学年人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》解答题易错题训练一.docx

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学年人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》解答题易错题训练一

人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》

解答题易错题训练

（一）

1．如图，AB∥CD，∠FGB＝154°，FG平分∠EFD，求∠AEF的度数．

2．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝2∠BOD，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．

（1）求∠DOE的度数；

（2）求∠AOF的度数．

3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE，垂足为O，若∠AOC＝40°．

（1）求∠DOE的度数；（按要求填空）

解：

因为直线AB、CD相交于点O（已知），

所以∠AOC＝∠BOD（　　）．

因为∠AOC＝40°（已知），

所以（　　）＝40°（等量代换）．

因为OE平分∠BOD（已知），

所以∠DOE＝

∠BOD（　　）．

因为（　　）（已证），

所以∠DOE＝

∠BOD＝（　　）°（等式性质）．

（2）OF平分∠BOC吗？

为什么？

4．

（1）如图1，AB∥CD，∠A＝33°，∠C＝40°，求∠APC的度数．（提示：

作PE∥AB）．

（2）如图2，AB∥DC，当点P在线段BD上运动时，∠BAP＝∠α，∠DCP＝∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由．

（3）在

（2）的条件下，如果点P在射线DM上运动，请你直接写出∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系．

5．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，EO⊥AB于点O，FO⊥CD于点O．

（1）图中除直角外，还有其他相等的角，请写出两对：

①　　；②　　．

（2）如果∠AOD＝40°；那么：

①根据　　，可得∠BOC＝　　；

②求∠POF的度数．

6．如图，∠1＝∠2，∠BAC+∠DGA＝180°，∠BFE＝100°，将求∠BDA的过程填写完整．

解：

∵∠BAC+∠DGA＝180°（已知）

∴AB∥　　（　　）

∴∠1＝∠3（　　）

又∵∠1＝∠2（已知）

∴∠2＝∠3（　　）

∴EF∥　　（　　）

∴∠BDA＝∠BFE（　　）

∵∠BFE＝100°（已知）

∴∠BDA＝　　．

7．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点，

（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；

（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；

（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求

的值．

8．如图，已知AB∥CD．

（1）发现问题：

若∠ABF＝

∠ABE，∠CDF＝

∠CDE，则∠F与∠E的等量关系为　　．

（2）探究问题：

若∠ABF＝

∠ABE，∠CDF＝

∠CDE．猜想：

∠F与∠E的等量关系，并证明你的结论．

（3）归纳问题：

若∠ABF＝

∠ABE，∠CDF＝

∠CDE．直接写出∠F与∠E的等量关系．

9．如图，已知：

△ABC，∠A＝52°，∠ACB＝56°，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，且∠ADE＝72°，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．

（1）求证：

DE∥BC；

（2）求证：

∠EGH＞∠ADE．

10．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°．

（1）如图1，若OC平分∠AOE，求∠AOD的度数；

（2）如图2，若∠BOC＝4∠FOB，且OE平分∠FOC，求∠EOF的度数．

11．如图，在下列解答中，填空或填写适当的理由：

（1）∵AB∥CF，（已知）

∴∠1＝∠　　．（　　）

∠A+∠　　＝180°（　　）

（2）∵∠A＝∠　　，（已知）

∴AC∥EF；（　　）

（3）∵∠2＝∠　　，（已知）

∴　　∥　　．（　　）

12．如图，已知点D、F、E、G都在△ABC的边上，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．（请在下面的空格处填写理由或数学式）

解：

∵EF∥AD（已知），

∴∠2＝∠3（　　）．

∵∠1＝∠2（已知），

∴∠1＝　　（　　）．

∴　　∥　　（　　）．

∴∠AGD+　　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵∠BAC＝70°（已知），

∴∠AGD＝　　（等式的性质）．

13．已知：

如图∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D，那么∠E＝∠DFE成立吗？

为什么？

下面是小丽同学进行的推理，请你将小丽同学的推理过程补充完整．

解：

成立，理由如下：

∵∠B+∠BCD＝180°（已知），

∴①　　（同旁内角互补，两直线平行）．

∴∠B＝∠DCE（②　　）．

又∵∠B＝∠D（已知），

∴∠DCE＝∠D（等量代换）．

∴AD∥BE（③　　）．

∴∠E＝∠DFE（④　　）．

14．试说明：

若两条平行直线被第三条直线所截，则同位角的角平分线互相平行．

已知：

如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点O、P，OG平分　　，PH平分∠OPD．

试说明：

OG∥PH．

阅读上述材料，把图形及已知条件补充完整，然后用逻辑推理说明上述结论．

15．已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：

（1）如图1所示，求证：

OB∥AC；

（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，此时∠EOC的度数等于　　（直接写出答案即可）；

（3）在

（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么∠OCB：

∠OFB的值是否随之发生变化？

若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

（4）在（3）的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使∠OEB＝∠OCA，求此时∠OCA度数．

