正方形的边长.

☼38.（2010淮安）

（1）观察发现

如题图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．

做法如下：

作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P。

再如题图2，在等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．

（2）实践运用

如题图3，已知⊙O的直径CD为4，

的度数为60°，点B是

的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

（3）拓展延伸

如题图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

☼39.如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄。

（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近。

请在图中的AB上分别画出点P、Q的位置；

（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近？

在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？

（3）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离相等？

如果存在，请在图中的AB上画出这一点；如果不存在，请简要说明理由。

☼40.（2008河北）在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，AB＝akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．

方案设计：

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：

图13－1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PB＋BA（km）（其中BP⊥l于点P）；图13－2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA＋PB（km）（其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P）．

观察计算

（1）在方案一中，d1＝_______km（用含a的式子表示）；

（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图13－3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝______km（用含a的式子表示）．

探索归纳：

（1）①当a＝4时，比较大小：

d1_______d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；

②当a＝6时，比较大小：

d1_______d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；

（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？

☼41.已知点M（3，2），N（1，－1），试在y轴上求一点P，使PM＋PN最短。

画出图形，写出点P的坐标。

☼42.如图，已知⊙O的半径是R，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为（）

A．2RB．

RC．

RD．R