5 相似原理与量纲分析文档格式.docx
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问题：
长度比尺λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进，测得波浪阻力为0.02N，则原型中需要的功率Np为：
A.2.17kW；
B.32.4kW；
C.17.8kW；
D.13.8kW。
设模型比尺为1:
100，符合重力相似准则，如果模型流量为100cm3/s，则原型流量为多少cm3/s？
A.0.01；
B.108；
C.10；
D.10000。
问题1：
进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选择的相似准则是：
C.欧拉准则。
运动粘度的量纲是:
A.L/T2；
B.L/T3；
C.L2/T；
D.L3/T。
速度v，长度l，重力加速度g的无量纲集合是：
A.
；
B.
C.
D.
速度v,密度ρ,压强p的无量纲集合是：
A.
C.
。
速度v,l,时间t的无量纲集合是：
B.
压强△p,密度ρ,长度l,流量Q的无量纲集合是：
判断：
惯性力是所有外力的矢量和。
你的回答：
对错
当运动流体主要受粘滞力和压力作用时，若满足雷诺准则，则欧拉相似准则会自动满足。
对于恒定流也应考虑斯特哈罗数准则。
只有量纲相同的项才可以相加减。
二、例题
例1
有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通过的流量为0.18m3/s,现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度νp=0.13cm2/s），问水的模型流量应为多少时才能达到相似？
若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高表示）？
解
（1）因为圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺准则，即两者的雷诺数相等
由于dp=dm
，故上式可写成
或
将已知条件νp=0.13cm2/s，νm=0.0131cm2/s代入上式，得
即当模型中流量Qm为0.0181m3/s时，原型与模型相似。
（2）由于已经满足雷诺准则，故两者的欧拉数也会自动满足
已知
，则原型输油管的压强差为
也可以写成
这里，引入了Ap=Am
（dp=dm
）及gp=gm
所以，5m长输油管的压差油柱为
例2
长度比λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。
求
（1）原型中的波浪阻力；
（2）原型中船舶航行速度；
（3）原型中需要的功率？
解
由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等。
即
由于
由于gp=gm
所以
或
例3
:
设有油罐，直径d为4m，油温t为20℃，已知油的运动粘度νp=0.74cm2/s，长度比λL采用4左右，试进行下面各项研究：
（1）选定何种相似准则？
（2）模型流体的选定？
（3）各项比例的计算。
解
（1）油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。
因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗劳德数。
（2）
由于n正好等于0.0925cm2/s的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体。
现在选用20℃的59%的甘油溶液，其运动粘度0.0892cm2/s，与计算值很接近，但在试验过程中要保持20℃的温度。
于是模型液体的运动粘度应为νm=0.0892cm2/s，而不再是0.0925cm2/s了。
（3）模型流体选好后，由于所选择的νm不再等于0.0925cm2/s，所以对长度比λL应进行修正
即长度比λL应为4.1，而不是4。
因此模型油罐的直径为
流速比λv按弗劳德准则求得（按雷诺准则也能得到同样结果）；
从而知道模型油管内的流速大致为原型中的一半。
时间比λt按雷诺准则求得
加速度比λa
例1：
确定粘性流体流经竖置的单位长度长直圆柱体时的绕流阻力表达式
解：
单位长度所受的阻力FD=F/L（F为柱的整体阻力，L为柱长），影响阻力的因素包括柱的直径D,流体密度ρ,粘度μ,以及行近流速U：
依据量纲和谐原理，上式可写成量纲方程为
FD=kDx
Uyρz
μa
应用[M-L-T]制，并代入相应的量纲
[ML0T-2]=[L]x
[LT-1]y
[ML-3]z[ML-1T-1]a
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。
因此
M:
1=z+a
L:
0=x+y-3z-a
T:
-2=-y-a
得
x=1-a，y=2-a，z=1-a
故
FD=kD1-a
U2-aρ1-aμa
或
例2：
确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。
解影响τ0的独立影响因素有液体的密度ρ，液体的动力粘度μ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速v0拟定函数关系式为
写出量纲关系式为
排列量纲和谐方程求各指数。
联立以上三式解得b=1-a,c=a-d-1,e=a+1。
