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岩体力学和土力学
第八讲 边坡稳定分析和地基承载力
一、内容提要：
本讲主要讲述①边坡稳定分析：
土坡滑动失稳的机理、均质土坡的稳定 分析、土坡稳定分析的条分法；②地基承载力：
地基破坏的过程、地基破坏型式、临塑荷载和临界荷载、地基极限承载力斯肯普敦公式、太沙基公式、汉森公式
二、重点、难点：
土坡滑动失稳的机理、地基破坏的过程、临塑荷载和临界荷载以及地基极限承载力公式
三、内容讲解：
第一节 边坡稳定分析
一、土坡滑动失稳的机理
工程实际中的土坡包括天然土坡和人工土坡，天然土坡是指天然形成的山坡和江河湖海的岸坡，人工土坡则是指人工开挖基坑、基槽、路堑或填筑路堤、土坝形成的边坡。
1、土坡滑动失稳的原因一般有以下两类情况：
（1）外界力的作用破坏了土体内原来的应力平衡状态。
如基坑的开挖，由于地基内自身重力发生变化，改变了土体原来的应力平衡状态；又如路堤的填筑、土坡顶面上作用外荷载、土体内水的渗流、地震力的作用等也都会破坏土体内原有的应力平衡状态，导致土坡坍塌。
（2）土的抗剪强度由于受到外界各种因素的影响而降低，促使土坡失稳破坏。
如外界气候等自然条件的变化，使土时干时湿、收缩膨胀、冻结、融化等，从而使土变松，强度降低；土坡内因雨水的浸入使土湿化，强度降低；土坡附近因打桩、爆破或地震力的作用将引起土的液化或触变，使土的强度降低。
【例题1】关于土坡失稳的原因，一般包括有（ ）。
A. 外界力的作用破坏了土体内原来的应力平衡状态
B. 土的抗剪强度由于受到外界各种因素的影响而降低，促使土坡失稳破坏
C. 土的抗压强度由于受到外界各种因素的影响而降低，促使土坡失稳破坏
D. A、B
答案：
D
【例题2】在下列各种土坡中，不属于人工土坡的是（ ）。
A.山坡
B.基坑边坡
C.路堑边坡
D.土坝边坡
答案：
A
2、边坡的破坏类型与特征
边坡在自然与人为因素作用的破坏形式主要有：
滑坡、塌滑、崩塌、剥落几种，其主要特征见表15-10-1。
【例题3】边坡破坏的主要形式中不包括（ ）。
A. 崩塌
B. 滑坡
C. 泥石流
D. 剥落
答案：
C
【例题4】基坑开挖时，由于土方堆载于基坑边缘，引起边坡滑动，称为（ ）。
A、滑坡；
B、塌滑；
C、崩塌；
D、剥落；
答案：
B
3、边坡稳定分析的目的及计算分析方法
对边坡稳定进行分析，其目的在于根据工程地质条件确定合理的边坡容许坡度和高度，或验算拟定的尺寸是否稳定、合理。
【例题5】对边坡进行稳定性分析，其目的是（ ）。
A.确定土坡的下滑推力
B.确定采取何种支护措施
C.判断边坡的破坏类型
D.根据工程条件确定合理的边坡容许坡度和高度 答案：
D
对边坡的计算分析主要是针对土坡的稳定程度而言，通常用安全系数来衡量（《港口工程地基规范》（JTJ250-98）采用极限状态设计表达式），表明土坡在预计的最不利条件下具有的安全保障。
土坡的安全系数可定义为滑动面上抗滑力矩与滑动力矩之比，即或是抗滑
力Tf与滑动力T之比，
或实有的抗剪强度
与土坡中最危险滑动面上产生的剪应力的比值，
;
也有用黏聚力、摩擦角、临界高度表示的。
所有不同的表达方式均是在不同情况下为应用方便而提出的，这些都是工程计算的手段，其可靠程度在很大程度上决定于计算中选用的土的物理力学性质指标（主要是土的抗剪强度指标c、φ和土的重度γ值）必须选用得当，才能使验算切合实际。
【例题6】下列不能表示土坡的安全系数的是（ ）。
A. 滑动面上抗滑力矩与滑动力矩之比，即
B.抗滑力与滑动力之比，
C.实有的抗剪强度tf与土坡中最危险滑动面上产生的剪应力的比值，
D.可用抗渗流力与渗流力之比表示
答案：
D
【例题7】对土坡安全系数的计算，其可靠程度在很大程度上取决于（ ）。
A、计算方法选用得当；
