第十七讲 数学开放题及其教学 14.docx
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第十七讲数学开放题及其教学14
第十七讲数学开放题、数学问题及其教学
§17.1数学开放题及其教学
一、数学开放题的含义和分类
（一）开放题的含义
数学开放题的含义是指它所反映的数学问题所共有的本质属性。
弄清它的含义，能使我们更好地理解和研究开放题。
数学开放题是相对传统的封闭题而言的。
先请看下面两个简单数学问题：
问题１：
数列２，４，８……成等比数列，求公比。
问题２：
试写出公比为２的一个等比数列。
明显可以发现问题１的答案是唯一的，一般我们称为封闭题，而问题２的答案不唯一，我们称它为开放题。
一个数学问题，如果它的答案不唯一，或者有多种解法，我们就称这个问题为数学开放题。
由以上含义可知，能“一题多解”的题也称为开放题。
且开放题和封闭题具有相对性。
并且一个题目是否开放，不但与题目本身的结构有关，而且与解题者自身所具备的知识和能力也有直接的关系。
二、开放题的分类：
为了深入研究开放题，有必要对它进行分类。
可以选择不同的标准，进行不同的分类。
本文从思维形式的角度把数学开放题分为以下四类：
1、条件性开放题
如果一个数学开放题，其未知的要素是假设，则称为条件性开放题。
这类开放题中往往给出结论，要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件。
2、策略性开放题
如果一个数学开放题，其未知的要素是推理，则称为策略性开放题。
这类开放题一般都给出了条件和结论，而怎样由条件去推断结论，或怎样根据条件去判断结论是否成立的策略未知。
3、结论性开放题：
如果一个数学开放题，其未知的要素是判断，则称为结论开放题。
结论性开放题就是给出一定的条件，满足条件的结论不止一个。
4、综合性开放题
如果一个开放题只给出一定的情况，其条件、解题策略和结论都要求解题者自己去设定和寻找，这类问题称为综合性开放题。
把数学开放题分为以上四类，应该说并非严格意义上的逻辑分类。
并且对同一个开放题，可能它不仅仅是一个结论性开放题，而且又有多种解题策略。
研究开放题的分类是为了“称呼”的方便，以便更好地研究它的教育价值。
三、数学开放题的教育价值
研究数学开放题，弄清它的含义、分类，一个重要的目的就是要利用开放题对学生进行教育，充分发挥开放题的教育价值。
笔者认为开放题具有以下教育价值：
1、开放题的教学有利于倡导民主的教学氛围
教学过程是教师与学生，学生与学生多边活动的过程。
教学活动能否顺利进行的前提条件是教师与学生，学生与学生之间是否相互沟通。
如果离开学生的主动参与，整个教学过程难以畅通。
由于开放题答案的不唯一性和解题策略的多样性，就为教师与学生、学生与学生之间实现交流，为学生表达自己的观点和解题策略提供了很多的“参与时机”。
又由于开放题的层次性，为全体学生，特别是中、下学生提供了很大的“参与空间”。
又由于开放题的探索性，为学生提供了较好的“参与深度”。
使得每个学生都认为自己解决了这个问题，找到了答案。
正因为如此，学生不再是一个依赖教师的模仿者，这种新颖的师生关系给学生提供了一个民主平等的教学氛围，这种氛围有利于充分调动和发挥学生的非智力因素，激活学生学习的内驱力，并且促进了教师与学生，学生与学生之间相互理解，学会换位思考，使教和学相得益彰。
2、开放题的教学有利于学生体验成功，树立信心
心理学告诉我们：
在人的心灵深处都有一个根深蒂固的需要，这就是自己是一个发现者、探索者、创造者和成功者。
由于开放题起点低，层次多，答案不唯一，策略多样化，就使得学生很容易“下手”。
中、下学生也常常能找到几个答案。
学生只要找得一个答案或一种解答策略，这个学生就体验到一次成功。
只要学生不断去追求成功，感受成功，他们就会逐步树立解决问题的自信，对数学的学习产生兴趣，就能为数学教学质量的提高带来不可估量的效果。
3、开放题的教学有利于培养学生的思维能力
培养学生的思维能力是高中数学教育极其重要的目标，开放题在许多方面能够弥补封闭题的局限，在培养学生的思维能力方面有其自身的特点，具体表现在以下几个方面：
⑴开放题为学生的积极思维创设了丰富的问题情境。
由于开放题的多样性、层次性和探索性，它提供给学生的问题情境比封闭题所能提供的问题情境更加丰富、更加复杂，很多实际生活题中的问题情境对学生富有很大的挑战性。
因此，更能激发学生的积极思考和大胆的想象。
解决数学开放题常常需要学生变换思维的方式和角度，这将有利于培养学生思想的广阔性、灵活性和深刻性，无论是学生的形象思维、还是逻辑思维能力都能得到了培养和发展。
