水力学-第4章-相似原理和量纲分析.ppt

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水力学教学课件,主讲教师：

刘伟答疑地点：

综合实验楼106,描述流体运动的各种方程式,由于流体运动及边界条件的复杂性，某些问题无法求解,某些极其复杂的流动，难于导出数学表达式,解决许多流体力学问题,理论分析,定性的理论分析和实验方法,第四章量纲分析与相似理论,第一节相似理论,为使模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。

具体来说，两相似流动应几何相似、运动相似、动力相似。

两流动相似应满足的条件,原型：

天然水流和实际建筑物称为原型。

模型：

通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。

力学模型试验：

是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。

流动相似：

两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。

1、几何相似：

流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度相等。

几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同，如固体壁面，自由液面等。

长度比尺,2、运动相似：

以几何相似为前提。

流体质点流过相应的位移所用时间成比例。

在对应瞬时，流场速度图相似，即相应点速度大小成比例，方向相同。

长度比尺,时间比尺,长度比尺,时间比尺,3、动力相似：

在对应位置和对应瞬时，流场中各种成分的力（时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力）矢量图都相似，即相应点力的大小成比例，方向相同。

并且五种成分力的相似比例数也相同，即力多边形相似。

作用力比尺,式中Fp原型某点上的作用力；Fm模型对应点上的作用力。

由牛顿第二定律：

F=ma=Va,则力的比尺为,因为,则,即,上式可写成,上式说明，两个流动动力相似，它们的牛顿数相等；反之两个流动的牛顿数相等，则两个流动动力相似。

在相似原理中，两个动力相似流动中的无量纲数，如牛顿数，称为相似准数。

动力相似条件（相似准数相等）称为相似准则。

无量纲数,在相似原理中称为牛顿数Ne,四、初始条件和边界条件的相似初始条件：

适用于非恒定流。

边界条件：

有几何、运动和动力三个方面的因素。

如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。

五、流动相似的含义几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。

上面讨论了流动相似的基本理论，即两流动相似，应具有几何相似、运动相似、动力相似及初始条件和边界条件相似这些要求。

一般说来，几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是决定两流动相似的主导因素，运动相似是几何相似和动力相似的表现。

因此，在几何相似的前提下，要保证流动相似，主要看动力相似。

二.相似准则,在模型实验中，只要使其中起主导作用外力满足相似条件，就能够基本上反映出流体的运动状态。

作用在流体上的力主要是粘性力。

粘性力（牛顿内摩擦定律）,粘性力比尺,由于作用力仅考虑粘性力，F=T，即,于是,1.雷诺准则,上式说明，若作用在流体上的力主要是粘性力时，两个流动动力相似，它们的雷诺数应相等。

反之，两个流动的雷诺数相等，则这两个流动一定是在粘性力作用下动力相似。

化简后,或者,无量纲数,即雷诺数,上式说明，若作用在流体上主要是重力，两个流动动力相似，它们的弗汝德数相等，反之，两个流动的弗汝德数相等，则这两个流动一定是在重力作用下动力相似。

作用在流体上的力主要是重力。

即：

重力G=mg=Vg重力比尺,由于作用力F中仅考虑重力G，因而F=G，即f=G,于是,化简得：

或,无量纲量,弗汝德数,所以,2.弗汝德准则,上式说明，若作用在流体上的力主要是压力，两个流动动力相似，则它们的欧拉数应相等。

反之，两个流动的欧拉数相等，则这两个流动一定是在压力作用下动力相似。

作用在流体上的力主要是压力P。

即：

压力P=pA,由于作用力F中只考虑压力P，因而F=P，即,压力比尺,于是可得,化简得,则,无量纲数,欧拉数,所以,3.欧拉准则,1.雷诺准则,2.弗汝德准则,3.欧拉准则,相似准则：

重力相似准则：

保证两现象的弗劳德数相等,压差力相似，即欧拉数相等,粘性相似准则：

保证两现象的雷诺数相等,4.韦伯（表面张力相似）准则,表面张力为主导作用力时的相似准则：

当表面张力起主要作用时，动力相似有：

5.弹性力相似准则（马赫数）,弹性力为主导作用力时的相似准则（例水击现象）：

柯西数,令,弹性模量,4.2模型试验模型律的选择模型设计,在相似的条件下进行实验,应该测量实验结果无量纲表达式包含的所有物理量,实验结果应整理成以相似准数和其它无量纲量来表示的函数关系式或绘制成曲线；实验结果只能应用于相似现象之间。

在什么条件下进行实验?

应该测量哪些物理量?

实验结果如何应用?

如何进行实验?

