天津市南开区中考数学一模试卷含答案解析.docx
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天津市南开区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）
（﹣2）×（﹣6）的结果等于（）A．12B．﹣12C．8D．﹣82．（3分）计算tan60°的值等于（）A．B．C．1D．3．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）在网络上用“Google”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为45100000，这个数用科学记数法表示为（）A．451×105B．
45.1×106C．
4.51×107D．
0.451×1085．（3分）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如果实数a=是（）A．，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的
B
．
C．
D．7．（3分）化简
+，其结果为（）
A．B．C．
D．
8．（3分）半径为a的正六边形的面积等于（）
A．
B．
C．a2D．
9．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=
的图象上的两
点，若x1＜0＜x2，则有（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜010．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为（）
A．8SB．9SC．10SD．11S11．（3分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF的长为（）
A．2B．2C．D．412．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算（﹣2a）3的结果是
．
14．（3分）计算（﹣）2的结果等于
．
15．（3分）将正比例函数y=2x的图象向下平移，则平移后所得图象对应的函数
解析式可以是
．（写出一个即可）
16．（3分）
“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正
方形．有一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小
明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正形区域（含边）的概率是
．
17．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC
的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成
两部分，则这两部分面积之差的绝对值是
．
18．（3分）如图，是大小相等的边长为1的正方形构成的网格，A，B，C，D均
为格点．
（Ⅰ）△ACD的面积为；
（Ⅱ）现只有无刻度的直尺，请在线段AD上找一点P，并连结BP，使得直线BP
将四边形ABCD的面积分为1：
2两部分，在图中画出线段BP，并在横线上简要
说明你的作图方法．
．
三、解答题（本大题共7小题，共计66分。
解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得；
（Ⅱ）解不等式②，得；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为
．
20．（8分）某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现抽查了
九年级
（1）班全班同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图：
捐款（元）
20
50
100150
200
人数（人）
4
12
9
3
2
求：
（Ⅰ）m=，n=；
（Ⅱ）求学生捐款数目的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）若该校有学生2500人，估计该校学生共捐款多少元？
21．（10分）在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．
（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；
（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．22．（10分）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．
23．（10分）某旅行团计划今年暑假组织老年人团到台湾旅游，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准为某人每天120元，并
且推出各自不同的优惠方案：
甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过
35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．
设老年人团的人数为x
（1）根据题意，用含x的式子填写下表：
x≤35
35＜x＜45
x=45
x＞45
甲宾馆收费/元
120x
5280
乙宾馆收费/元
120x
120x
5400
（2）当x取何值时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边
OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接
DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？
若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．
25．（10分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a．（Ⅰ）求该二次函数的对称轴；
（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；
（Ⅲ）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．2018年天津市南开区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）
（﹣2）×（﹣6）的结果等于（）A．12B．﹣12C．8D．﹣8
【解答】解：
（﹣2）×（﹣6）=+（2×6）=12，故选：
A．
2．（3分）计算tan60°的值等于（）A．B．C．1D．
【解答】解：
原式=，故选：
D．
3．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：
D．
4．（3分）在网络上用“Google”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为45100000，这个数用科学记数法表示为（）A．451×105B．
45.1×106C．
4.51×107D．
0.451×108
【解答】解：
45100000=
4.51×107，故选：
C．