⑵开放题的教学为学生提供了数学学习的交流机会，促进了学生的思维活动。
由于开放题结果的多样性和解题策略的不唯一性，不同的学生常常有不同的解题策略和得到不同的结果，这为学生与学生之间进行交流提供了较大的空间。
学生之间通过开放性问题的讨论，能体会到同一个数学问题可以从不同的角度去观察，可以有不同的解决方式，相互之间受到有益的启发。
同时，学生之间的讨论过程是学生对数学开放题进行分析、综合、比较等思维活动的过程。
学生在数学学习的交流中不断地进行讨论、表达，促进了学生的思维活动，有利于培养学生思维的逻辑性、批判性和深刻性，从而使学生的思维品质得到培养，思维能力得到提高。
⑶开放题的教学为学生提供了创新的机会，有利于培养学生创新思维能力。
解决高中数学开放题容易激起创造欲望。
在学生解决开放题的过程中，通过分析后独立提出了一种新的解题方法或独立构造出一种新的方案，这本身就是一种创造。
在高中数学开放题的教学中，教师往往引导学生根据所给的已知条件以及经验和方法，对问题广泛联想，积极探索、猜想，以便寻找规律，使问题得到合理解决。
数学开放题由于具有探索性和多样性，不同的问题应有不同的解题策略，需要不断研究和推敲，常常要不循常规，勇于创新，考虑的问题存在着多种可能性。
这样有利于培养思维的独创性、多向性和灵活性，从而提高了学生的创新思想能力。
四、数学开放题的教学设计
（一）开放题的教学过程。
让开放题进入高中数学教学课堂，让学生去解决开放题，是实现开放题教育价值的重要途径，一般来说，高中数学开放题的教学，有以下几个环节：
1、呈现问题
无论是条件性、策略性开放题，还是结论性、综合性开放题，教师可以根据教学的需要，把握好时机，合理、适时的呈现各类开放题。
如：
在“线面垂直和面面垂直的判定和性质”复习课中，教师可出示前面的“问题6”。
这个问题的开放度比较大，又具有一定的层次性，尽管这时学生之间的能力有差异，但每个学生都能“做得出”，满足了各种层次水平的学生的要求，再通过寻找规律，能使学生更进一步理解“垂直关系”的含义和有关解题方法，有利于达到复习目标。
2、研究问题
一般地，研究解决开放题的方法大致有：
学生个别学习、小组讨论学习，班内组际交流学习和教师讲解等几种形式。
例如，在研究“问题4”时，教师可以首先要求每个学生根据自己的能力积极参与，独立完成这个题目，并鼓励学生充分利用开放题的多样性，找出多种答案。
由于该开放题的开放度比较大，所以每个学生都或多或少能获得的几个答案，这大大激发了学生的学习热情，每个学生在学习中都有一定的成就感，增强了学习数学的自信心。
接着进行小组交流，通过组内讨论，不同层次的学生间集思广益，互相启迪，缩小了差异。
这样，借助于这个开放题的教学过程，既为学生提供了充分发展个性的机会，又充分畅通了学生间交流信息的渠道，有利于促进学生的思维活动。
3、小结问题
对开放题进行小结，可以采用学生代表发言小结，也可以教师进行总结性发言。
小结是诱发学生产生顿悟，使认知结构产生质的飞跃的重要步骤。
同时可以帮助学生去伪存真，纠正学生思维的偏差。
小结除了罗列一些可能的答案外，更重要地是要归纳规律和提出有关问题之间的联系。
如能再适当提问，一可以增加问题的开放度，二可以促使学生进一步思考、探索，把问题向课外延伸，使理论与实际紧密结合，做到“言尽意不尽”，真正达到教育的目的。
（一）开放题教学中的注意点
1、开放题与封闭题在教学中应该并存，而不是相互排斥。
开放题和封闭题各有自己的教育价值。
2、作为教师应学会编制和选择合适的开放题进行教学设计。
学会把握开放题教学的时间和空间。
3、教师是开放题教学的鼓励者。
要时刻当好学生的参谋，不断启发，鼓励学生大胆地探索，要了解学生的心理，掌握学生的认知结构，充分调动学生的主动性和积极性。
让学生能品尝“胜利的果实”。
4、在开放题的教学中，教师要善于对学生开放题的解答进行评价。
要学会观察、分析、归纳各种结论的正确性，并善于用简炼的语言抓住重点，总结规律，并能对具体问题有独到的见解。
5、在开放题的教学中，获得多种答案或多种解题策略固然重要，但更重要的是获得解答的过程。
教师要转变教学观念，由强调“结果”转变为强调“过程”，通过“过程”教学生做人。
§17.2数学问题及其教学
一、问题提出背景:
1、当前数学教育现状的思考
有位专家曾做过这样的测试，他用粉笔在黑板上画了一个“圆圈”，然后要被测试者回答这是什么。
当问到机构干部时，他们一个个面面相觑，都用求教的眼光看着在场的领导。
领导沉默许久，说道：
“没经过研究，我怎么能随便回答问题呢?
