新北师大版八年级下册第四章教案因式分解.docx

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新北师大版八年级下册第四章教案因式分解

4.1因式分解

教学目标

认知目标：

（1）理解因式分解的概念和意义

（2）认识因式分解及整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

能力目标：

由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。

情感目标：

培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

教学重点：

1.理解因式分解的意义.

2.识别分解因式及整式乘法的关系.

教学难点

：

通过观察，归纳分解因式及整式乘法的关系.

教学过程

1、你能用几种不同的方法计算1002－992，哪种方法最简单？

请及你的同伴交流。

    1002－992=（100+99）（100－99）=199×1 =199

2、你能尝试把a2－b2写成整式的积的形式吗？

    （a+b）（a－b）=a2－b2        a2－b2=（a+b）（a－b）

    （a+b）2=a2+2ab+b2           a2+2ab+b2=（a+b）2

    m（a+b）=am+bm              am+bm=m（a+b）

3、定义（板书）：

一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。

要点：

1．变形对象：

多项式.2．由和的形式变成积的形式.3．几个整式的积

4、因式分解及整式乘法有什么关系？

 因式分解及整式乘法是互逆过程

5、下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？

（1）

（2）

（3）（4）

（5）

6、填空、

（1）∵3a（a+4）=3a2+12a          ∴3a2+12a=（      ）（         ）;

（2）∵（a+3）2=a2+6a+9         ∴a2+6a+9=（         ）（          ）;

（3）∵（2－a）（2+a）=4－a2      ∴4－a2  =（          ）（          ）;   

7、例：

检验下列因式分解是否正确：

（1）x2y－xy2=xy（x－y）

（2）x2+3x+2=（x+1）（x－1）

（3）2x2－1=（2x+1）（2x－1）（4）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）（a2－1）．

8、智力抢答

（1）1012－992=  

（2）872+87×13=  （3）512－2×51+1=

课堂小结

  你知道因式分解的定义吗?

你会判别哪些代数式的变形是因式分解吗

你知道因式分解及整式的乘法的关系吗?

你会验证因式分解是否正确吗?

  你会利用因式分解快速解决某些问题吗?

作业布置：

 课后反思：

4.2　提公因式法

【教学目标】

　认知目标：

⑴在具体情境中认识公因式

⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式

能力目标：

⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。

⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。

情感目标：

在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。

【教学重点、难点】

　1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。

⒉．教学难点∶正确地找出公因式

【教学过程】

一、创设情境，提出问题

如图，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7m,如何计算这块菜园的面积呢？

3.8

列式：

3.7×3.8+3.7×6.2（学生思考后列式）

3.7有简便算法吗?

=3.7×（3.8+6.2）

3.7=3.7×10=37（m2）

在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:

ma＋mb=m（a＋b）

利用整式乘法验证:

m（a＋b）=ma＋mb

二、观察分析，探究新知

让学生观察多项式：

ma+mb

（让学生说出其特点：

都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。

）

各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。

注意：

公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。

又如：

b是多项式ab－b2各项的公因式

2xy是多项式4x2y－6xy2z各项的公因式

让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。

三、独立练习，巩固新知

指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）

⑴ax+ay－a（a）⑵5x2y3－10x2y（5x2y）⑶24abc－9a2b2（3ab）

⑷m2n+mn2（mn）⑸x（x－y）2－y（x－y）（x－y）

说明:

本活动也可以改为寻找公因式游戏如:

（根据提供的多项式和整式,寻找出这个多项式的公因式.）

⑴ax+ay－a⑵5x2y3－10x2y⑶24abc－9a2b2⑷m2n+mn2⑸x（x－y）2－y（x－y）

a,x,y5xy,5x2y3,5x2y3abc,9ab,3abmn,m2n,mn2x（x－y）,y（x－y）,（x－y）

游戏规则:

准备好写有整式和多项式的纸牌,学生分为四组,每组选四个同学游戏,其中3个同学举一组题中的整式牌,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式,并说明理由。

