最新中考数学折叠问题讲义资料.docx
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最新中考数学折叠问题讲义资料
中考数学——
六种类型折叠问题
类型1直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题
例1．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，
∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x+3＝（9﹣x），
解得x＝4．即BN＝4．故选：
A．
例1变式1．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
A．25/4B．22/3C．7/4D．5/3
【解析】由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），
∵∠C＝90°，∴AD﹣CD＝AC,（8﹣x）﹣x＝36，
解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：
C．
例1变式2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上，当GF＝GH时，则BE的长为_____．
【解析】由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE+EH2＝AH，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝EG，再根据勾股定理，即可得到方程x+4+（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用，解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH，这种折叠问题常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
方法策略模式：
在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。
类型2翻折前有平行线这一条件的问题
例2．如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若OC＝5cm，则CD的长为（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．10cm
【分析】由折叠的性质可得：
∠BAC＝∠EAC＝∠ACD，可得AO＝CO＝5cm，根据勾股定理可求DO的长，即可求CD的长．
【解答】∵折叠，∴∠BAC＝∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠EAC＝∠ACD，∴AO＝CO＝5cm，
在直角三角形ADO中，利用勾股定理可求得DO＝3cm，
∴CD＝DO+CO＝3+5＝8cm．故选：
C．
例2变式．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则图形中重叠部分△AEF的面积为_____．
【解析】设AE＝x，由折叠可知，EC＝x，BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB+BE＝AE，即4+（8﹣x）＝x，解得：
x＝5，
由折叠可知∠AEF＝∠CEF，
∵AD∥BC，∴∠CEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，即AE＝AF＝5，
∴S△AEF＝1/2×AF×AB＝1/2×5×4＝10．
故答案为：
10．
方法策略模式：
图形折叠后，相当于出现了角平分线，有角平分线，有平行，就会产生等腰三角形，我们去找那个等腰三角形一般就会使得问题得到解决。
类型3 直角三角形的翻折，利用三垂直模型解答
例3．如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置，则cos∠COD的值是（ ）
A．3/5B．1/2C．3/4D．4/5
【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出GD、CG的长，再根据相似三角形的性质，求出DF的长，OF的长即可解决问题；
【解答】作DF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E，BD交OC于G．
∵在△BCG与△ODG中，
∠BCG＝∠ODF，OD=BC,∠DOF＝∠GBC，∴△BCG≌△ODG，
∴GO＝GB，∴设GO＝GB＝x，则CG＝GD＝2﹣x，
于是在Rt△CGB中，（2﹣x）+1＝x；解得x＝5/4．
GD＝2﹣x＝2﹣5/4＝3/4；
∵BC⊥y轴，DF⊥y轴，∴∠BCG＝∠DFG，
∵∠BGC＝∠DGF，∴△CBG∽△FDG，∴DF/BC=DG/BG，∴DF＝3/5；
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
例3变式．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，使得顶点D落在边BC上的点F处（折痕为AE）．已知该纸片AB为8cm，BC为10cm，则EC的长度为（ ）
