第六章 因式分解.docx

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第六章因式分解

第六章因式分解

第6.1节因式分解

●乐清市翁垟镇一中鲍旭娇

一、背景介绍

因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。

因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。

它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。

因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。

二、教学设计

【教学内容分析】

因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。

教材在引入中是结合剪纸拼图来阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明。

在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。

【教学目标】

1、认知目标：

（1）理解因式分解的概念和意义

（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

2、能力目标：

由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。

3、情感目标：

培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

【教学重点、难点】

重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

【教学准备】

实物投影仪、多媒体辅助教学。

【教学过程】

㈠、情境导入

看谁算得快：

（抢答）

（1）若a=101,b=99,则a2-b2=___________；

（2）若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；

（3）若x=-3,则20x2+60x=____________。

【初一年级学生活波好动，好表现，争强好胜。

情境导入借助抢答的方式进行，引进竞争机制，可以使学生在参与的过程中提高兴趣，并增强竞争意识和探究欲望。

】

㈡、探究新知

1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。

（多媒体出示答案）

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）=（101+99）（101-99）=400；

（2）a2-2ab+b2=（a-b）2=（99+1）2=10000；

（3）20x2+60x=20x（x+3）=20x（-3）（-3+3）=0。

【“与其拉马喝水，不如让它口渴”。

探索最佳解题方法的过程，就是学生“口渴”

的地方。

由此引起学生的求知欲。

】

2、观察：

a2-b2=（a+b）（a-b） ， 

a2-2ab+b2=（a-b）2 ， 

20x2+60x=20x（x+3），找出它们的特点。

（等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？

）

【利用教师的主导作用，把学生的无意识的观察转变为有意识的观察，同时教师应鼓励学生大胆描述自己的观察结果，并及时予以肯定。

】

3、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。

（学生概括，老师补充。

）

【让学生自己概括出所感知的知识内容，有利于学生在实践中感悟知识的生成过程，培养学生的语言表达能力。

】

板书课题：

§6.1因式分解

因式分解概念：

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也

叫分解因式。

㈢、前进一步

1、让学生继续观察：

（a+b）（a-b）=a2-b2 ,

（a-b）2=a2-2ab+b2，  

20x（x+3）=20x2+60x,它们是什么运算？

与因式分解有何关系？

它们有何联系与区别？

（要注意让学生区分因式分解与整式乘法的区别，防止学生出现在进行因式分解当中，半路又做乘法的错误。

）

【注重数学知识间的联系，给学生提供探索与交流的空间，让学生经历数学知识的生成过程，由学生发现整式乘法与因式分解的相互关系，培养学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力。

】

2、因式分解与整式乘法的关系：

             因式分解

  结合：

a2-b2=========（a+b）（a-b）

             整式乘法

说明：

从左到右是因式分解其特点是：

由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：

由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。

结论：

因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形。

（多媒体展示学生得出的成果）

㈣、巩固新知

1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？

哪些不是？

为什么？

（1）x2-3x+1=x（x-3）+1；

（2）（m＋n）（a＋b）＋（m＋n）（x＋y）＝（m＋n）（a＋b＋x＋y）；

（3）2m（m-n）=2m2-2mn；

（4）4x2-4x+1=（2x-1）2；

（5）3a2+6a=3a（a+2）；

（6）x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x；

（7）k2+

+2=（k+

）2；

（8）18a3bc=3a2b·6ac。

【针对学生易犯的错误，制造认知冲突，让学生充分暴露错误，然后通过分析、讨论，达到理解的效果。

】

2、你能写出整式相乘（其中至少一个是多项式）的两个例子，并由此得到相应的两个多项式的因式分解吗？

把结果与你的同伴交流。

【学生出题热情、积极性高，因初一学生好表现，因而能激发学生学习兴趣，激活学生的思维。

】

㈤、应用解释

例检验下列因式分解是否正确：

（1）x2y-xy2=xy（x-y）；

（2）2x2-1=（2x+1）（2x-1）；

（3）x2+3x+2=（x+1）（x+2）.