5．（3分）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
从正前方观察，应看到长有三个立方体，且中间的为三个立方体叠加；高为两个立方体，在中间且有两个立方体叠加．故选：
B．
6．（3分）如果实数a=是（）A．，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的
B
．
C．
D．
【解答】解：
由被开方数越大算术平方根越大，得
＜＜，得
3＜a＜
3.5，故选：
C．
7．（3分）化简
+，其结果为（）
A．B．C．
D．
【解答】解：
原式=
+
=
=．故选：
A．
8．（3分）半径为a的正六边形的面积等于（）
A．
B．
C．a2D．
【解答】解：
连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是a，因而面积是，因而正六边形的面积
．
故选：
B．
9．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=
的图象上的两
点，若x1＜0＜x2，则有（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0
D．y2＜y1＜0
【解答】解：
∵反比例函数y=，a2+1≥1＞0，∴该函数图象在第
一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，在第一象限内的函数值都大于0，在第三象限内的函数值都小于0，∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=
的图象上的两点，x1＜0＜x2，∴y1＜0＜y2，故选：
A．
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为（）A．8SB．9SC．10SD．11S
【解答】解：
如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴S△DEF：
S△BCF=（）2，又∵E是AD中点，∴DE=AD=BC，∴DE：
BC=DF：
BF=1：
2，∴S△DEF：
S△BCF=1：
4，∴S△BCF=4S，又∵DF：
BF=1：
2，∴S△DCF=2S，∴S▱ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12S．∴四边形ABCE的面积=9S，故选：
B．
11．（3分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF的长为（）
A．2B．2C．D．4
【解答】解：
如图所示：
连接
BD、AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∴∠ABO=90°﹣60°=30°，∵∠AOB=90°，∴AO=AB=×2=1，由勾股定理得：
BO=DO=，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD=
（2）=，故选：
C．
12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）
【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8=0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为x=﹣2．故选：
B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算（﹣2a）3的结果是﹣8a3．
【解答】解：
（﹣2a）3=﹣8a3．故答案是：
﹣8a3．
14．（3分）计算（﹣）2的结果等于8﹣2
．
【解答】解：
原式=5﹣2+3=8﹣2．故答案为8﹣2．15．（3分）将正比例函数y=2x的图象向下平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是y=2x﹣2．（写出一个即可）
【解答】解：
将正比例函数y=2x的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y=2x﹣2．故答案为：
y=2x﹣2
16．（3分）
“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．有一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正形区域（含边）的概率是
．
【解答】解：
大正方形的边长为：
=，总面积为20，∵阴影区域的边长为2，∴面积为2×2=4；
故飞镖落在阴影区域的概率为：
=．
故答案为：
．
17．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是4．
【解答】解：
连接
OP、OB，∵图形BAP的面积=△AOB的面积+△BOP的面积+扇形OAP的面积，图形BCP的面积=△BOC的面积+扇形OCP的面积﹣△BOP的面积，又∵点P是半圆弧AC的中点，OA=OC，∴扇形OAP的面积=扇形OCP的面积，△AOB的面积=△BOC的面积，∴两部分面积之差的绝对值是2S△BOP=OP•OC=4．18．（3分）如图，是大小相等的边长为1的正方形构成的网格，A，B，C，D均为格点．
（Ⅰ）△ACD的面积为；
（Ⅱ）现只有无刻度的直尺，请在线段AD上找一点P，并连结BP，使得直线BP将四边形ABCD的面积分为1：
2两部分，在图中画出线段BP，并在横线上简要说明你的作图方法．在线段AP上确定点P，使得AP：
PD=5：
3，连接BP，则BP即为所求．
【解答】解：
（Ⅰ）由图可得，△ACD的面积=×5×1=
；故答案为：
；
（Ⅱ）如图，连接BD，则△ABD的面积=△ADF的面积+△BDF的面积=×2×（2+2）=4，四边形ABCD的面积=△ACD的面积+△ACB的面积=+×5×2=，∵直线BP将四边形ABCD的面积分为1：
2两部分，∴△ABP的面积=×=，即S△ABD=S△ABD，∴AP：
PD=5：
3，如图，连接CE，交AD于点P，连接BP，则，∴线段BP即为所求．故答案为：
在线段AP上确定点P，使得AP：
PD=5：
3，连接BP，则BP即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共计66分。
解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得x≤2；
（Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
【解答】解：
（Ⅰ）解不等式①，得x≤2；
（Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1＜x≤2．故答案为：
x≤2；
x＞﹣1；﹣1＜x≤2．20．（8分）某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现抽查了
九年级
（1）班全班同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图：
捐款（元）
20
50
100150
200
人数（人）
4
12
9
3
2
求：
（Ⅰ）m=40，n=30；
（Ⅱ）求学生捐款数目的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）若该校有学生2500人，估计该校学生共捐款多少元？