B、计算结果的准确性；
C、土的抗剪强度指标的选用；
D、土的重度的选用；
答案：
C、D
二、砂性土土坡的稳定分析
根据实际观测，由均质砂性土构成的土坡，破坏时滑动面大多近似于平面，成层的非均质的砂类土构成的土坡，破坏时的滑动面也往往近似于一个平面，因此在分析砂性土的土坡稳定时，一般均假定滑动面是平面。
工程中一般要求K>1.25～1.30。
上述安全系数公式表明，砂性土坡所能形成的最大坡角就是砂土的内摩擦角，根据这一原理，工程上可以通过堆砂锥体法确定砂土的内摩擦角（也称为砂土的自然休止角）。
【例题8】某砂质边坡，砂土的内摩擦角为45°，边坡倾角为30°，该边坡的稳定系数为（ ）。
A. 1.7
B. 0.6
C. 1
D. 1.35
答案：
A
三、均质粘性土土坡的整体稳定分析
1.滑动面的形式
均质粘性土土坡在失稳破坏时，其滑动面常常是一曲面，通常近似于圆柱面，在横断面上则呈现圆弧形，因而在分析粘性土坡稳定性时，常常假定土坡是沿着圆弧破裂面滑动，以简化土坡稳定验算的方法。
2.均质土坡的整体稳定分析法
对于均质简单土坡，其圆弧滑动体的稳定分析可采用整体稳定分析法进行。
所谓简 单土坡是指土坡顶面与底面水平，坡面BC为一平面的土坡，如图15-10-2所示。
分析图15-10-2所示均质简单土坡，若可能的圆弧滑动面为AD，其圆心为O，滑动圆弧半径为R。
滑动土体ABCDA的重力为W，它是促使土坡滑动的滑动力。
沿着滑动面AD上分布土的抗剪强度
将形成抗滑力Tf。
将滑动力W及抗滑力Tf分别对滑动面圆心O取矩，得滑动力矩Ms及抗滑力矩Mr为：
由于滑动面上的正应力
是不断变化的，上式中土的抗剪强度
沿滑动面AD上的分布是不均匀的，因此直接按公式（15-10-3）计算土坡的稳定安全系数有一定误差。
上述计算中，滑动面AD是任意假定的，需要试算许多个可能的滑动面，找出最危险的滑动面即相应于最小稳定安全系数Kmin的滑动面。
四、粘性土土坡稳定分析的条分法
由于整体分析法对于非均质的土坡或比较复杂的土坡（如土坡形状比较复杂、或土坡上有荷载作用、或土坡中有水渗流时等）均不适用，费伦纽斯等提出了粘性土土坡稳定分析的条分法。
1.条分法的基本原理
如图15-10-3所示土坡，取单位长度土坡按平面问题计算。
设可能的滑动面是一圆弧AD，其圆心为O，半径为R。
将滑动土体ABCDA分成许多竖向土条，土条宽度一般可取b=0.1R，任一土条i上的作用力包括：
土条的重力Wi其大小、作用点位置及方向均巳知。
滑动面ef上的法向反力Ni及切向反力Ti，假定Ni、Ti作用在滑动面ef的中点，它们的大小均未知。
土条两侧的法向力Ei、Ei+1及竖向剪切力Xi、Xi+1，其中Ei和Xi可由前一个土条的平衡条件求得，而Ei+1和Xi+1的大小未知，Ei+1的作用点位置也未知。
由此看到，土条i的作用力中有5个未知数，但只能建立3个平衡条件方程，故为
非静定问题。
为了求得Ni、Ti值，必须对土条两侧作用力的大小和位置作适当假定。
费伦纽斯的条分法是不考虑土条两侧的作用力，也即假设Ei和Xi的合力等于Ei+1和Xi+1的合力，同时它们的作用线重合，因此土条两侧的作用力相互抵消。
这时土条i仅有作用力Wi、Ni及Ti，根据平衡条件可得：
2.最危险滑动面圆心位置的确定
上述稳定安全系数K是对于某一个假定滑动面求得的，因此需要试算许多个可能的滑动面，相应于最小安全系数的滑动面即为最危险滑动面。
也可以采用费伦纽斯或泰勒提出的近似方法确定最危险滑动面圆心位置，但当坡形复杂时，一般还是采用电算搜索的方法确定。
【例题9】有一边坡，其几何尺寸如图所示。
滑坡体的面积为150m2。
边坡土层由两层土组成，从坡顶到埋深5.8m处为第一层，其黏聚力c＝38.3kPa，φ＝0°；5.8m以下为第二层，其黏聚力c＝57.5kPa，φ＝0°；。
两层土的平均重度为γ＝19.25kN/m。
