实验4DFT变换的性质及应用.docx
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实验4DFT变换的性质及应用
课程编号
实验项目序号
本科学生实验卡和实验报告
信息科学与工程学院
通信工程专业2013级 1301班
课程名称：
数字信号处理
实验项目：
DFT变换的性质及应用
2015～～2016学年第二学期
学号：
2_姓名：
___王少丹_____专业年级班级：
____通信1301______
_____四合院____实验室组别________实验日期__2016年_5月__22日
课程名称
数字信号处理
实验课时
4
实验项目名称
和编号
DFT变换的性质及应用
同组者姓名
实验目的
1、实现信号的DFT变换
2、了解DFT应用：
（1）用DFT计算卷积
1、 线性卷积
y（n）=x（n）*h（n）
设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为（N+M-1）
2、 循环卷积
和的N点DFT分别为：
X1（k）=DFT[]
X2（k）=DFT[]
如果X（k）=X1（k）X2（k），0≤k≤N-1
则：
x（n）=IDFT[X（k）]=
x（n）
3、 循环卷积的计算
由于DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用DFT（FFT）计算循环卷积。
4、 利用循环卷积计算线性卷积
在实际应用中，为了分析时域离散线性系统对序列进行滤波处理等，需要计算两个序列的线性卷积。
与计算循环卷积一样，为了提高运算速度，也希望用DFT（FFT）计算线性卷积。
而DFT只能直接用来计算循环卷积。
（2）用DFT对序列进行谱分析
所谓信号的谱分析，就是计算信号的傅立叶变换。
连续信号与系统的傅立叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算。
对连续信号和系统，可以通过时域采样，应用DFT进行近似谱分析。
1、用DFT对连续信号进行谱分析
傅立叶变换理论：
若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若频谱有限宽，则其持续时间无限长。
所以，严格地讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。
但在工程中，常用DFT对连续信号进行谱分析。
对于持续时间无限长的信号，采样点数太多以至无法存储和计算，只好截取有限点；对于频谱很宽的信号，为防止时域采样后频谱混叠失真，可用预滤波法滤除幅度较小的高频成分，使连续信号的带宽小于折叠频率。
这样，连续信号持续时间为有限长，为有限带宽。
为了利用DFT对进行频谱分析，先对进行时域采样得x（n），再对x（n）进行DFT得到X（k），X（k）为x（n）的傅立叶变换在频率区间[0，2p]上的N点等间隔采样。
这里X（k）和x（n）均为有限长。
所以用DFT对连续信号进行谱分析是近似的，其近似程度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。
2、用DFT进行谱分析存在的问题
栅栏效应：
只能看见N个离散采样点的谱特性，看不到的全部频谱特性。
由于栅栏效应，有可能漏掉（挡住）大的频谱分量。
为了把原来被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，可以采用在原序列尾部补零的方法，改变序列长度N（即改变DFT变换区间长度），从而增加频域采样点数和采样点位置，使原来漏掉的某些频谱分量被检测出来。
实验环境
MATLAB
实验内容
和原理
实验步骤
方法
关键代码
Dft1.m：
function[am,pha]=dft1（x）
N=length（x）;
w=exp（-j*2*pi/N）;
fork=1:
N
sum=0;
forn=1:
N
sum=sum+x（n）*w^（k-1）*（n-1）;
end
am（k）=abs（sum）;
pha（k）=angle（sum）;
end
dft2.m：
function[am,pha]=dft2（x）
N=length（x）;
n=[0:
N-1];
k=[0:
N-1];
w=exp（-j*2*pi/N）;
nk=n'*k;
wnk=w.^（nk）;
Xk=x*wnk;
am=abs（Xk）;
pha=angle（Xk）
dft3.m:
function[amfft,phafft]=dft3（x）
N=length（x）;
Xk=fft（x）;
amfft=abs（Xk）;
phafft=angle（Xk）;
实验结果：
用三种不同的DFT程序计算x（n）=（0.9）^n（n=0,1,2,…,7）的傅立叶变换X（k），并比较三种程序的计算机运行时间
T1任务2、给定x（n）=nR16（n），h（n）=R8（n）利用DFT实现两序列的线性卷积运算，并研究DFT的点数与混叠的关系，并用stem（n,y）画出相应的图形
代码：
dft4.m:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ÈÎÎñ2%%%%%%%%%%%%%%%%
%N1+N2-1=23<32
N=32;
x=[0:
15];