显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：

（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）

⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）

⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂

根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：

ma+mb=m（a+b）这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

　　　定义：

一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。

四、例题教学，运用新知

例1．把3pq3+15p3q分解因式

通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。

然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。

事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：

第一步：

找出公因式；第二步：

提取公因式

解：

3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq（q2+5p2）

让学生口答：

把2x3+6x2分解因式

【学生在探究、交流中能获得一些初步概念和技能，但真正达到掌握知识及技能，还需要教师示范，学生模仿性学习，经过规范化的示范，就能逐步培养学生严谨的思维，正确的计算能力。

】

说明：

⑴应特别强调确定公因式的两个条件,以免漏取.

　⑵刚开始讲,最好把公因式单独写出。

①以显提醒②强调提公因式③强调因式分解

例2．把4x2－8ax+2x分解因式

【先让学生自己动手做，暴露他们的错误，然后再进行点评，加深他们的记忆。

】

分析：

找出公因式2x，强调多项式中2x=2x×1　

解：

4x2－8ax+2x=2x×2x－2x×4a+2x×1=2x（2x－4a+1）

说明：

当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它及1的乘积，提公因式后剩下的应是1。

1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。

这类题常有学生犯下面的错误：

4x2－8ax+2x=2x（2x－4a）

注意：

提公因式后的项数应及原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。

例3．把－3ab+6abx－9aby分解因式

【让学生自己观察找出此例及前面两例的不同点】他们很快就会发现第一项的系数是“－”的，那么如何转化呢？

应先把它转化成前面的情形，便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“－”号时，教师可适当地引出添括号法则，可谓解决“燃尾之急”。

添括号法则：

括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都要变号。

课堂练习：

（巩固添括号法则）

解：

－3ab+6abx－9aby=－（3ab－6abx+9aby）=－3ab（1－2x+3y）

说明：

通过此例可看出应用提取公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则要提出负因数，此时一定要把各项变号。

由此总结出提取公因式法的一般步骤。

课堂练习：

【通过纠错题，及时反馈信息，进行点评】

例4．探索：

2（a－b）2－a+b能分解因式吗？

还是把问题先交给学生进行小组讨论（四人一小组），鼓励学生进行交流探索。

可能有学生会提出好象没有公因式？

此时教师可以适当地点拨一下。

比如可降低难度改为：

2（a－b）2－（a－b），然后启发学生如何转化？

从而解决问题。

解：

2（a－b）2－a+b=2（a－b）2－（a－b）=（a－b）［2（a－b）－1］=（a－b）（2a－2b－1）

然后可追加一问：

2（a－b）2－（b－a）3呢？

让学生积极思考，讨论回答。

注：

n为偶数（a－b）n=（b－a）n

n为奇数（a－b）n=－（b－a）n

【让他们从合作中去感受群体合作的力量，体验展示自我的愉悦。

】

指出：

我们知道代数式里的字母可以表示一个数、一个单项式、一个多项式。

此多项式的公因式不明显，但仔细观察可发现，利用添括号法则把－a+b可变形成－（a+b），若把（a－b）看作m，原多项式就可以提取公因式a－b。

【向学生渗透换元思想】

【例题4培养学生分析问题的能力，优化学生思维品质，让学生区分方法的差异。

】

五、强化训练，掌握新知

把下列各式分解因式

⑴2ax+2ay⑵x2y－xy2⑶a3+2a2－a⑷2mn－6m2n2+14m3n3⑸－ab2c+2a2b－5ac2

⑹x（a+b）－y（a+b）⑺a（x－a）+b（a－x）－c（x－a）

　【让学生上来板演，练习都是针对例题的直接应用，同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用。

】

六、变式训练，扩展新知

A组:

将下列各式分解因式

（1）3（a－b）2－6a+6b

（2）－0.01x3y+o.2x2yz2

（3）利用因式分解计算：

22×3.145+53×3.145+31.45×2.5

B组:

分解因式xa－xa－1+xa－2

七、课堂小结

同学们，今天这节课你学会了什么？

在学习过程中你有哪些收获？

还有什么疑问？

课后作业

课后反思

4.3用乘法公式分解因式

（1）

教学目标

1、要求学生理解因式分解的平方差公式的意义．

2、会将数和式子写成平方的形式，根据平方差公式的特征判断能否利用平方差公式进行因式分解．

教学重难点

教学重点：

灵活利用平方差公式分解因式．

教学难点：

及提公因式法结合，灵活利用平方差公式分解因式．

教学过程

一、复习提问：

1、公因式的概念、因式分解的概念、提公因式法的概念．

2、（x+5）（x-5）=_________,（a+b）（a-b）_________;

3、

;

二、导入新课：

把乘法公式（a+b）（a－b）=

反过来，就得到

=（a+b）（a－b）

这个等式有什么特征？

（让学生讨论总结特征）．

三、新课讲解：

结合等式的特征可得到：

把形式是平方差的多项式可进行分解因式．

运用平方差公式分解因式的条件是多项式可以写成两个数的平方的形式．因此，运用平方差公式分解因式要进行观察，判断所要分解的多项式是否符合平方差公式的特点，

即应是二项式，两项都能写成平方的形式且符号相反．如把

分解因式，可以看出它符合平方差公式的特点，先把它写成

的形式，再得出

=（3x+2）（3x－2）．

例1、把下列各式分解因式：

（1）

；

（2）

；

（3）

由（3）总结：

因式分解所得的每一个整式必须化简．

练习：

把下列各式分解因式：

（1）

；

（2）

；（3）

；（4）

．

例2、如图，大圆的半径为35m，小圆的半径为15m，求圆环的面积．

例3、把下列各式分解因式：

（1）

；

（2）

；（3）

；（4）

；

点评：

运用平方差公式因式分解的一般步骤是：

（1）还原成平方差的形式

（2）运用公式写成两数和及两数差的积的形式

（3）分别在括号内合并同类项

因式分解的标准：

（1）因式之间只存在乘积运算

（2）要分解到不能再分解为止

练习：

把下列各式分解因式：

（1）

；

（2）

；（3）

；（4）

．

四．课堂小结:

这节课你学到了什么知识，掌握什么方法？

（1）说说因式分解及整式乘法的联系及区别；

（2）说说如何用平方差公式分解因式；

（3）如何将

分解因式？

五．课后作业

六．教后反思

4.3用乘法公式分解因式

（2）

教学目标

（一）教学知识点：

1．使学生会用完全平方公式分解因式．2．使学生学习多步骤，多方法的分解因式．

（二）能力训练要求

在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力．

（三）情感及价值观要求

通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．

教学重难点

教学重点：

让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法．

教学难点：

让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式．

教学过程

一．创设问题情境，引入新课

我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：

提取公因式法、运用平方差公式法．现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2

本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式．

二．新课

1.由因式分解和整式乘法的关系，能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？

将完全平方公式倒写：

a2+2ab+b2=（a+b）2；a2－2ab+b2=（a－b）2．

便得到用完全平方公式分解因式的公式．

2那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？

左边的特点：

（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；

（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍．

右边的特点：

这两数或两式和（差）的平方．

用语言叙述为：

两个数的平方和加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．

形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式．

由分解因式及整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．

二、例题

例1、判断下列各式是否完全平方式：

（1）4x3－4x+1　

（2）4x2－2x+1（3）4x2－4x+1

（4）x2－x+

（5）

+1－

x

例2、把下列各式分解因式：

（1）4a2+12ab+9b2；

（2）－x2+4xy―4y2（3）3ax2+6axy+3ay2

注意以下几点：

（1）当两个平方项前面的符号为负时，应先提取“－”号，如―x2+4xy―4y2=―（x2―4xy+4y2）

（2）

（2）多项式中有公因式的先提取公因式．

课堂练习

把下列各式分解因式：

（1）4a2－4ab+b2；

（2）a2b2+8abc+16c2；（3）（x+y）2+6（x+y）+9；

（4）

－

+n2；（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9；（6）

x2y－x4－

三．课堂小结

这节课我们学习了用完全平方公式分解因式，它及平方差公式不同之处是：

（1）要求多项式有三项．

（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．

同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式．

四．课后作业：

五．课后反思：

补充：

因式分解之十字相乘法

（1）

【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式；

2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；

3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.