若边坡以O点为圆心做圆弧滑动，则该边坡的稳定系数为（ ）。
A. 2.72
B. 2.27
C. 2.85
D. 2.58 答案：
B
【解析】
（1）滑坡体的自重（取单位宽度）：
W＝19.25×150＝2887.5kN
（2）滑坡体的下滑力矩为：
M＝2887.5×4.98＝14397.75kN.m
（3）计算滑坡体抗滑力矩。
第二节 地基承载力
地基承载力是指地基土单位面积上所能承受的荷载，通常把地基土单位面积上所能承受的最大荷载称为极限荷载或极限承载力。
如果基底压力超过地基的极限承载力，地基就会失稳破坏。
由于地基土的复杂性，要准确地确定地基极限承载力是一个比较复杂的问题。
本节主要从土的强度和地基稳定性角度介绍确定地基承载力常见的几种理论方法。
一、地基土的承载性状
（一）地基破坏的过程
通过地基土现场载荷试验可得到其荷载p与沉降s的关系曲线即p—s曲线，从p—s曲线形态来看，地基破坏的过程一般将经历如下三个阶段：
1.压密阶段（或称线弹性变形阶段）
在这一阶段，p—s曲线接近于直线，土中各点的剪应力均小于土的抗剪强度，土体处于弹性平衡状态。
在这一阶段，荷载板的沉降主要是由于土的压密变形引起的，如图15-11-1中p—s曲线上的0段。
通常将p—s曲线上相应于点的荷载称为比例界限pcr。
2.剪切阶段（或称弹塑性变形阶段）
在这一阶段p—s曲线已不再保持线性关系，沉降的增长率随荷载的增大而增加。
在这个阶段，地基土中局部范围内（首先在基础边缘处）的剪应力达到土的抗剪强度，土体发生剪切破坏，这些区域也称塑性区。
随着荷载的继续增加，土中塑性区的范围也逐步扩大，直到土中形成连续的滑动面。
因此，剪切阶段也是地基中塑性区的发生与发展阶段。
剪切阶段相当于图15-11-1中p—s曲线上的段，而点对应的荷载称为极限荷载。
3.破坏阶段
当荷载超过极限荷载后，荷载板急剧下沉，即使不增加荷载，沉降也不能稳定，这表明地基进入了破坏阶段。
在这一阶段，由于土中塑性区范围的不断扩展，最后在土中形成连续滑动面，土从载荷板四周挤出隆起，基础急剧下沉或向一侧倾斜，地基发生整体剪切破坏，如图15-11-2（a）所示。
破坏阶段相当于图15-11-1中p—s曲线上的bc段。
【例题10】通过对地基土现场载荷试验得到的p—s曲线分析，地基破坏的过程一般将经历的阶段中不包括（ ）。
A. 压密阶段
B. 剪切阶段
C. 破坏阶段
D. 软化阶段
答案：
D
【例题12】在图15-11-1中，a点所对应的荷载为（① ），b点所对应的荷载为（② ）。
A. 比例界限
B. 极限荷载
C. 临塑荷载
D.临界荷载
答案：
①A；②B
（二）地基破坏型式
试验研究表明：
地基剪切破坏的型式除了上述整体剪切破坏以外，还有局部剪切破坏和冲剪破坏型式。
局部剪切破坏的特征是，随着荷载的增加，基础下塑性区仅仅发展到地基某一范围内，土中滑动面并不延伸到地面，基础两侧地面微微隆起，没有出现明显的裂缝，如图15-11-2（b）所示。
其p—s曲线如图15-11-1中的曲线B所示，在p—s曲线上也有一个转折点，但不像整体剪切破坏那么明显，在转折点之后，p—s曲线仍呈线性关系。
冲剪破坏又称刺入剪切破坏，其特征是随着荷载的增加，基础下土层发生压缩变形，
基础随之下沉，当荷载继续增加，基础周围附近土体发生竖向剪切破坏，使基础刺入土中，而基础两边的土体并没有移动，如图15-11-2（c）所示。
冲剪破坏的p—s曲线如图15-11-1中的曲线C，在p—s曲线上没有明显的转折点，也没有明显的比例界限及极限荷载。
地基的破坏型式主要与土的压缩性有关，一般地说，对于密实砂土和竖硬粘土将出现整体剪切破坏，而对于压缩性比较大的松砂和软粘土，将可能出现局部剪切或刺入剪切破坏。
此外，破坏型式还与基础埋深、加荷速率等因素有关。