分析：

检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与右边的多项式是否相等。

练习计算下列各题，并说明你的算法：

（请学生板演）

（1）872+87×13

（2）1012-992

㈥、思维拓展

1.若x2+mx-n能分解成（x-2）（x-5）,则m=    ,n=     

2．机动题：

（填空）x2-8x+m=（x-4）（    ）,且m=    

【进一步拓展学生在数学领域内的视野，增强学生对数学的兴趣，使学生从小热衷于数学的学习和探索。

通过机动题，了解学生对概念的熟练程度和思维的灵敏性、深刻性、广阔性及探研创造能力，及时评价，及时矫正。

】

㈦、课堂回顾

今天这节课，你学到了哪些知识？

有哪些收获与感受？

说出来大家分享。

【课堂小结交给学生，让学生总结本节课中概念的发现过程，运用概念分析问题的过程，养成学生学习——总结——学习的良好习惯。

唯有总结反思，才能控制思维操作，才能促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环。

】

㈧、布置作业

教科书第153的作业题。

【设计思想】

叶圣陶先生曾说过课堂教学的最高艺术是看学生，而不是看教师，看学生能否在课堂中焕发生命的活力。

因此本教学是按“投疑——感知——概括——巩固、应用和拓展”的叙述模式呈现教学内容的，这种呈现方式符合七年级学生的认知规律和学习规律，使学生从被动的学习到主动探索和发现的转化中感受到学习与探索的乐趣。

本堂课先采用以设疑探究的引课方式，激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣和学习积极性，再把因式分解概念及其与整式乘法的关系作为主线，训练学生思维，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力。

并在课堂教学中，引导学生体会知识的发生发展过程，坚持启发式的教学方法，鼓励学生充分地动脑、动口、动手，积极参与到教学中来，充分体现了学生的主动性原则。

并改变了传统的言传身教的方式，恰当地运用了现代教育技术，展现了一个平等、互动的民主课堂。

第⒍2节　提取公因式法

●乐清市翁洋镇一中厉娥秋

【教学背景】

“提取公因式法”是“新浙江版七年级数学（下）”第六章第二节内容。

本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链结开拓作用。

提取公因式法是因式分解的基础，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下结实的基础，从而也为学生的运算能力拓展了道路。

（老教材本小节是分两个课时上的）

【教学内容分析】

“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法。

它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练。

例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化。

利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形。

（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式。

）

【教学目标】

　认知目标：

⑴在具体情境中认识公因式

⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式

能力目标：

⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。

⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。

情感目标：

在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。

【教学重点、难点】

　1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。

⒉．教学难点∶正确地找出公因式

　【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）

【教学工具】应用投影仪（计算机）

【教学过程】

㈠创设情境，提出问题

如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7m,如何计算这块菜园的面积呢？

3.8

列式：

3.7×3.8+3.7×6.2（学生思考后列式）

3.7有简便算法吗?

=3.7×（3.8+6.2）

3.7=3.7×10=37（m2）

6.2图8-1

在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:

ma＋mb=m（a＋b）

利用整式乘法验证:

m（a＋b）=ma＋mb

可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.

（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）

【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律。

本课时用“复习引入”亦是一种好办法，即先复习分配律，同时可让学生说出整式乘法与因式分解的联系与区别，以便复习上一节的内容，然后让学生观察引出新内容。

】

㈡观察分析，探究新知

让学生观察多项式：

ma+mb

（让学生说出其特点：

都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。

）

各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。

【把主动权交给学生，尽量让他们自己说，也可尝试让他们取名，使他们体验到成功的喜悦。

】

注意：

公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。

又如：

b是多项式ab-b2各项的公因式

2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式

让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。

㈢独立练习，巩固新知

指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）

⑴ax+ay-a（a）

⑵5x2y3-10x2y（5x2y）

⑶24abc-9a2b2（3ab）

⑷m2n+mn2（mn）

⑸x（x-y）2-y（x-y）（x-y）

【初一学生自控能力不强，上课时注意力易分散，注意力集中时间较短，对数学概念的理解肤浅，对规律的应用生搬硬套，针对学生的这种特点，教师在教学中创设抢答，引起学生兴趣，积极参与教学进程，争做课堂的主人。

】

说明:

本活动也可以改为寻找公因式游戏如:

（根据提供的多项式和整式,寻找出这个多项式的公因式.）

⑴ax+ay-a⑵5x2y3-10x2y⑶24abc-9a2b2⑷m2n+mn2⑸x（x-y）2-y（x-y）

a,x,y5xy,5x2y3,5x2y3abc,9ab,3abmn,m2n,mn2x（x-y）,y（x-y）,（x-y）

游戏规则:

准备好写有整式和多项式的纸牌,学生分为四组,每组选四个同学游戏,其中3个同学举一组题中的整式牌,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式,并说明理由。

显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：

（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）

⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）

⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂

（让学生在游戏中团结协作，自主探索出方法，有利于发展思维能力及培养学生归纳总结表达交流的能力，打破了传统的由教师讲授找公因式的方法，学生被动接受；补充⑸是想让学生了解公因式也可以是多项式。

）

根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：

ma+mb=m（a+b）这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

　　　定义：

一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。

㈣例题教学，运用新知

例1．把3pq3+15p3q分解因式

通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。

然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。

事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：

第一步：

找出公因式；第二步：

提取公因式

解：

3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq（q2+5p2）

让学生口答：

把2x3+6x2分解因式

【学生在探究、交流中能获得一些初步概念和技能，但真正达到掌握知识与技能，还需要教师示范，学生模仿性学习，经过规范化的示范，就能逐步培养学生严谨的思维，正确的计算能力。

】

说明：

⑴应特别强调确定公因式的两个条件,以免漏取.