模型的设计，首先要解决模型与原型各种比尺的选择问题，即所谓模型律的问题。

一、模型律的选择在进行模型设计时，根据原型的物理量确定模型的量值，这就是模型律的选择，模型律的选择应依据相似准则来确定。

现在仅考虑粘性力与重力同时满足相似。

由雷诺准则,则,

（1）,由佛汝德准则,通常g=1，则上式为,

（2）,可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变g和.而我们知道改变g是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上做），改变的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的流体种类是很少的。

通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作用的那个相似准数相等，称为。

部分相似,在相似的条件下进行实验,完全相似,严格地要求相似准数都相同,难于做到,g相同,相同,例如,要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用的流动，选用Froude准数为主要相似准数（决定性相似准数），满足Frm=Frp，此外管道流动，流体机械中的流动：

Rem=Rep，Re数为决定性相似准数可压缩流动：

Mam=Map，Ma数为决定性相似准数。

总之，根据流动的性质来选取决定性相似准数,决定性相似准数的定义：

对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否满足了主要动力相似。

只要满足了决定性相似准数相等后，就满足了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。

（注意：

对于Eu准数而言，在其他相似准数作为决定性相似准数满足相等时，Eu准数同时可以满足）,二、模型设计模型设计首先定出长度比尺，再以选定的比尺缩小（或放大）原型的几何尺度，得出模型流动的几何边界。

通常，模型和原型采用同一种类流体，则，然后按所选用的相似准则确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的流量：

按以上步骤，便可实现原型、模型流动在相应准则控制下的流动相似。

或,例1：

一桥墩长lp=24m，墩宽bp=4.3m，水深hp=8.2m，河中水流平均流速vp=2.3m/s，两桥台的距离Bp=90m。

取=50来设计水工模型试验，试求模型各几何尺寸和模型中的平均流速和流量。

水深,由给定的=50直接计算,解：

（1）模型的各几何尺寸,桥墩长,桥墩宽,桥台距离,

（2）模型平均流速与流量对一般水工建筑物的流动，起主要作用的是重力，所以模型试验只需满足佛汝德准则。

即,所以,在此g=1，则，模型的流速为,模型流量为,因为,由于，,例2：

汽车高hp=1.5m，最大行速为108km/h，拟在风洞中测定其阻力。

风洞的最大风速为45m/s，问模型的最小高度为多少？

若模型中测得阻力为1.50kN，试求原型汽车所受的阻力。

解：

（1）求模型的最小高度hm对于分析气体阻力问题，可按雷诺准则计算。

雷诺准则为,故,此处，,

（2）求原型汽车所受的阻力由在推导牛顿数得到的力的比尺为,故,则,4.3量纲分析,一量纲分析的基本概念二量纲和谐性原理三布金汉（Buckingham）定理,4.3.1量纲分析的基本概念,1量纲是物理量的单位种类，又称因次，如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用L表示。

2基本量纲导出量纲基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有三个基本量纲：

长度量纲L、时间量纲T、质量量纲M，导出量纲由基本量纲组合表示，如加速度的量纲a=LT-2力的量纲F=ma=MLT-2任何物理量B的量纲可写成B=MLT,用表示物理量的量纲，用（）表示物理量的单位,基本量纲具有独立性彼此互不依赖、相互独立,诱导量纲由基本量纲导出的其它物理量量纲,量纲,国际单位制：

L、T、M工程单位制：

L、T、F,与温度无关的动力学问题有三个基本量纲，其它物理量的量纲都可以由此导出。

导出量纲（诱导纲量）,基本纲量,称为量纲指数,或,如：

物理量q为无量纲量，也称为纯数,则：

对于任意物理量q，其纲量可写作：

3基本量导出量一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种关系得出，前者互为独立的物理量。

基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本量的原则。

如、v、l可以构成一组基本量，包含了L、M、T这三个基本量纲，而a、v、l就不能构成基本量，因为不包含基本量纲M,导出量纲速度dimv=LT-1加速度dima=LT-2密度dim=ML-3力dimF=MLT-2压强dimp=ML-1T-2,一个几何学的量一个运动学的量一个动力学的量,为确保三个基本物理量的独立性，选择三个基本物理量时必须保证包含：

4无量纲量指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如前面讲过的相似准数,定义：

物理量的所有量纲指数为零,相同量纲量的比值或几个有量纲量通过乘除组合而成,无量纲量具有如下特点：

1、客观性：

无量纲，无单位。

真正客观的方程式应是由无量纲项组成的方程式2、不受运动规模的影响规模大小不同的相似流动，相应的无量纲数相同3、可进行超越函数的运算有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、三角函数运算是没有意义的。

4.3.2量纲和谐,正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致的、齐次的，即：

各项的量纲必须一致。

利用量纲和谐原理，可以从一个侧面来检验物理方程的正确性。

例如，不可压缩液体恒定总流的能量方程:

式中，每一项都是长度量纲L，因而该方程是量纲和谐的。

各项的单位无论是用米还是厘米，能量方程的形式均不变。

任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位制变换而改变形式。

客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。

关系式各项由无量纲数组成，不会改变原方程的本质,这样即可以避免因选用的单位不同而引起的数值不同，又可使方程的参变量减少。

如果用位置水头去除以能量方程式中的各项，即,量纲和谐原理还可以用来确定经验公式中系数的量纲，以分析经验公式的结构是否合理。

例如：

明渠均匀流的谢才公式,谢才系数就是一个有量纲的系数，根据量纲和谐原理：

应当注意，有些特定条件下的经验公式其量纲是不和谐的，说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，这时应根据量纲和谐原理，确定公式中各项所应采用的单位，在应用这类公式时需特别注意采用所规定的单位。

量纲和谐原理的重要性：

一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。

量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。

可用来建立物理方程式的结构形式。

问题1：

运动粘度的量纲是：

A.L/T2；B.L/T3C.L2/T；D.L3/T。

问题2：

速度v，长度l，重力加速度g的无量纲集合是：

A.B.C.D.问题3：

速度v,密度,压强p的无量纲集合是：

A.B.C.D.,（C）,（D）,（D）,量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。

它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。

两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。

在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力学试验研究有重要的指导意义。

科学地组织实验,指导实验结果的整理,建立物理量之间的关系,4.3.3量纲分析法,量纲分析法是依据物理方程的量纲和谐原理，充分了解流体运动的物理过程，找出这一过程中的影响因素，假定一个未知的函数关系，然后运用物理方程量纲一致性原则确定这个函数关系。

量纲分析法,瑞利法,定理,4、代入原假设的函数式中去，必要时整理简化，即得简明的反映该物理现象的公式。

2、其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式,1.瑞利法,应用步骤归纳,1、列出与物理现象有关的变量,3、将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。

3、根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式，联立解出各变量的指数。

下面通过例题说明瑞利法的应用步骤。

例求水泵输出功率的表达式。

（1）找出同水泵输出功率N有关的物理量，包括单位体积水的重量,、流量Q、扬程H，即：

（2）写出指数乘积关系式,（3）写出量纲式：

（4）以基本量纲（M、L、T）表示各物理量量纲,（5）根据量纲和谐原理求量纲指数,L:

T:

，,，,M：

得：

，,（6）整理得,例求圆管层流的流量关系式。

解圆管层流运动将在下一章详述，这里仅作为量纲分析的方法来讨论。

（1）找出影响圆管层流流量的物理量，包括管段两端的压强差、管段长、半径、流体的粘度。

根据经验和已有实验资料的分析，得知流量与压强差成正比，与管段长成反比。

因此，可将、归并为项，得到：

（2）写出指数乘积关系式：

（3）写出量纲式：

（4）以基本量纲（M、L、T、）表示各物理量量纲（5）根据量纲和谐求量纲指数M:

L:

T:

得：

，,（6）整理方程式:

系数K由实验确定，则：

其中,由以上例题可以看出，用瑞利法求力学方程，在有关物理量不超过4个，待求的量纲指数不超过3个时，可直接根据量纲和谐条件，求出各量纲指数，建立方程。

当有关物理量超过4个时，则需要归并有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数,题目,试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q的表达式。

已知q与堰顶水头H、水的密度和重力加速度g有关。

1.分析影响因素，列出函数方程,解：

根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q与堰顶水头H、水的密度和重力加速度g有关，用函数关系式表示为,2.将q写成H，g的指数乘积形式，即,3.写出量纲表达式,4.选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量纲为,5.由量纲和谐性原理求各量纲指数,L：

2=a-3b+cT：

-1=-2cM：

0=b,a=3/2b=0c=1/2,6.代入指数乘积式，得,其中，k1为无量纲系数，即流量系数m，由实验来确定。

即,2.定理,物理过程涉及n个物理量，表达形式为,其中有m个物理量是互相独立的，称为基本量，其余n-m个物理量为导出量，导出量的量纲可表示为：

基本方程式形式：

无量纲项,组成的方程式,为原方程组的无量纲表示,物理过程涉及n个物理量，其中有m个物理量的量纲是互相独立的，选这些量纲为基本量纲，可组成n-m个无量纲量，物理过程则可由这n-m个无量纲量的关系式描述。

否则就违反了量纲和谐原理。

物理过程的有量纲表达形式为其中m个物理量的量纲被选为基本量纲，余下n-m个物理量可各自与这m个物理量组合成无量纲量，定理的结论是：

物理过程的无量纲表达形式为,从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉及的物理量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联。