xx=[x,zeros（1,16）];
h=[ones（1,8）,zeros（1,24）];
Xk=fft（xx,N）;
Hk=fft（h,N）;
Yk=Xk.*Hk;
y=ifft（Yk,N）;
n=0:
N-1;
stem（n,y）;
holdon
%N=N1=16
N1=16;
x1=[0:
15];
h1=[ones（1,8）,zeros（1,8）];
Xk1=fft（x1,N1）;
Hk1=fft（h1,N1）;
Yk1=Xk1.*Hk1;
y1=ifft（Yk1,N1）;
n1=0:
N-1;
stem（n1,y1,'.','m'）;
任务3、讨论序列补零及增加数据长度对信号频谱的影响
（1）求出序列x（n）=cos（0.48n）+cos（0.52n）基于有限个样点n=10的频谱；
（2）求n=100时,取x（n）的前10个,后90个设为零，得到x（n）的频谱;
（3）增加x（n）有效的样点数，取100个样点得到x（n）的频谱
实验代码：
任务一：
n=[0:
7];
x=（0.9）.^n;
figure
（1）
[am,pha]=dft1（x）;
t1=cputime
subplot（3,1,1）;
stem（x）;
subplot（3,1,2）;
stem（am）;
subplot（3,1,3）;
stem（pha）;
figure
（2）
[am,pha]=dft2（x）
t2=cputime
subplot（3,1,1）;
stem（x）;
subplot（3,1,2）;
stem（am）;
subplot（3,1,3）;
stem（pha）;
figure（3）
[amfft,phafft]=dft3（x）
t3=cputime
subplot（3,1,1）;
stem（x）;
subplot（3,1,2）;
stem（am）;
subplot（3,1,3）;
stem（pha）;
任务三：
dft5.m:
%%%%%%%%%%%%%%ÈÎÎñ3%%%%%%%%%%%%%%%%%
%x（n）基于10个样点的频谱
figure
（1）
n=[0:
1:
99];
x=cos（0.48*pi*n）+cos（0.52*pi*n）;
n1=[0:
1:
9];y1=x（1:
1:
10）;
subplot（2,1,1）;stem（n1,y1）;title（'signalx（n）,0<=n<=9'）;xlabel（'n'）
axis（[0,10,-2.5,2.5]）
Y1=fft（y1）;magY1=abs（Y1（1:
1:
6））;
k1=0:
1:
5;w1=2*pi/10*k1;
subplot（2,1,2）;stem（w1/pi,magY1）;title（'10µãDFT'）;
xlabel（'w/pi'）,axis（[0,1,0,10]）
%在10个样点的基础上添90个零，得到密度高的频谱
figure
（2）
n3=[0:
1:
99];y3=[x（1:
1:
10）zeros（1,90）];%添90个零，得到100个数据
subplot（2,1,1）;stem（n3,y3）;title（'signalx（n）,0<=n<=9+90'）;xlabel（'n'）
axis（[0,100,-2.5,2.5]）
Y3=fft（y3）;magY3=abs（Y3（1:
1:
51））;
k3=0:
1:
50;w3=2*pi/100*k3;
subplot（2,1,2）;stem（w3/pi,magY3）;title（'100µãDFT'）;
xlabel（'w/pi'）,axis（[0,1,0,10]）
%增加x（n）有效的样点数，取100个样点
figure（3）
n=[0:
1:
99];
x=cos（0.48*pi*n）+cos（0.52*pi*n）;
subplot（2,1,1）;stem（n,x）;title（'signalx（n）,0<=n<=99'）;xlabel（'n'）
axis（[0,100,-2.5,2.5]）
X=fft（x）;magX=abs（X（1:
1:
51））;
k=0:
1:
50;w=2*pi/100*k;
subplot（2,1,2）;stem（w/pi,magX）;title（'100µãDFT'）;
xlabel（'w/pi'）,axis（[0,1,0,60]）
测试记录
分析
结论
实验数据与理论相符。
小结
离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，缩写为DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。
在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。
即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作其周期延拓的变换。
在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。
离散傅里叶变换的性质：
线性，循环移位定理，循环卷积定理，
以下由实验教师填写
记事
评议
成绩评定
平时成绩_______实验报告成绩________综合成绩_________
指导教师签名：
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