16．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．

（1）求证：

AB∥CD；

（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．

（3）保特

（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？

若不变，请求值；若改变，请说明理由．

17．已知DB∥FG∥EC，A是FG上一点，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC．

求：

（1）∠BAC的大小；

（2）∠PAG的大小．

18．如图，AM、CM分别平分∠BAC和∠ACD，且AM⊥CM于M．

（1）求证：

AB∥CD；

（2）E是直线CD上一动点（不与C重合），AF平分∠EAC，写出∠MAF与∠AEC的数量关系，并说明理由．

19．如图，直线BE和CF相交于点O，OA，OD是射线，且OA⊥EB，OD⊥CF，若∠BOC＝55°，求∠AOD的度数．

20．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，∠EOF＝116°，求∠COA、∠EOB、∠AOF的度数．

参考答案

1．解：

∵AB∥CD，∠FGB＝154°，

∴∠GFD＝180°﹣∠FGB＝180°﹣154°＝26°，

∵FG平分∠EFD，

∴∠EFD＝2∠GFD＝2×26°＝52°，

∵AB∥CD，

∴∠AEF＝∠EFD＝52°．

2．解：

（1）∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠AOD＝2∠BOD，

∴∠AOD＝180°×

＝120°，∠BOD＝180°×

＝60°，

∵OE平分∠BOD，

∴∠DOE＝∠BOE＝

∠BOD＝30°，

（2）∵∠COE+∠DOE＝180°，

∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝190°﹣30°＝150°，

∵OF平分∠COE，

∴∠COF＝∠EOF＝

∠COE＝

×150°＝75°，

又∵∠AOC＝∠BOD＝60°，

∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．

3．解：

（1）因为直线AB、CD相交于点O（已知），

所以∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）．

因为∠AOC＝40°（已知），

所以（∠BOD）＝40°（等量代换）．

因为OE平分∠BOD（已知），

所以∠DOE＝

∠BOD（角平分线的定义）．

因为（∠BOD＝40°）（已证），

所以∠DOE＝

∠BOD＝（20）°（等式性质）．

故答案为：

对顶角相等；∠BOD；角平分线定义；∠BOD＝40°；20；

（2）结论：

OF平分∠BOC．

理由：

∵∠COD＝180°，∠EOF＝90°，

∴∠COF+∠EOD＝90°，

∴∠COF＝70°，

∵∠BOF＝90°﹣∠BOE＝70°，

∴∠COF＝∠BOF，即OF平分∠COB．

4．解：

（1）如图1，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE，

∵∠A＝33°，∠C＝40°，

∴∠APE＝33°，∠CPE＝40°，

∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝33°+40°＝73°；

（2）∠APC＝∠α+∠β，

理由是：

如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠APE＝∠PAB＝∠α，∠CPE＝∠PCD＝∠β，

∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；

（3）如图3，过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠PAB＝∠APE＝∠α，∠PCD＝∠CPE＝∠β，