比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质，也更具普遍性。

应用定理要点（也是难点）在于：

确定物理过程涉及的物理量时，既不能遗漏，也不要多列。

定理量纲分析法的应用步骤归纳,1、确定影响某种物理现象的有关变量（设数目为n个）写出如式的函数关系式。

2、从式中n个变量中选取m个（一般为3个）为基本量。

3、列出（nm）个式的组成为，其中A、B、C为基本量，y为（nm）个导出量之一。

为待求的指数，K可任意假定，一般取为1或1。

4、根据定理必须是无量纲组合数的条件，决定指数列出i项。

5、带入原假设函数式，则有。

6、必要时，可将各项相互或自相乘除，以改变其形式，尽量使它称为流体力学上熟悉的准数，并根据理论分析和实验资料确定函数f的具体形式。

应用定理的两点说明：

（1）m个基本量纲是从n个物理量中选取m个基本物理量来代表的。

一般取三个基本物理量，即m=3，要求这三个基本物理量不能组合成一个无量纲量。

如用量纲公式表示基本物理量x1，x2，x3，则,三个基本物理量一般取几何长度、流速v、密度含有M、T及L量纲。

因此，x1，x2，x3不能组合成无量纲量的条件是量纲公式中指数行列式不等于零。

即,

（2）项的组合除了三个基本物理量以外，每次轮换取一个物理量，组合而成。

即,式中ai、bi、ci各项的待定指数。

这样一共可写出（n3）个项，因为各项是无量纲量，dim=L0T0M0，因此，可由量纲和谐原理求出各项的指数值。

例1：

实验观察与理论分析指出，恒定有压管流的压强损失p与管长l、直径d、管壁粗糙度、动力粘度、密度、流速v等因素有关。

试用定理求出计算压强损失p的公式及沿程损失hf的公式。

解：

写出函数关系式,其中,选取依次为几何学量D、运动学量V和动力学量为基本量，上述七个物理量可组合成nm=73=4个无量纲项，即1、2、3和5，且有关系式：

解方程得：

a1=2，b1=0，c1=1a2=1，b2=1，c2=1a3=0，b3=1，c3=0a4=0，b4=1，c4=0,量纲表达式为,则,原函数关系式可写成,或,上式即为有压管流中计算压强损失的公式，如以沿程水头hf表示，则可写成,由大量实验得知，p与管长l成正比，与管径d成反比，因此可从函数式中提出，上式可写成,则,令，,称为沿程阻力系数。

定理的解题步骤：

1、选取参变量，写出函数关系；2、选取基本量；3、写出的表达式；4、列出指数指数方程；5、求解指数方程；6、代入表达式；7、组合、整理。

题目,试用瑞利法和定理（布金汉定理）推导圆柱绕流的阻力FD的表达式，并说明瑞利法和布金汉定理各适用于何种情况？

已知圆柱绕流阻力FD与圆柱的直径为D、流体的流速为V、流体的密度为和流体的动力粘滞系数为有关。

1.已知与阻力FD有关的物理量为d，V，即,解：

一、瑞利法求解,2.将阻力写成d，V，的指数乘积形式，即,3.写出量纲表达式,因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以不能全部解出。

我们保留其中的e，待实验中去确定，并用它表示其余的指数,4.选L、T、M作基本量纲，表示各物理量的量纲,5.由量纲和谐性原理，求各量纲的指数,L：

1=a+b-3c-eM：

1=c+eT：

-2=-b-e,a=2-e，b=2-e，c=1-e,6.带入指数乘积式，得,即,如果令绕流阻力系数，l为圆柱长，则得阻力公式,其中，绕流阻力系数CD与物体的形状和雷诺数有关，最后由实验确定。

1.根据题意，本题共有5个物理量，即n=5，这些物理量之间存在下述关系式,2.选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量，三个基本物理量的量纲是,二、定理求解,其量纲指数行列式为,故说明基本物理量的量纲是相互独立的。

可写出n3532个无量纲项。

3.列出无量纲值,其中，为待定指数。

4.根据量纲和谐性原理，各项中的指数分别确定如下,对于1，其量纲式为,对于1，其量纲式为,5.写出无量纲量方程，其中2项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以,式中：

，称为绕流阻力系数，与物体的形状和雷诺数有关，由实验确定。

由以上可以看出，用两种不同的量纲分析法得到的结果完全相同。

一般，瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数n45个，而布金汉定理是具有普遍性的方法。

为什么进行量纲分析,校核公式量纲和谐原理兑换单位帮助人们认识物理量之间的内在规律，探求模型的相似准则指导实验，减少实验的变量数目,量纲分析在爆炸力学中的应用,1945年原子弹的能量英国G.I.泰勒爵士（1886-1975）；英国物理学家，数学家，流动力学和波动力学理论专家,1941年，他利用量纲分析法估计了原子弹爆炸所释放的能量。

后来解密器实际爆炸的能量非常接近他的估计。

从此；量纲分析法在爆炸问题中越来越有用处。

他认为有5个变量，影响原子弹所释放的能量：

时间t起爆后某位置处t时刻的能量Et时刻冲击波半径R（随时间扩大）初始大气压力P0大气周围的密度,