　⑵刚开始讲,最好把公因式单独写出。

①以显提醒②强调提公因式③强调因式分解

课堂练习：

P156T1

例2．把4x2-8ax+2x分解因式（让学生做，教师下去观察并选择有代表性的解答。

）

学生可能出现的解答：

①4x2-8ax+2x=x（4x-8a+2）②4x2-8ax+2x=2（2x2-4ax+x）

③4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）④4x2-8ax+2x=2x（2x-2a+1）

⑤4x2-8ax+2x=2x（2x-8ax+2x）

教师出示学生的解答，可先让学生自行点评，找出分解因式的错误，而且这些错误都是以后学生练习中的常犯错误，接着由教师总结。

这样做比教师直接给出可能会更有效。

【先让学生自己动手做，暴露他们的错误，然后再进行点评，加深他们的记忆。

】

分析：

找出公因式2x，强调多项式中2x=2x×1　

解：

4x2-8ax+2x=2x×2x-2x×4a+2x×1=2x（2x-4a+1）

说明：

当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1。

1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。

这类题常有学生犯下面的错误：

4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）

注意：

提公因式后的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。

例3．把-3ab+6abx-9aby分解因式

【让学生自己观察找出此例与前面两例的不同点】

学生可能会指出字母的个数不同…（只要学生说得合理，教师应及时给予肯定与鼓励）

他们很快就会发现第一项的系数是“-”的，那么如何转化呢？

【由学生各述己见，教师不加评定，然后集体总结学生思维中的闪光点。

】

应先把它转化成前面的情形，便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“-”号时，教师可适当地引出添括号法则，可谓解决“燃尾之急”。

添括号法则：

括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。

课堂练习：

P156T2【巩固添括号法则】

解：

-3ab+6abx-9aby=-（3ab-6abx+9aby）=-3ab（1-2x+3y）

说明：

通过此例可看出应用提取公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则要提出负因数，此时一定要把各项变号。

由此总结出提取公因式法的一般步骤。

见P155

课堂练习：

P156T3

【通过纠错题，及时反馈信息，进行点评】

例4．探索：

2（a-b）2-a+b能分解因式吗？

还是把问题先交给学生进行小组讨论（四人一小组），鼓励学生进行交流探索。

可能有学生会提出好象没有公因式？

此时教师可以适当地点拨一下。

比如可降低难度改为：

2（a-b）2-（a-b），然后启发学生如何转化？

从而解决问题。

解：

2（a-b）2-a+b=2（a-b）2-（a-b）=（a-b）［2（a-b）-1］=（a-b）（2a-2b-1）

然后可追加一问：

2（a-b）2-（b-a）3呢？

让学生积极思考，讨论回答。

注：

n为偶数（a-b）n=（b-a）n

n为奇数（a-b）n=-（b-a）n

【让他们从合作中去感受群体合作的力量，体验展示自我的愉悦。

】

指出：

我们知道代数式里的字母可以表示一个数、一个单项式、一个多项式。

此多项式的公因式不明显，但仔细观察可发现，利用添括号法则把-a+b可变形成-（a+b），若把（a-b）看作m，原多项式就可以提取公因式a-b。

【向学生渗透换元思想】

【例题4培养学生分析问题的能力，优化学生思维品质，让学生区分方法的差异。

】

㈤强化训练，掌握新知

把下列各式分解因式

⑴2ax+2ay⑵x2y-xy2⑶a3+2a2-a⑷2mn-6m2n2+14m3n3⑸-ab2c+2a2b-5ac2

⑹x（a+b）-y（a+b）⑺a（x-a）+b（a-x）-c（x-a）

　【让学生上来板演，练习都是针对例题的直接应用，同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用。

】

㈥变式训练，扩展新知

A组:

将下列各式分解因式

⑴3（a-b）2-6a+6b

⑵-0.01x3y+o.2x2yz2

⑶利用因式分解计算

22×3.145+53×3.145+31.45×2.5

（学习的最终目的是应用，所以补充了此例，可让学生体验运用新知解决问题的喜悦。

）

B组:

分解因式xa-xa-1+xa-2

【供学有余力的学生练习,让不同层次的学生都能得到发展.】

㈦整理知识,形成结构

同学们，今天这节课你学会了什么？

在学习过程中你有哪些收获？

还有什么疑问？

【培养学生反思自己学习过程的意识，让学生在思考问题的过程中自己把整节内容进行了梳理，并且逐步培养学生自我概括、总结能力，学会口头表达能力。

】

　㈧布置作业：

作业本

（2）§6.2课本P157

【设计思想】

心理学研究成果说明：

一个人只要体验到成功的欣慰与快乐，便会激起再一次追求成功胜利的信念和力量。

因此我根据学生的心理特点和实践认知水平，努力为他们创造成功的条件。

在教学过程中采用类比、探索式教学，辅以讲练结合,师生互动,引导学生习得自主、合作探索的方式,充分遵循学生的认知规律，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力；在充分尊重教材的原则下，适当地改变了例题，增设了由浅入深，各有千秋的问题，为学生顺利掌握提取公因式法提供了有利条件；（如抢答或游戏找公因式和例4）总而言之,努力营造出平等、轻松、活泼的教学氛围。

从新课标评价理念出发，抓住学生语言、思想等方面的亮点给与表扬，不足的给予帮助、鼓励，提高学生学数学，用数学的信心。

第6.3节，用乘法公式分解因式

一、背景介绍

本节课是学生学习了因式分解的概念，用提取公因式法分解因式后继续学习的。

在整式的乘法中学习了平方差公式，今天应用此公式因式分解，关键在于学生必须有逆向的思维，换元的思想，能体会到公式中a、b可以是数字、单项式、多项式。

把多项式转换到平方差公式的模型然后依据公式因式分解。

二、教学设计

第1课时

[教学内容分析]

在前一课时，学生加深了对因式分解的概念的理解，学会了用提取公因式法因式分解，所以本课时的重点在于让学生体会到哪些多项式可用平方差公式分解，以及综合应用提取公因式法与平方差公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。

[教学目标]

1、经历平方差公式的产生过程，会用公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式

2、认识a2－b2=（a＋b）（a－b）与（a＋b）（a－b）=a2－b2之间区别联系

3、体验换元思想，培养学生观察、分析和解决问题能力。

4、体会用符号表示公式的意义，形成初步的符号感。

[教学重、难点]

重点：

掌握平方差公式的特点及运用此公式分解因式。

难点：

把多项式转换到能用平方差公式分解因式的模式，综合运用多种方法因式分解。

[教学准备]

每两名学生准备一张正方形纸板和画图工具

[教学过程]

教学过程

设计说明

一、创设情景，引出课题

问题

（一）

把如图卡纸剪开，拼成一张长方形

卡纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么

剪？

你能给出数学解释吗？

这个图形的剪拼在整式的乘法中学生已经接触过了，比较容易，估计学生能剪拼成功，可能得到以下两条公式

a2－b2=（a＋b）（a－b）与（a＋b）（a－b）=a2－b2

想一想：

（1）这两条公式的名称

（2）公式（a＋b）（a－b）=a2－b2

有什么作用？

公式是多项式乘法的特殊形式，能简化计算。

（学生能说出最好，若有困难，教师点拨）

（3）公式a2－b2=（a＋b）（a－b）左到右的形式发生了什么变化？

（4）请用语言描述公式a2－b2=（a＋b）（a－b）

教师板书：

两数的平方差等于两数的和与两数差的积。

教师指出本课时就应用平方差公式因式分解。

从而提出课题。

通过探究两个图形的变换而面积不变，从而引出公式，这是根据初一学生年龄特点，采用图形变化来激发学生学习兴趣。

问题是知识能力生长点，通过富有实际意义的问题，激发学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考。

二、整理新知，形成结构]

做一做：

1、下列各式能用平方差公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式吗？

a、b分别表示什么？

把下列各式分解因式

（1）x2－1

（2）m2－9（3）x2－4y2

采用抢答形式

例1把下列各式分解因式

（1）16a2－1

（2）－m2n2+4P2

（3）

x2－

y4（4）（x+z）2－（y+z）2

师生一起对话交流，对每一题都提问a、b分别表示什么？

让学生经历这过程后，能充分体验到a、b可以是单项式，也可以是多项式。

解题反思：

上述的多项式都可用平方差公式分解因式，它们有什么共同点，学生讨论、发言，老师纠正、完善：

都可以转化两数的平方差，而且这两数可以是单项式，也可以是多项式。

若部分学生理解有困难，不妨把两数用符号“□”和“△”表示，那么公式形象地表示为：

□2－△2=（□+△）（□－△）

教学应遵循学生的认知规律，由浅如深，循序渐进，既面向全体学生，又体现出例题的层次性

借助数学符号，能把有关的问题规范化，清晰化，建立正确的符号感

三、内化知识，尝试成功

1、辩一辩

下列多项式可以用平方差公式分解因式吗