∵∠APC＝∠APE﹣∠CPE，

∴∠APC＝∠α﹣∠β．

5．解：

（1）∵EO⊥AB，FO⊥CD，

∴∠EOB＝∠DOF＝90°，

∴∠EOC+∠BOC＝90°，∠AOD+∠BOF＝90°，

∵∠BOC＝∠AOD，

∴∠COE＝∠BOF

；

∵OP是∠BOC的平分线，

∴∠COP＝∠BOP，

故答案为：

∠COE＝∠BOF，∠COP＝∠BOP；

（2）①∵∠AOD＝40°，

∴∠BOC＝40°（对顶角相等），

故答案为：

对顶角相等；40°；

②∵OP平分∠BOC，

∴∠POC＝

∠BOC＝

×40°＝20°，

∴∠POF＝90°﹣∠POC＝90°﹣20°＝70°．

6．解：

∵∠BAC+∠DGA＝180°（已知）

∴AB∥DG（同旁内角互补，两直线平行）

∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）

又∵∠1＝∠2（已知）

∴∠2＝∠3（等量代换）

∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）

∴∠BDA＝∠BFE（两直线平行，同位角相等）

∵∠BFE＝100°（已知）

∴∠BDA＝100°．

故答案为：

DG，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；100°．

7．解：

（1）∠C＝∠1+∠2．

理由：

如图，过C作CD∥PQ，

∵PQ∥MN，

∴PQ∥CD∥MN，

∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，

∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．

（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，

∴∠MEC＝30°，

由

（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，

∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，

∴∠BDF＝∠PDC＝60°；

（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，

由

（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，

∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，

∴∠BDF＝90°﹣x，

∴

＝

＝2．

8．解：

（1）∠BED＝2∠BFD．

证明：

连接FE并延长，

∵∠BEG＝∠BFE+∠EBF，∠DEG＝∠DFE+∠EDF，

∴∠BED＝∠BFD+∠EBF+∠EDF，

∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，

∴∠ABE+∠CDE＝2（∠EBF+∠EDF），

∵∠BED＝∠ABE+∠CDE，

∴∠EBF+∠EDF＝

∠BED，

∴∠BED＝∠BFD+

∠BED，

∴∠BED＝2∠BFD；

（2）过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，

∵AB∥FH，

∴∠ABF＝∠BFH，

∵FH∥CD，

∴∠CDF＝∠DFH，

∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；

同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；

∵∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝

（∠ABE+∠CDE）＝

∠BED，

∴∠BED＝3∠BFD．

（3）由

（1）

（2）可得∠BED＝n∠BFD．

9．

（1）证明：

∵∠A＝52°，∠ACB＝56°，

∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝72°，

∵∠ADE＝72°，

∴∠B＝∠ADE，

∴DE∥BC；

（2）证明：

∵∠EGH是△FBG的外角，

∴∠EGH＞∠B，

又∵DE∥BC，

∴∠B＝∠ADE．

∴∠EGH＞∠ADE．

10．解：

（1）∵∠AOE＝90°，OC平分∠AOE，

∴∠AOC＝45°，

∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝135°；

（2）设∠BOF＝α，则∠BOC＝4α，∠COF＝3α，

∵OE平分∠FOC，

∴∠EOF＝1.5α，

∵∠BOE＝90°，

∴1.5α+α＝90°，

∴α＝36°，

∴∠EOF＝54°．

11．解：

（1）∵AB∥CF，（已知）

∴∠1＝∠F，（两直线平行，内错角相等）

∠A+∠ACF＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）

故答案为：

F，；两直线平行，内错角相等；ACF；两直线平行，同旁内角互补；

（2）∵∠A＝∠1，（已知）

∴AC∥EF；（同位角相等，两直线平行）

故答案为：

1；同位角相等，两直线平行；

（3）∵∠2＝∠ACB，（已知）

∴AC∥EF，（内错角相等，两直线平行）

故答案为：

ACB；AC，EF；内错角相等，两直线平行．

12．解：

∵EF∥AD（已知），

∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．

∵∠1＝∠2（已知），

∴∠1＝∠3（等量代换）．

∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）．

∴∠AGD+∠BAC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵∠BAC＝70°（已知），

∴∠AGD＝110°（等式的性质）．

故答案为：

两直线平行，同位角相等；∠3；等量代换；DG∥AB；内错角相等，两直线平行；∠BAC；110°．

13．解：

成立，理由如下：

∵∠B+∠BCD＝180°（已知），

∴①AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

∴∠B＝∠DCE（②两直线平行，同位角相等）．

又∵∠B＝∠D（已知），

∴∠DCE＝∠D（等量代换）．

∴AD∥BE（③内错角相等，两直线平行）．

∴∠E＝∠DFE（④两直线平行，内错角相等）．

故答案为：

AB∥CD，两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．

14．解：

根据题意可知：

OG平分∠EOB，

补充图形如图所示，

理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠EOB＝∠OPD，

∵OG平分∠EOB，

∴

，