”当问到大学中文系的学生时，他们哄堂大笑，拒绝回答这个只有傻瓜才回答的问题。
当问到初中生时，一位尖子生举手回答：
“是零。
”一位后进生喊道：
“是英文字母O。
”他却遭到老师的批评。
最后，当问到小学一年级的学生时，他们异常活跃地回答：
“句号”，“月亮”、“烧饼”、“乒乓球”、“老师生气时的眼睛”、“我家门上的猫眼”……
事后，专家给这次测试起了个题目：
“人的创造力是怎样丧失的”
那么人的创造力到底是怎么丧失的呢？
其实，缺少问题意识，忽视创造性思维能力的培养，便扼杀了人们的创造力。
有资料表明，学生的问题意识在小学阶段就已经很弱了，而且随着学段的增高还在递减，同时，学生年龄越大，对自己解决问题能力的评价就越低。
面对学生唯唯诺诺，没有问题走进教室，没有问题走出教室的悲哀局面，我们应该提倡带着问题进入课堂，带着更多的问题走出课堂。
在教学中，有的教师存在着不敢放手让学生提问题，怕自己的教案被学生的问题搞得七零八落，怕自己面对学生的问题无力回答，失去教师的“尊严”等等一系列的“心理障碍”。
殊不知，“问题”恰恰是教师教学的好帮手。
在国际“奥林匹克”数学、物理、化学等竞赛中，我国的中学生得的奖牌数最多。
可为什么我们培养出来的“考试能手”却不被外国学校看好？
却与诺贝尔奖无缘？
其实不难发现：
我们的学生擅长的是解决现成的问题，而不会发现问题。
一个习惯于接受现成答案而不能产生问题的学生，何来的创新精神和创造能力？
知识经济的发展日益全球化，综合实力的竞争就是人才的竞争。
中国要腾飞，民族要振兴迫切需要有创新精神的人才做强力支撑。
而一个创新型人才必然是一个具有终身学习能力的人。
基础教育的重要任务就应该教会学生学习，形成终身学习的能力，为他们学习做人和进一步接受专业（职业）教育打好基础，进而为提高民族素质打好基础。
袁振国先生在其《反思科学教育》一文中这样论述：
＂中国衡量教育成功的标准是，将有问题的学生教育得没问题，全都懂了，所以中国的学生年龄越大，年级越高，问题越少；而美国衡量教育成功的标准是将没问题的学生教育得有问题，如果学生提出的问题教师都回答不了，那算是非常成功，所以美国的学生年级越高，越富有创意，越会突发奇想。
＂培养学生的创新精神，首先要使我们的学生具有问题意识和问题能力。
小学生的数学学习就是不断提出问题、分析问题、解决问题的过程。
问题可以来自数学的外部（如生活、生产中的实际问题），也可以来自数学的内部（指数学本身未知的因素等）；问题可以是教师课前预设的，也可以是学生自发探究生成的。
对小学生而言，无论来自何方的问题，只要能引发认知冲突，能激发起学生内在的学习动机和求知欲，就能促进学生的发展，就能使教学过程在动态平衡中前进。
新课程下的小学数学教学，必须以学生为主体，通过如何让学生发现问题、分析问题，通过探索去解决问题，从而获得知识，并学会学习。
冷静地反思我们的课堂教学，就不难发现它与传统的教学思想和与之相适应的教学方式有着密切的联系。
2、培养问题意识的意义
陶行知说：
“创造始于问题，有了问题才会思考，有了思考才有解决问题的方法，才有找到独立思路的可能，有问题虽然不一定有创造，但没有问题一定没有创造。
”
早在二千多年前，孔子就要求自己和学生“每事问”，他高度评价问题的价值及意义，认为“疑是思之始，学之端”。
理学大师朱熹也说过：
“读书无疑者，须教有疑，有疑者却要无疑，到这里方是长进。
”这是对学习中的问题意识科学而辩证的阐述。
宋代的著名学者陆九渊的观点则更精辟，他说：
“为学患无疑，疑则有进，小疑则小进，大疑则大进。
”这是对问题意识作用的充分肯定。
近代著名教育家陶行知说得更生动形象，他在一首诗里写道：
“发明千千万，起点是一问。
禽兽不如人，过在不会问。
智者问得巧，愚者问得笨。
人力胜天工，只在每事问。
”由此可见，培养学生问题意识的重要性。
现代思维科学认为，思维过程起始于问题的形成和确定，任何思维过程总是指向于某一具体问题的。
