两角差的余弦公式教学设计.doc
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《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修四第三章三角恒等变换
《3.1.1两角差的余弦公式》
教学设计
教材分析：
1.[内容与地位]
本节课是必修四第三章第一节第一课时的内容，是三角函数线、诱导公式等知识的延伸，是我们后续学习的两角和差公式、二倍角公式等一列公式推导的核心和基础。
对三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等问题的解决，有重要的支撑作用。
2.[学情分析]
学生刚刚学习了同角三角函数的基本关系及平面向量的知识，对用举反例推翻猜想、运用单位圆、平面向量解决三角问题已经有了一定的基础，但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明的水平．
3.[教材处理]
让学生体会由特殊到一般的思维过程，即先用数形结合的思想，借助单位圆中的三角函数线，推出角均为锐角时公式成立。
对于为任意角时的情况，运用向量的知识进行探究，学生易于理解和掌握。
然后通过有梯度的练习、变式训练、分层作业等巩固公式。
二、教学目标：
1.知识与技能：
（1）掌握运用单位圆中的三角函数线和向量的方法推导两角差的余弦公式。
（2）掌握公式的结构和特点，能够简单运用公式。
2.过程与方法：
（1）在公式探究过程中体会从特殊到一般，数形结合、分类讨论等多种数学思想。
（2）通过对公式的探究和灵活应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：
（1）通过公式的推导论证过程，培养学生学习数学的严谨、求实的科学态度。
（2）让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神。
三、教学重点、难点：
重点：
两角差的余弦公式的推导过程及简单应用
难点：
两角差的余弦公式的探索及探索过程的组织和适当引导。
作业布置
归纳总结
典例剖析
四、教学基本流程
创设情境
探究新知
认识公式
五、教学设计：
问题
设计意图
师生活动
备注
1、实例引入归结为
如何求？
由给出的情境素材，使学生感受实际问题中对差角公式的需要。
（1）使学生经历把实际问题转化成数学问题的过程。
（2）引出本节课的课题。
2、你认为公式会是吗？
凭直觉得出错误公式是学生经常出现的现象。
引导学生利用特殊值检验，产生认知冲突，从而激发学生探究两角差余弦公式的兴趣。
让学生自己动脑，动手验证，从而认识要探索的公式在“恒等”方面要求的意义。
3、请同学们回顾在初中以及在高中是怎样求一个角的正弦值和余弦值的？
引出三角函数线来探究公式？
加强新旧知识的联系性，使新知识的产生更自然。
让学生分组活动，合作交流，思考以下问题：
如图，设角为锐角，且，作出单位圆后请同学们思考以下问题：
①怎样作出角的终边？
②怎样作出角的余弦线？
③角的正弦值、余弦值如何在图中表示出来？
④此时的余弦线等于哪些线段的和？
⑤这些线段用角的正弦值、余弦值如何表示？
设计一个动画课件，进行直观展示
4、当取任意角的时候，所得公式是否成立？
让学生意识到目前所得的公式还需进一步推广，从而引出向量法证明公式
5、仔细观察公式的组成及结构特点，怎样联系向量的数量积去探索公式？
让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法的作用。
让学生分组活动，合作交流。
思考以下问题：
y
-1
-1
1
1
B
A
x
0
请同学们思考以下问题：
①设角的终边与单位圆的交点分别为A、B，
则A、B的坐标是什么？
②若取向量那么它们的坐标是什么？
③的数量积用坐标运算的表达式是什么？
④设的夹角为，则如何计算?
⑤的夹角为与角的关系如何？
与终边位置有关吗？
6、与之间是什么关系？
对公式证明不严谨是学生经常犯的错误，在这里通过几何画板动态展示，引导学生结合计算机图形语言和三角函数诱导公式对公式的严密性进行论证。
教师活动：
教师引导学生利用终边相同的角来展示二者之间的关系，结合诱导公式，来揭示二者余弦值之间的关系。
用几何画板进行直观展示
7、仔细观察公式，请同学们思考以下问题：
（1）细心观察公式的结构，它有哪些特征？
（2）公式中的角的取值范围如何？
让学生认识公式，掌握公式的结构和特点，深化理解公式实质，为灵活运用公式奠定基础。
教师活动：
引导学生观察公式的结构特点。
神话理解公式，为灵活应用公式奠定基础。
8、例1如何求？
练习1：
你会求吗？
练习2：
化简求值
（1）
（2）
例1不仅仅是让学生熟悉公式解决引例问题，还可以让学生明白公式不仅用于差角的形式也适用于能化成差角的情形。
掌握对公式的正用和逆用。
学生活动：
（1）求解过程通过教师引导之后，让学生独立完成
（2）通过本例，学生应该明白三角变换关注角之间的变化。
9、例2：
已知是第三象限角，求的值。
变式：
如果去掉是“是第三象限角”如何求的值？
例2强调运用同角三角函数平方关系求值时，一定要弄清角的范围，准确判断三角函数值的符号，从而养成良好的学习习惯。
变式是让学生学习分类讨论思想，提高表达能力。
教师活动：
对题目进行解析，使学生形成解决这类问题的基本思路。
在讲评例题的过程中注重在表述规范性上作出点评和要求，提高学生的数学表达能力。
10、课堂练习：
1、证明：
2、已知求的值。
练习1使学生认识到该诱导公式是两角差余弦公式的特殊情况。
练习2对学生的计算过程的每一步进行点评，是学生认识到两角差余弦公式使用时注意利用特殊角的正弦值余弦值。
学生活动：
使学生独立完成证明，培养学生独立思考的数学思维品质和对数学知识前后联系
让学生上台板演，是本节课教学的重要一环，能充分调动学生学习数学的实践活动能力，使学生了解学生学习情况。
11、归纳总结：
通过本节课的学习你有什么收获？
教师可以引导学生从公式的探索方面及对公式的灵活应用方面来总结。
让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式的推导和应用过程的理解，促进知识的内化。
教师活动：
教师引导学生从两方面进行总结。
学生活动：
让学生试着总结本节课的知识和思想方法。
教师进行必要的补充说明。
12、作业布置：
作业1：
必做题课本第137页.2,3,4题
作业2：
选做题：
求的值。
作业3：
课下思考：
你能用，推导出吗？
作业题目进行难易分层，公式的应用与新知的探索，可以满足不同层次学生的需求，让学生在完成作业的同时体验知识获取、内化、应用的过程.
六、教学反思：
1.本节课采用“创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题”的过程来实现教学目标。
有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。
2.引例应当越简单越直接越好，所以将课本引例由求和角的正切改编为求角的余弦，这样更利于本节内容的引入和学习。
书上的例题配上额外补充的例题、变式、练习、作业，环环相扣，层层递进满足不同层次学生的需求。
在教学手段上使用几何画板动态演示，及多媒体课件直观展示，使重点得到突出，抽象变得直观，有效解决难点，激发学生的学习兴趣，提高教学效率。
七、板书设计
3.1.1两角差余弦公式
一、引例三、例题巩固：
二、公式推导：
例1：
方法1：
（三角函数线法）例2：
方法2：
（向量数量积法）练习：
（学生板书）
结论：
公式四、课堂小结
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