∵PH平分∠OPD，

∴

，

∴∠EOG＝∠OPH，

∴OG∥PH．

故答案为：

∠EOB．

15．解：

（1）∵BC∥OA，

∴∠B+∠O＝180°，

又∵∠B＝∠A，

∴∠A+∠O＝180°，

∴OB∥AC；

（2）∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝100°，

∴∠BOA＝80°，

∵OE平分∠BOF，

∴∠BOE＝∠EOF＝

∠BOF，

∵∠FOC＝∠AOC＝

FOA，

∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝

∠BOF+

∠FOA＝

∠BOA＝40°；

故答案为：

40°；

（3）结论：

∠OCB：

∠OFB的值不发生变化．

理由为：

∵BC∥OA，

∴∠FCO＝∠COA，

∵∠FOC＝∠AOC，

∴∠FOC＝∠FCO，

∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，

∴∠OCB：

∠OFB＝1：

2；

（4）由

（1）知：

OB∥AC，

∴∠OCA＝∠BOC，

由

（2）知设：

∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，

∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β，

∴∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，

∵∠OEB＝∠OCA，

∴2α+β＝α+2β，

∴α＝β，

∵∠AOB＝80°，

∴α＝β＝20°，

∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．

16．

（1）证明：

如图1，延长DE交AB于点F，

∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，

∴∠ACB＝∠CED，

∴AC∥DF，

∴∠A＝∠DFB，

∵∠A＝∠D，

∴∠DFB＝∠D，

∴AB∥CD；

（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，

∵AB∥CD，

∴AB∥EM∥HN∥CD，

∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，

∵BG平分∠ABE，

∴∠ABG＝

ABE，

∵AB∥HN，

∴∠2＝∠ABG，

∵CF∥HN，

∴∠2+∠β＝∠3，

∴

ABE+∠β＝∠3，

∵DH平分∠EDF，

∴∠3＝

EDF，

∴

ABE+∠β＝

EDF，

∴∠β＝

（∠EDF﹣∠ABE），

∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，

设∠DEB＝∠α，

∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，

∵∠DEB比∠DHB大60°，

∴∠α﹣60°＝∠β，

∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）

解得∠α＝100°

∴∠DEB的度数为100°；

（3）∠PBM的度数不变，理由如下：

如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，

∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，

∴∠EBM＝∠MBK＝

EBK，

∠CDN＝∠EDN＝

CDE，

∵ES∥CD，AB∥CD，

∴ES∥AB∥CD，

∴∠DES＝∠CDE，

∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，

∠G＝∠PBK，

由

（2）可知：

∠DEB＝100°，

∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，

∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，

∵BP∥DN，

∴∠CDN＝∠G，

∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝

CDE，

∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK

＝

∠EBK﹣

CDE

＝

（∠EBK﹣∠CDE）

＝

80°

＝40°．

17．解：

（1）∵DB∥FG∥EC，

∴∠BAG＝∠ABD＝60°，∠CAG＝∠ACE＝36°，

∴∠BAC＝∠BAG+∠CAG＝60°+36°＝96°．

（2）∵AP平分∠BAC，

∴∠CAP＝

∠BAC＝

×96°＝48°，

∴∠PAG＝∠CAP﹣∠CAG＝48°﹣36°＝12°．

18．

（1）证明：

∵AM、CM分别平分∠BAC和∠ACD，

∴∠BAC＝2∠MAC，∠ACD＝2∠ACM，

∵AM⊥CM，

∴∠AMC＝90°，

∴∠BAC+∠ACD＝2（∠MAC+∠ACM）＝2∠AMC＝180°，

∴AB∥CD；

（2）∠AEC＝2∠MAF或∠AEC＝180°﹣2∠MAF．理由如下：

①如图，点E在点C右边时，

∵AM平分∠BAC，

∴∠BAM＝∠MAC，

即∠4＝∠1+∠2+∠3，

∵AF平分∠EAC，

∴∠1＝∠2，

∵AB∥CD，

∴∠AEC＝∠3+∠4＝∠3+∠1+∠2+∠3＝2（∠2+∠3）＝2∠MAF，

即∠AEC＝2∠MAF；

②如图，点E在点C左边时，

∵AM平分∠BAC，

∴∠3＝∠4，

∵AF平分∠EAC，

∴∠1＝∠2，

∵AB∥CD，

∴∠AEC+∠EAB＝180°，

∴∠AEC＝180°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）＝180°﹣2（∠2+∠3）＝180°﹣2∠MAF，

即∠AEC＝180°﹣2∠MAF．

综上所述：

∠MAF与∠AEC的数量关系为：

∠AEC＝2∠MAF或∠AEC＝180°﹣2∠MAF．

19．解：

∵OA⊥EB，OD⊥CF，

∴∠AOB＝∠AOE＝∠DOC＝∠DOF＝90°，

∵∠BOC＝55°，

∴∠EOF＝∠BOC＝55°，

∴∠DOE＝∠DOF﹣∠EOF＝90°﹣55°＝35°，

∴∠AOD＝∠DOE+∠AOE＝35°+90°＝125°．

20．解：

∵OD平分∠BOF，

∴∠BOD＝∠DOF＝

，

∵OE⊥CD于O，

∴∠COE＝∠EOD＝90°，

∵∠EOF＝116°，

∴∠DOF＝∠EOF﹣∠EOD＝116°﹣90°＝26°，

∴∠BOD＝∠DOF＝26°，

∴∠AOC＝∠BOD＝26°，

∴∠EOB＝∠EOD﹣∠BOD＝90°﹣26°＝64°，

∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣2×26°＝128°．