没有问题，思维就成为无源之水、无本之木。
我们的一切教学活动，可以说都是围绕着一个“问题”展开的，都是以解决问题为出发点和归宿的。
因此，旨在培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题诸能力的“问题教学”的产生将十分必要和理所当然了。
提出新问题，或者从新的角度去思考老问题，往往会有新的发现与突破，标志着科学的真正发展。
英国哲学家波谱尔认为，科学的第一个特征就是“它始于问题，实践及理论的问题”。
他甚至认为，“科学和知识的增长永远始于问题”。
爱因斯坦也强调：
“发现问题和系统阐述问题可能要比得到解答更为重要。
解答可能仅仅是数学或实验技能问题，而提出新问题、新的可能性，从新的角度去考虑老问题，则要求创造性的想象，而且标志着科学的真正进步。
”
一部科学发展史，就是对奥秘的探索与对问题的解答的历史。
牛顿发现万有引力，始于他在苹果树下的思索—“为什么苹果从树上掉下来，而不飞到天上去？
”正是注意到知识与问题之间的关系，胡适在1932年6月为北京大学毕业生开的三味“防身药方”中，第一味就是“问题丹”。
他说：
“问题是知识学问的老祖宗。
古往今来，一切知识的产生与积聚，都是因为要解答问题。
试想伽利略和牛顿有多少藏书？
有多少仪器？
他们不过是有问题而已。
有了问题而后他们自会造出仪器来解答他们的问题。
没有问题的人们，关在图书馆里也不会用书，锁在实验室里也不会有什么发现，脑子里没有问题之日，就是你的知识生活寿终正寝之时！
”
因此，培养学生的问题意识有着重要意义。
二、中学生的数学问题意识
1、什么是“问题意识”
何谓问题意识？
是指学生在认知活动中，经常意识到一些难以解决的、疑惑的实际问题及理论问题，并产生一种怀疑、困惑、焦虑、探索的心理状态，这种心理状态可以促使学生积极思维，不断提出问题、分析问题和解决问题。
“问题意识”是创新意识和能力的基础，而发现、提出问题是创新的逻辑起点—强烈的“问题意识”，尤其是发现问题、提出问题的能力。
思维的这种问题性心理品质，称为问题意识。
数学问题意识就是主体对数学问题的一种自觉和感悟，伴随着怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态，这种心理状态使学生不断提出问题，产生积极思维并解决问题。
2、“问题”来源的思考
导致创新的问题有两个主要的触发点：
”好奇”与”怀疑”。
“问题”来源于好奇心。
强烈的好奇心会增强人们对外界信息的敏感性，对新出现的情况和新发生的变化及时做出反应，发现问题，并追根溯源，激发思考，引起探索欲望，开始创新活动。
许多看似偶然的发现其实都隐含着一种必然：
发现者必然具有强烈的好奇心。
缺乏好奇心，必然对外界的信息反应迟钝，对诸多有意义的现象熟视无睹，对问题无动于衷，更别说创造与发明。
爱因斯坦有一句明言：
“我并没有什么特殊的才能，我只不过是喜欢寻根问底地追究问题罢了。
”这段话一语道破了创新和发现的真谛：
好奇心理、问题意识以及锲而不舍的探求，是科学研究获得成功的前提。
“问题”的另一来源是怀疑精神。
我国著名地质学家李四光充分肯定怀疑在科学创新中的重要作用。
他曾说：
“不怀疑不能见真理，所以我希望大家都取一种怀疑的态度，不要被已成的学说压倒。
”对于既有的学说和权威的解释，不是简单地接受与信奉，而是持批判和怀疑的态度，由怀疑进而求异，才能另辟蹊径，突破传统观念，大胆创立新说。
3、如何强化中学生的数学问题意识
那么如何强化问题意识呢？
学生的“问题意识”是在学习者个体与环境互相作用的学习活动中发展的，“问题意识”只有通过学习者自身的主动构建才能发展，任何人都不能代替。
教师为学生发展提供了必要的时间与空间，同时也消除了学生过分依赖别人帮助的幻想。
现阶段我国学生的问题意识比较薄弱，典型表现为两类：
其一是不敢或不愿提出问题，其二是觉得没问题可提或不懂得怎样提问题。