【解答】解：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为4+12+9+3+2=30人．12÷30=40%，9÷30=30%，所以扇形统计图中的m=40，n=30；故答案为：
40，30；
（Ⅱ）∵在这组数据中，50出现了12次，出现的次数最多，∴学生捐款数目的众数是50元；∵按照从小到大排列，处于中间位置的两个数据都是50，∴中位数为50元；这组数据的平均数=（20×4+50×12+100×9+150×3+200×2）÷30=2430÷30=81（元）．
（Ⅲ）根据题意得：
2500×81=202500元答：
估计该校学生共捐款202500元．21．（10分）在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．
（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；
（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．
【解答】解：
（1）当点O在AC上时，OC为⊙O的半径，∵BC⊥OC，且点C在⊙O上，∴BC与⊙O相切．∵⊙O与AB边相切于点P，∴BC=BP，∴∠BCP=∠BPC=，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠ACP=90°﹣∠BCP=90°﹣
=∠B．′
即2∠ACP=∠B；
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=
=10，如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径，∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，∴AC与⊙O相切，连接
OP、AO，∵⊙O与AB边相切于点P，∴OP⊥AB，设OC=x，则OP=x，OB=BC﹣OC=6﹣x，∵AC=AP，∴BP=AB﹣AP=10﹣8=2，在△OPA中，∠OPA=90°，根据勾股定理得：
OP2+BP2=OB2，即x2+22=（6﹣x）2，解得：
x=，在△ACO中，∠ACO=90°，AC2+OC2=AO2，∴AO=
=
．
∵AC=AP，OC=OP，∴AO垂直平分CP，∴根据面积法得：
CP=2×
=，则符合条件的CP长大于
．
由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，综上，当点O在△ABC外时，＜CP≤8．
22．（10分）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．
【解答】解：
（1）如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°，∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC=∠EAC=60°．∵∠FBD=30°∴∠DBC=∠FBC﹣∠FBD=30°．（2分）又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，∴∠ADB=15°．∴∠DAB=∠ADB．∴△ABD为等腰三角形，∴BD=AB=2．即BD之间的距离为2km．（4分）
（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°，∴DO=2×sin60°=，BO=2×cos60°=1．（6分）在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=，∴CD=DO﹣CO=
（km）．
即C，D之间的距离km．（8分）
23．（10分）某旅行团计划今年暑假组织老年人团到台湾旅游，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准为某人每天120元，并且推出各自不同的优惠方案：
甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．
设老年人团的人数为x
（1）根据题意，用含x的式子填写下表：
x≤35
35＜x＜45
x=45
x＞45
甲宾馆收费/元
120x
5280
乙宾馆收费/元
120x
120x
5400
（2）当x取何值时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同？
【解答】解：
（1）108x+420，108x+420，96x+1080；
（2）当x≤35时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同，当35＜x≤45时，选择甲宾馆便宜，当x＞45时，甲宾馆的收费是：
y甲=35×120+
0.9×120（x﹣35），即y甲=108x+420，乙宾馆的收费是：
y乙=45×120+
0.8×120（x﹣45）=96x+1080，当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得x=55．
总之，当x≤35或x=55时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边
OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接
DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？
若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．
【解答】解：
（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，∴OP=t，而OC=2，∴P（t，0），设CP的中点为F，过D点作DE⊥OA，垂足为E，则F点的坐标为（，1），∵F点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，∴∠CPD=90°，∴∠DPE+∠OPC=90°，又∵∠POC=90°，∠OCP+∠OPC=90°，∴∠OCP=∠EPD，∴△OCP∽△EPD，∵PD：
CP=1：
2，∴DE：
PO=PE：
CO=PD：
CP=1：
2，∴DE=PO=，PE=CO=1，∴D点坐标为（t+1，）；
（2）∵D点坐标为（t+1，），OA=4，∴S△DPA=AP×=（4﹣t）×=（4t﹣t2）=﹣（t﹣2）2+1，∴当t=2时，S最大=1；
（3）能构成直角三角形．①当∠PDA=90°时，PC∥AD，由勾股定理得，PD2+AD2=AP2，PD2=DE2+PE2，AD2=DE2+AE2，即（）2+1+（4﹣t﹣1）2+（）2=（4﹣t）2，解得，t=2或t=﹣6（舍去）．∴t=2秒．②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，可知，△COP∽△PAD，∴==，∴2=，PA=1，即t+1=4，t=3秒．综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．
（4）当点P在原点O处时，即t=0，对应的D0点为（1，0），当点D运动时，直线DD0的斜率k=
=，即无论点D如何运动，直线DD0
的斜率为固定值，即点D的运动轨迹时始终在直线DD0上；∵kOB==，∴点D的运动路线与OB平行，当P运动到点A时，t=4，此时D4点坐标为（5，2），即点D的运动轨迹为线段
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