当基础埋深较浅、荷载快速施加时，将趋向于发生整体剪切破坏；若基础埋深较大，无论是砂性土或粘性土地基，最常见的破坏形态是局部剪切破坏。
【例题13】地基破坏型式中不包含（ ）。
A. 整体剪切破坏
B. 局部冲剪破坏
C. 局部剪切破坏
D. 冲剪破坏
答案：
B
【例题14】当基础埋深较大时，地基最常见的破坏形态是（ ）。
A. 整体剪切破坏
B. 局部冲剪破坏
C. 局部剪切破坏
D. 冲剪破坏
答案：
C
二、确定地基承载力的方法
1. 根据载荷试验的p—s曲线来确定
地基的载荷试验是在现场试坑中设计基底标高处的天然土层上设置载荷板（刚性平板，面积一般为0.50m2），然后在其上施加垂直荷载，测定载荷板上的压力及其对应的稳定沉降值，获得载荷试验的p—s曲线，如图15-11-1所示。
通过分析载荷试验的p—s曲线，可以按下列方法确定地基承载力特征值fak。
试验点的地基承载力特征值：
1）当p—s曲线上有比例界限时，取该比例界限所对应的荷载为地基承载力特征值；
2）当试验极限荷载小于对应比例界限的荷载值的2倍时，取极限荷载值的一半为地基承载力特征值；
3）对于不能按上述条件确定的试验结果，可以采用按相对变形的条件来确定其承载力特征值，即当压板面积为0.25～0.50m2时，可取相对沉降s／b=0.01～0.015所对应的压力为承载力特征值，但其值不应大于最大加载量的一半。
土层的地基承载力特征值：
对同一试验土层，试验点不应小于3个，当各试验点实测地基承载力特征值的极差不超过平均值的30％时，取此平均值作为该土层的地基承载力特征值fak。
2.按经验值（规范承载力表）确定地基承载力的方法
有些规范如《公路桥涵地基与基础设计规范（JTJ024—85）》中采用了按经验值确定地基承载力的方法，其中给出了各类土的地基承载力经验数值表，这些表是根据在各类土上所做的大量的载荷试验资料，以及工程经验经过统计分析而得到的，在无当地经验时，可据此估算地基的承载力。
【例题15】在对某地基进行载荷试验时，测得三组试验值分别为：
f1=140kpa；f2=150kpa；f3=175kpa；则该地基承载力特征值为（ ）。
A. 140kpa
B. 145kpa
C. 152kpa
D. 155kpa
答案：
D
【例题16】用载荷板对地基承载力进行检验时，试验点的数量为（ ）。
A. 1
B. 2～3
C. 1～3
D. ≥3
答案：
D
【例题17】用载荷板试验确定地基承载力特征值时，对于已确定的4个试验点的承载力数据，符合以下（ ）条件时，可取其平均值为复合地基承载力特征值。
A. 当满足其极差不超过平均值的30％时，可取其平均值为地基承载力特征值
B. 当满足其极差不超过中间值的30％时，可取其平均值为地基承载力特征值
C. 当满足标准差Sn≤0.15时，可取其平均值为地基承载力特征值
D. 当满足标准差Sn>0.15时，可取其平均值为地基承载力特征值
答案：
A
【解析】试验点的数量不应少于3点，当满足其极差不超过平均值的30％时，可取其平均值为地基承载力特征值；故答案为A。
【例题18】采用地基载荷试验且按相对变形的条件来确定其承载力特征值时，可取s／b=（ ）所对应的压力。
A. 0.006
B. 0.008
C. 0.01
D. 0.016
答案：
C
三、临塑荷载和临界荷载
在条形均布荷载作用下，根据地基中的应力分布和土的极限平衡条件，可以得到基底压力p与基础下塑性区开展的最大深度Zmax的关系：
式中Nr、Nq、Nc称为承载力系数，它只与土的内摩擦角
有关，其计算公式分别如下：
上述临塑荷载及临界荷载计算公式的适用条件：
（1）计算公式适用于条形基础。
这些计算公式是从平面问题的条形均布荷载情况下导 得的，若将它近似地用于矩形基础，其结果是偏于安全的。
（2）计算土中由自重产生的主应力时，假定土的侧压力系数K0＝1，这与土的实际情况不符，但这样可使计算公式简化。
