中考数学二轮专题复习讲义第16讲函数的应用Word下载.docx
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②借助函数解析式或图象以及函数性质解决问题．
一次函数与一次函数的组合，一次函数与二次函数的组合，一次函数与反比例函数的组合等．
5.灵活选用适当的函数模型的应用
①由题目条件在坐标系中描出点的坐标；
②根据点的坐标判断函数类型；
③由待定系数法确定函数解析式；
④将其他各点或对应值代入所求解析式，检验函数类型确定是否正确；
⑤利用所求函数的性质解决问题．
生活、生产、科技等为背景的问题．
建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对求出的函数解析式进行验证，防止出现错解．
基本
思想
1.数形结合，借助函数的图象和性质，形象直观地解决有关方程、不等式、比较大小、最大（小）值等问题．
2.建模思想，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解．如函数与三角形、四边形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解．
1．（2017·
绍兴模拟）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x＝2时，y＝20.则y与x的函数图象大致是（ ）
2．（2015·
金华）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝－
（x－80）2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16
米B.
米C．16
米D.
米
【问题】人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中的司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为50km/h时，视野为80度．如果视野f（度）是车速v（km/h）的反比例函数．
（1）求f、v之间的关系式，并计算当车速为100km/h时视野的度数．
（2）当视野的度数不低于50度时，车速应控制在什么范围内．
（3）通过以上两题解答，请你思考如何建立合适的函数模型，以及利用函数关系式解题时，如何理解已知数的意义．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理函数的实际问题，要认真分析，构建函数模型，从而根据函数性质解答问题；
实际问题中函数解析式的求法：
设x为自变量，y为x的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x、y的二元方程，再用含x的代数式表示y，最后还要写出自变量x的取值范围．
类型一 方程（组）、不等式中的函数应用
（2017·
安徽模拟）给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝
.
①如果
>
a>
a2，那么0＜a＜1；
②如果a2>
，那么a＞1；
③如果
a2>
a，那么－1＜a＜0；
④如果a2>
a时，那么a＜－1.
则（ ）
A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④
C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③
【解后感悟】本题是二次函数与不等式组的关系，实际上利用函数图象来比较代数式的大小，求出两交点的坐标，并准确识图．
1．
（1）（2017·
兰州）下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
－1
－0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是（ ）
A．1B．1.1C．1.2D．1.3
（2）如图，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝
交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜
＋b的解集是 ．
类型二 几何图形中的函数应用
萧山模拟）在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.
（1）求证：
MA＝MB；
（2）连结AB，探究：
在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在．请说明理由．
【解后感悟】该题的第
（2）题是最小值问题，主要去构建一个函数模型，然后利用性质求最小值．在构造函数模型时注意两个方面：
一是揭示基本图形，寻找基本的数量关系，二是确立哪个量作为自变量来构建函数．
潍坊）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）
A.
cm2B.
cm2C.
cm2D.
cm2
类型三 一次函数的应用
（2015·
杭州）方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5小时与乙相遇，…，请你帮助方成同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；
（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；
（3）分别求出甲、乙行驶的路程S甲、S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地，若丙经过
h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？
【解后感悟】此题是一次函数的实际应用，注意理解题意，结合图象，根据实际选择合理的方法解答．
3．（2017·
台州模拟）某服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；
做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45元．当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大（ ）
A．40B．44C．66D．80
4．（2015·
舟山模拟）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y（单位：
升）与时间x（单位：
分）之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，时间x的取值范围为____________________．
类型四 反比例函数的应用
南平模拟）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【解后感悟】此题是一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
5．某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N/m2，那么此人必须站立在面积____的木板上才不至于下陷．（木板的重量忽略不计）（ ）
A．至少2m2B．至多2m2C．大于2m2D．小于2m2
类型五 二次函数的应用
镇江模拟）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：
元）、销售价y2（单位：
元）与产量x（单位：
kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？
最大利润是多少？
【解后感悟】本题是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
6．（2017·
丽水模拟）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－
x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．－20mB．10mC．20mD．－10m
【实际应用题】
（2015·
舟山）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系式：
y＝
（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？
（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为W元，求W与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？
最大值是多少元（利润＝出厂价－成本）?
（3）设
（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m＋1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m＋1）天每只粽子至少应提价几元？
【方法与对策】本题是二次函数在实际生活中的应用，难点在于读懂题目信息，把实际问题构建成一个函数模型，解答时需要同学们仔细分析所示情景分类讨论，利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值．该题型是中考选择题中的压轴题，出现较多，学习过程中要重视．
【建立坐标系时忽视符号】
如图1，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25m，喷出的抛物线形水流与喷头底部A的距离为1m处达到距地面最大高度2.25m，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式．
学生小龙在解答图1所示的问题时，具体解答如下：
①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系；
②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝ax2；
③根据题意可得B点与x轴的距离为1m，故B点的坐标为（－1，1）；
④代入y＝ax2得－1＝a·
1，所以a＝－1；
⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝－x2.