A．6cmB．5cmC．4cmD．3cn
【解析】由四边形ABCD是矩形，可得BC＝AD＝10cm，∠B＝∠C＝∠D＝90°，又由由折叠的性质可得：
AF＝AD＝10cm，∠AFE＝∠D＝90°，利用勾股定理即可求得BF的长，继而可得FC的长，然后由△ABF∽△FCE，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得EC的长度．EC＝3cm，故选：
D．
方法策略模式：
如果图形中折叠的是一个直角，我们的处理方法一般是构造三垂直模型，找到一对相似三角形，根据相似的性质来解决问题。
类型4 等边三角形的翻折一线三等角
例4．如图，等边△ABC中，D是BC边上的一点，把△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，折痕与边AB、AC分别交于点M、N，若AM＝2，AN＝3，那么边BC长为_____．
【分析】设BD＝x，DC＝y由△BMD∽△CDN，可得（BM+MD+BD）：
（DN+NC+CD）＝DM：
DN＝2：
3，推出（2x+y）：
（x+2y）＝2：
3，推出y＝4x，推出AB＝BC＝AC＝5x，MB＝5x﹣2，CN＝5x﹣3，再根据BM/CD=DM/DN=2/3，构建方程即可解决问题；
【解答】解：
设BD＝x，DC＝y，
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝x+y，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
由折叠的性质可知：
MN是线段AD的垂直平分线，
∴AM＝DM＝2，AN＝DN＝3，
∴BM+MD+BD＝2x+y，DN+NC+DC＝x+2y，
∵∠MDN＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠NDC+∠MDB＝∠BMD+∠MBD＝120°，∴∠NDC＝∠BMD，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴△BMD∽△CDN，
∴（BM+MD+BD）：
（DN+NC+CD）＝DM：
DN＝2：
3，
∴（2x+y）：
（x+2y）＝2：
3，
∴y＝4x，∴AB＝BC＝AC＝5x，MB＝5x﹣2，CN＝5x﹣3，
∵BM/CD=DM/DN=2/3，
∴（5x-2）/4x=2/3，∴x＝6/7，∴BC＝5x＝30/7，故答案为30/7．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、X相似三角形的判定和性质以及折叠的性质：
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
例4变式．如图所示，等边△ABC中，边长为4，P、Q为AB、AC上的点，将△ABC沿着PQ折叠，使得A点与线段BC上的点D重合，且BD：
CD＝1：
3，则AQ的长度为________．
【解析】易得△BPD∽△CDQ，可得BD/CQ=DP/DQ=BP/CD，由BD：
DC＝1：
4＝3，BC＝4，推出DB＝1，CD＝3，设AQ＝x，则CQ＝4﹣x，构建方程即可解决问题；AQ=13/5.
方法策略模式：
等边三角形折叠后，会出现三个60度的角，一般情况下我们会找到一对相似三角形，根据相似的性质来解决问题。
类型5 过一定点的翻折与隐形圆
例5．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是边AD的中点，N是AB上一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'B，则A'B的取值范围_________
【分析】连接BM，BD，依据M是边AD的中点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，即可得到点A'的轨迹为以AD为直径的半圆M，依据A'B+A'M≥BM，即可得出A'B≥BM﹣A'M＝4√3﹣4，当点N与点A或点D重合时，A'B的最大值为8，即可得到A'B的取值范围．
【解答】如图所示，连接BM，BD，
∵M是边AD的中点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，
∴点A'的轨迹为以AD为直径的半圆M，A'M＝AM＝4，
∵∠A＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，
∴BM⊥AD，∠ABM＝30°，∴BM＝√3AM＝4√3，
∵A'B+A'M≥BM，∴A'B≥BM﹣A'M＝4√3﹣4，
当点N与点A或点D重合时，点A'与点A或点D重合，此时A'B的最大值为8，∴A'B的取值范围为：
4√3﹣4≤A'B≤8，
故答案为：
4√3﹣4≤A'B≤8．
例5变式.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E是AD边的中点，点F是射线AB上的一动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF，连接A′C，则A′C的最小值为______．