【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式.

【教学难点】把x2+px+q分解因式时，准确地找出a、b，使a·b=q；a+b=p.

【教学过程】

一、复习导入

1．口答计算结果：

（1）（x+2）（x+1）

（2）（x+2）（x－1）（3）（x－2）（x+1）（4）（x－2）（x－1）

（5）（x+2）（x+3）（6）（x+2）（x－3）（7）（x－2）（x+3）（8）（x－2）（x－3）

2．问题：

你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?

[在多项式的乘法中,有（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab]

二、探索新知

1、观察及发现:

等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算.

反过来可得x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.

等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解.

2、体会及尝试：

①试一试因式分解:

x2+4x+3；x2－2x－3

将二次三项式x2+4x+3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3+1=4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:

x2+4x+3=（x+3）（x+1）.

x+3

x+1

3x+x=4x

②定义：

利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

③拆一拆将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）：

6=；12=；24=；

-6=；-12=；-24=.

④练一练将下列各式用十字相乘法进行因式分解：

（1）x2－7x+12；

（2）x2－4x－12；（3）x2+8x+12；

（4）x2－11x－12；（5）x2+13x+12；（6）x2－x－12；

⑤探索符号规律,完成填空.

3、思考及归纳：

要将二次三项式x2+px+q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p,满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即

x2+px+q=x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.

用十字交叉线表示:

x+a

x+b

ax+bx=（a+b）x

由于把x2+px+q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.

三．例题举偶.

例1把下列各式分解因式：

（1）

；

（2）

．

例2把下列各式分解因式：

（1）

；

（2）；

（3）

．

点悟：

（1）把

看作一整体，从而转化为关于

的二次三项式；

（2）以

为整体，转化为关于

的二次三项式．

（3）提取公因式（x＋y）后，原式可转化为关于（x＋y）的二次三项式；

练习：

（1）x2－7x＋6

（2）a2－4a－21

（2）x2＋xy－12y2（3）x2－13xy－36y2

（5）a2－ab－12b2（6）m4－6m2＋8（7）x4＋10x2＋9（8）

课堂小结：

对二次三项式x2＋px＋q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：

1．掌握方法:

拆分常数项,验证一次项.

2．符号规律:

当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号及p的符号相同；

当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数及p的符号相同.

3.多项式因式分解的一般步骤可用口诀概括如下：

“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”

课后作业：

课后反思：

十字相乘法

（2）

教学目标

　　1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如

的二次三项式分解因式；

　　2.进一步培养学生的观察力和思维和敏捷性.

教学重点和难点

　　重点：

正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；

　　难点：

灵活运用十字相乘法分解因式.

教学过程设计

　　一、导入新课

　1.把下列各式多分解因式：

　　①x2+6x－72；　　　②（x+y）2－8（x+y）+48；③x4－7x2+18；　　④x2－10xy－56y2.

我们已经学习了把形如

的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如

型的某些多项式分解因式.

2.在多项式

中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．

在多项式

中，把ab看作一个整体，即

，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式

，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．这节课就来讨论某些形如

的二次三项式分解因式.

　　二、新课讲解

　　例1把2x2－7x+3分解因式.

　　分析：

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

　　分解二次项系数（只取正因数）：

2＝1×2＝2×1；

　　分解常数项：

　3=1×3=1×3==（－3）×（－1）=（－1）×（－3）.

　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

①②③④

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

　　解2x2－7x+3=（x－3）（2x－1）.

　　一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1及a2x+c2之积，即　ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.

　　像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常

叫做十字相乘法.

　　例2把6x2－7x－5分解因式.

　　分析：

按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.

　　解:

6x2－7x－5=（2x+1）（3x－5