（3）在计算临界荷载时，土中已出现塑性区，但这时仍按弹性理论计算土中应力，这在理论上是相互矛盾的，其所引起的误差是随着塑性区范围的扩大而扩大。
四、极限承载力计算
1. 普朗特尔地基极限承载力公式
普朗特尔（L.Prandtl，1920）在假定条形基础置于地基表面（d＝0），地基土无重量（=0）且基础底面光滑无摩擦力的条件下，根据塑性力学理论求得了基础下形成连续塑性区而处于极限平衡状态时的地基滑动面形态如图15-11-3所示。
地基的极限平衡区可分为三个区：
在基底下的朗肯主动状态区（I区）、基础外侧的朗肯被动状态区（III区）以及I区与III区之间的过渡区（II区）。
相应的地基极限承载力理论公式如下：
pu=cNc （15-11-4）
2.斯肯普顿地基极限承载力公式
对于饱和软粘土地基土（
=0），连续滑动面Ⅱ区的对数螺旋线蜕变成圆弧，斯肯普顿（A。
W。
Skempton，1952）根据极限状态下各滑动体的平衡条件，导出其地基极限承载力的计算公式为：
式中 c—地基土粘聚力，kPa，取基底以下0.707b深度范围内的平均值；考虑饱和粘性土和粉土在不排水条件下的短期承载力时，粘聚力应采用土的不排水抗剪强度Cu；
b、l——分别为基础的宽度和长度，m；
——基础埋置深度d范围内土的重度，kN／m3。
—
工程实际证明，用斯肯普顿公式计算的软土地基承载力与实际情况是比较接近的，安全系数K可取1.1～1.3。
3.太沙基地基极限承载力公式
太沙基（K。
Terzaghi，1943）假定基础底面粗糙，并忽略土的重度对滑动面的影响，假定地基滑动面的形状也可以分成3个区，但I区内土体不是处于朗肯主动状态，而是处于弹性压密状态，它与基础底面一起移动，并假定滑动面与水平面成尹角。
Ⅱ区、III区与普朗特尔解相似，分别是辐射线和对数螺旋曲线组成的过渡区与朗金被动状态区。
为了推导地基承载力公式，太沙基从实际工程的精度要求出发作了进一步简化，认为浅基础的地基极限承载力可近似地假设为以下三种情况的总和：
（1）土是无质量的，有粘聚力和内摩擦角；没有超载，
即
=0，c≠0，
≠0，q=0；
（2）土是没有质量的，无粘聚力，有内摩擦角，有超载，
=0，c=0，
≠0，q≠0；（3）土是有质量的，没有粘聚力，但有内摩擦角，没有超载，即
≠0，c=0，
≠0，q=0。
据此导出如下地基极限承载力公式：
式中 Nr、Nq、Nc—太沙基承载力系数，它只与土的内摩擦角有关，可从下表15-11-1查得。
用太沙基极限承载力公式计算地基承载力时，其安全系数一般可取为3。
【例题19】用太沙基极限承载力公式计算地基承载力时，其安全系数一般取（ ）。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：
C
【例题20】用太沙基极限承载力公式计算地基承载力时，如内摩擦角为0，此时的Nr、Nq、Nc系数分别为（ ）。
A. 0；1；5.71；
B. 0；0；1.0；
C. 1；1；5.71；
D. 0.51；1.64；7.32；
答案：
A
4. 考虑其他因素影响时的极限承载力计算公式
普朗特尔和太沙基等的极限承载力公式，都只适用于中心竖向荷载作用时的条形基础，同时不考虑基底以上土的抗剪强度的作用。
若基础上作用的荷载是倾斜的或有偏心，基础的埋置深度较深，计算时需要考虑基底以上土的抗剪强度影响时，地基承载力可采用汉森公式计算。
汉森（B。
Hanson，1961，1970）提出的在中心倾斜荷载作用下，不同基础形状及不同埋置深度时的极限承载力计算公式如下：
式中 承载力系数Nq、Nc值与普朗特尔公式相同，Nr值按下式计算：
Nr=1.8（Nq-1）tan
—荷载倾斜系数;
—基础形状系数;
—深度系数。
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