【解析】根据点F是射线AB上的一动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF，可得点A'的运动路径为以E为圆心，AE长为半径的半圆，再根据两点之间线段最短，即可得出当点A'、C、E三点共线时，A′C的长最小，最后根据勾股定理进行计算即可．即A′C的最小值为√10-1
方法策略模式：
如果翻折的折痕是过一定点的，就会出现隐形圆，一般我们用点圆最值模型来求最值。
类型6折叠后图形不确定的多解的折叠问题
例6．如图，正方形ABCD的边长是2，点E是CD边的中点，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把∠C沿直线EF折叠，使点C落在点C′处．当△ADC′为等腰三角形时，FC的长为______ ．
新材料手工艺品。
目前，国际上传统的金银、仿金银制成饰品的销售在逐步下降，与此形成鲜明对比的是，数年以前兴起的崇尚然风格、追求个性的自制饰品--即根据自己的创意将各种材质的饰珠，用皮、布、金属等线材串出的品，正在各国的女性中大行其道。
【分析】首先证明DC′≠DA，只要分两种情形讨论即可：
①如图1中，当AD＝AC′＝2时，连接AE．构建方程即可；②如图2中，当点F在BC中点时，易证AC′＝DC′，满足条件；
众上所述，我们认为：
我们的创意小屋计划或许虽然会有很多的挑战和困难，但我们会吸取和借鉴“漂亮女生”和“碧芝”的成功经验，在产品的质量和创意上多下工夫，使自己的产品能领导潮流，领导时尚。
在它们还没有打入学校这个市场时，我们要巩固我们的学生市场，制作一些吸引学生，又有使学生能接受的价格，勇敢的面对它们的挑战，使自己立于不败之地。
【解答】由题意DE＝EC＝EC′＝1，∴DC′＜1+1
“漂亮女生”号称全国连锁店，相信他们有统一的进货渠道。
店内到处贴着“10元以下任选”，价格便宜到令人心动。
但是转念一想，发夹2.8元，发圈4.8元，皮夹子9.8元，好像和平日讨价还价杀来的心理价位也差不多，只不过把一只20元的发夹还到5元实在辛苦，现在明码标价倒也省心省力。
∴DC′≠DA，只要分两种情形讨论即可：
（2）东西全①如图1中，当AD＝AC′＝2时，连接AE．
虽然调查显示我们的创意计划有很大的发展空间，但是各种如“漂亮女生”和“碧芝”等连锁饰品店在不久的将来将对我们的创意小屋会产生很大的威胁。
∵AE＝AE，AD＝AC′，DE＝DC′，
∴△ADE≌△AC′E，∴∠ADE＝∠AC′E＝90°，
∵∠C＝∠FC′E＝90°，∴∠AC′E+∠FC′E＝180°，
三、主要竞争者分析∴A、C′、F共线，设CF＝x，则BF＝2﹣x，AF＝2+x，
1、荣晓华、孙喜林《消费者行为学》东北财经大学出版社2003年2月在Rt△ABF中，2+（2﹣x）＝（2+x），解得x＝1/2．
②如图2中，当点F在BC中点时，易证AC′＝DC′，满足条件，此时CF＝1．
综上所述，满足条件的CF的长为1/2或1．
故答案为1/2或1．
【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
例6变式．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E，F分别为AB，AC上一个动点，连接EF，以EF为轴将△AEF折叠得到△DEF，使点D落在BC上，当△BDE为直角三角形时，BE的值为______．
上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”，还专门为大学生创业提供担保，贷款最高上限达到５万元。
【解析】分两种情形分别求解：
①如图1中，当∠EDB＝90°时，设BE＝x．则AE＝ED＝10﹣x．利用平行线的性质，构建方程即可解决问题；②如图2中，当∠DEB＝90°，设BE＝x，则AE＝ED＝10﹣x．根据tan∠DBE＝DE/BE＝AC/BC，构建方程即可；满足条件的BE的值为25/4或40/7．
方法策略模式：
此类题目往往涉及知识点多，综合性强，大部分情况下还需分类讨论。
同学们在这类题上得分率较低，反思其原因，无法准确画出所需要的图形是导致错误的重要原因之一，因此要明确分折叠操作后图形是否确定，可能出现情况有那些。
。
根本不知道□总结提升
经过以上六个类型问题分析，我们不难得到解决这类问题思维模式。
具体如下：
1.折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
2.折叠类问题中，如果翻折的是直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题；
3.折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就有可能出现等腰三角形，或者角平分；
据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中，发现有50%人选择了价格便宜些，有28%人选择服务热情些，有30%人选择店面装潢有个性，只有14%人选择新颖多样。
如图（1-5）所示4.折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，我们可以设未知数，根据勾股定理列方程求解；
5.折叠类问题中，如果折痕过某一定点，这是往往用辅助圆来解决问题，一般试题考查的是点圆最值问题。
6.折叠后图形不明确，应明确分析出可能出现情形，一次分析验证，可借助纸片模拟分析。
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