数学老师看了小龙的解题过程后说：
“小龙的解答是错误的．”
（1）请指出小龙的解题从第________步开始出现错误，错误的原因是什么？
（2）请你写出完整的正确解答过程．
参考答案
【考题体验】
1．C 2.B
【知识引擎】
【解析】
（1）f、v之间的关系式f＝
.当v＝100时，f＝
＝40.答：
当车速为100km/h时，视野的度数为40度．
（2）根据图象或函数增减性，f随v增大而减小，∴f＝
≥50，v≤80，∴车速不超过80km/h. （3）揭示问题中的数量关系，通过两个变量列方程，从而建立函数模型；
对于问题中的数量，要寻找与变量之间的关系，以便解题．
【例题精析】
例1 易求x＝1时，三个函数的函数值都是1，所以，交点坐标为（1，1）．根据对称性，y＝x和y＝
在第三象限的交点坐标为（－1，－1）．①如果
a2，那么0＜a＜1正确；
，那么a＞1或－1＜a＜0，故本小题错误；
a，那么a值不存在，故本小题错误；
a时，那么a＜－1正确．综上所述，正确的命题是①④.故选A.
例2
（1）证明：
连结OM.∵Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ的中点，∴PQ＝4
，OM＝PM＝
PQ＝2
，∠POM＝∠BOM＝∠P＝45°
.∵∠PMA＋∠AMO＝∠OMB＋∠AMO，∴∠PMA＝∠OMB.∴△PMA≌△OMB（ASA）．∴MA＝MB.
（2）△AOB的周长存在最小值．理由如下：
∵△PMA≌△OMB，∴PA＝OB.∴OA＋OB＝OA＋PA＝OP＝4.设OA＝x，AB＝y，则y2＝x2＋（4－x）2＝2x2－8x＋16＝2（x－2）2＋8≥8.∴当x＝2时y2有最小值8，从而y的最小值为2
.∴△AOB的周长存在最小值，其最小值是4＋2
.
例3
（1）直线BC的函数表达式为：
y＝40t－60；
直线CD的函数表达式为：
y＝－20t＋80；
（2）OA的函数表达式为：
y＝20t（0≤t≤1），∴点A的纵坐标为20，当20<
y<
30时，即20<
40t－60<
30或20<
－20t＋80<
30，解得：
2<
t<
或
<
3；
（3）S甲＝60t－60（1≤t≤
），S乙＝20t（0≤t≤4），所画函数图象如图：
（4）当t＝
时，S乙＝
，丙距M地的路程与时间的函数表达式为：
S丙＝－40t＋80（0≤t≤2），S丙＝－40t＋80与S甲＝60t－60的图象交点的横坐标为
，∴丙出发
小时与甲相遇．
例4
（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：
y＝kx＋b，依据题意，得
解得：
故此函数解析式为：
y＝10x＋20；
（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：
，依据题意，得：
100＝
，即m＝800，故y＝
，当y＝20时，20＝
，解得：
t＝40；
（3）∵45－40＝5≤8，∴当x＝5时，y＝10×
5＋20＝70，答：
小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃.
例5
（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：
当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y＝k1x＋b1，∵y＝k1x＋b1的图象过点（0，60）与（90，42），∴
∴解得：
∴这个一次函数的表达式为：
y＝－0.2x＋60（0≤x≤90）；
（3）设y2与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，∵经过点（0，120）与（130，42），∴
∴这个一次函数的表达式为y＝－0.6x＋120（0≤x≤130），设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时，W＝x[（－0.6x＋120）－（－0.2x＋60）]＝－0.4（x－75）2＋2250，∴当x＝75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x≤130时，W＝x[（－0.6x＋120）－42]＝－0.6（x－65）2＋2535，∴当x＝90时，W＝－0.6（90－65）2＋2535＝2160，由－0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250元．
【变式拓展】
1．
（1）C
（2）－5＜x＜－1或x＞0 2.C 3.B 4.1<
x<
9 5.A 6.C
【热点题型】
【分析与解】
（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，由题意可知：
30n＋120＝420，解得n＝10.答：
第10天生产的粽子数量为420只．
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于出厂价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答：
由图象得，当0≤x≤9时，p＝4.1；
当9≤x≤15时，设p＝kx＋b，把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，
解得
∴p＝0.1x＋3.2，①0≤x≤5时，W＝（6－4.1）×
54x＝102.6x，当x＝5时，W最大＝513（元）；
②5<
x≤9时，W＝（6－4.1）×
（30x＋120）＝57x＋228，∵x是整数，∴当x＝9时，W最大＝741（元）；
③9<
x≤15时，W＝（6－0.1x－3.2）×
（30x＋120）＝－3x2＋72x＋336，∵a＝－3<
0，∴当x＝－
＝12时，W最大＝768（元）；
综上，当x＝12时，W有最大值，最大值为768. （3）根据
（2）得出m＋1＝13，根据利润等于出厂价减去成本价得出提价a与利润W的关系式，再根据题意列出不等式求解即可：
设第13天提价a元，由题意得，W13＝（6＋a－p）（30x＋120）＝510（a＋1.5），∴510（a＋1.5）－768≥48，解得a≥0.1.答：
第13天每只粽子至少应提价0.1元．
【错误警示】
（1）③ 原因：
B点的坐标写错了，应是（－1，－1）．
（2）以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．设抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝ax2，根据题意可得B点与x轴的距离为1m，故B点的坐标为（－1，－1），代入y＝ax2得－1＝a·
1，所以a＝－1，所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝－x2.
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