将各指数值代入函数关系式中得
整理得
令
式中λ——系数，由实验确定。
所以
例3：
管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：
流速υ,管径D，重力g，粘度μ，管壁粗糙度△和密度ρ，试用¦
Ð
定理分析确定方程的一般形式。
取v，D，ρ为基本变量，则¦
的个数N（¦
）=n-m=7-3=4，显然hf/L是一个¦
，因hf和L量纲都是长度。
¦
1=¦
Ô
x1Dy1¦
Ñ
z1¦
Ì
=[LT-1]x1[L]y1[ML-3]z1[ML-1T-1]
则
x1+y1-3z1-1=0
-x1-1=0
z1+1=0
由此x1=-1，y1=-1，z1=-1。
类似有：
2=¦
x2Dy2¦
z2△
3=¦
x3Dy3¦
z3g
可得：
x2=0，y2=-1，z2=0
x3=-2，y3=1，z3=0
写成¦
数为：
即
解得：
常用沿程损失公式形式为：
——称沿程阻力系数，具体由实验决定。
例4：
液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差△p与下列变量有关：
管径d,ρ,υ,l,μ,管壁粗糙度△，试求△p的表达式。
F（d,ρ,υ,l,μ,△,△p）=0
基本量d,ρ,υ,n=7,m=3,π数n-m=4个
对¦
1：
2：
同理得：
设
则
例5：
如图5-1所示，已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压强降落△p随流量Q，流体密度ρ，液体粘度μ，管壁粗糙度△，流量计长度L以及大小直径D1,D2变化。
试用¦
定律求出的压强降落△p表示的流量公式。
函数式为：
图5-1
选取ρ，Q，D1为基本变量，则存在6-3=3个¦
数
将¦
数用量纲表示：
类似地：
并解一个¦
参数：
即：
例6：
用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。
已知τ0与液体的密度ρ，液体的动力沾滞系数μ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速υ有关。
拟定函数关系式为f（D，υ，ρ，τ0，μ，△）=0
从各独立影响因素中选取D（几何量），υ（运动量），ρ（动力量）为基本量建立（6~3）¦
项：
对每一π项建立量纲关系式，排列量纲和谐方程求解ai，bi
，ci
1：
同理求得
将各¦
代入得
整理得
令
则
三、问答
想一想：
两恒定流流动相似应满足哪些条件？
答：
应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。
牛顿相似准则说明了完全的动力相似。
算一算：
如模型比尺为1:
20，考虑粘滞力占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中的流速为2.5m/s。
欧拉数与韦伯数的物理意义是什么？
欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。
韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似。
马赫数与斯特哈罗数的物理意义是什么？
马赫数为弹性力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与弹性力之比，马赫数相等则弹性力相似。
斯特哈罗数是在非恒定流体流动中，因当地加速度不为零，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。
为什么每个相似准则都要表征惯性力？
答案：
作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。
如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律
.流动的变化就是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。
因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。
2.分别举例说明由重力、粘滞力起主要作用的水流。
粘滞力：
层流状态下的、管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。
重力：
堰坝溢流、孔口出流及明槽流动及处于阻力平方区的有压隧洞与管流等。
原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则？
为什么？
若采用同一种流体，不能。
因为：
重力相似
粘滞力相似
不采用同一种流体，理论上能。
因为重力相似
所以
又粘滞力相似
但
实际上做不到。
1.量纲分析有何作用？
答：
可用来推导各物理量的量纲；
简化物理方程；
检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。
2.经验公式是否满足量纲和谐原理？
一般不满足。
通常根据一系列的试验资料统计而得，不考虑量纲之间的和谐。
3.雷利法和布金汉¦
定理各适用于何种情况？
雷利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数≤4~5个，π定理是具有普遍性的方法。
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