培养学生的问题意识，提高学生发现问题和解决问题的能力是素质教育的需要，是创造型人才素质的核心。
然而，问题意识不是天生就有的，它需要激发和培养。
要培养学生的问题意识就要发挥评价功能促进学生对问题的探究兴趣。
兴趣是人们力求认识某种事物或从事某种活动的心理倾向。
心理学研究表明，学习兴趣的水平对学习效果能产生很大影响。
因此，要培养学生对问题的探究兴趣，必须先让他们在认识上明确“提问题”的意义。
名人的格言容易在学生的头脑中形成共鸣，从而能引起他们对某事物的关注。
如以亚里士多德说的“思维从疑问和惊奇开始”，告诉学生思维活动产生于问题。
用科学家爱因斯坦“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”的话启发他们，让学生从爱因斯坦的话中领悟到：
是否具有发现问题和提出问题的能力，是判断一个人是否具有创造性思维能力的主要依据之一。
学生认识到这一点，也由于自身的好奇心和求知欲，就会开始有了对问题勇于探究的兴趣。
教师引导学生在认识上明确“提问题”的意义就要充分发挥发展性评价的激励和导向功能，促进学生问题意识的培养。
如教师在课堂上运用有声语言、无声语言（书面语言、默语、体态语言）通过即时性评价激趣，鼓励学生表达自己的意见。
不论学生提的问题质量如何，都给予“鼓励性评价”，作出有利于学生思维发展的评价。
这是提高学生对问题探究兴趣的有效手段。
另外，为促进学生问题意识的培养，教师还可以通过阶段性评价活动激发。
数学教学的重要内容是培养学生科学精神和科学素养。
科学精神和科学素养包括不迷信权威、自由探索、怀疑和批判精神，不断进取创新，对科技的了解等。
步入科学殿堂的台阶是研究和解决问题。
因此，在学习过程中“没有问题的学生不是好学生”，教师要树立培养学生“问题意识”的教学新观念。
学生之所以不敢提问，是没有把老师和同学当成共同探讨知识的朋友和伙伴。
传统的课堂上，我们经常看到这样的情景：
教师站在讲台上频频发问，然后指名回答，不允许自由回答，更不允许插话，学生回答错了可能还会遭到批评。
久而久之，连会回答问题的学生都怯于举手了，怎么还敢主动提问题呢？
在教学过程中，教师要充分爱护和尊重学生的问题意识，师生之间要保持平等、和谐、民主的人际关系，要消除学生的紧张感、焦虑感，让他们充分显露灵性，展现个性；要有意识的培养学生质疑问题的勇气和兴趣，提供争辩的机会，启发诱导学生积极思维，发表独立见解，鼓励标新立异，异想天开；还要对学生的问题意识给予积极而合理的评价，让学生真正成为发现问题的主体，充分调动学生探索问题的主动性、积极性和自觉性。
让每一个学生都认识到，即使他们的问题看起来荒诞可笑，或者远离现实，也值得表达、研讨，与他人分享。
有人将之称为“去除思想的车闸”。
因为如果要求“问题”都有创意或者都很成熟才能发表、交流，那就等于在事实上取消提问、质疑。
课堂上教师的提问应切中肯綮，点击关键，应问在学生的困惑处，要讲究科学性，应富有挑战性且引起学生的兴趣，能调动学生阅读、思考、积极主动获取知识、发展智能，能让学生“跳一跳就摘到果子”，感受成功的喜悦，应有助于学生想象和创造能力的培养。
三、中学生数学问题意识的培养
1、教学中注意创设一定的问题情境
数学教学活动一项基本任务是，利用或创设“问题意识”的环境，通过一系列的教学手段，激发认知需求，促使学生主动参与，不断发现问题，探究问题。
而心理安全和自由是激活学生问题意识的两个基本条件，教师民主宽容的态度是实现这两个条件的前提。
从社会心理学的观点讲，学生的“问题”主要来自两个方面：
认知冲突与情感和价值观念的冲突。
对学生来说，设置问题情境是常用的教学方式。
我们把引导学生进入问题情境看做学习过程的开始。
问题情境是指个人所面临的刺激模式与个人的知识结构所形成的差异，也就是呈现在人们眼前的事物所具备的条件，超过人们已有知识经验的范围，而构成了问题的条件。
奥苏伯尔有意义学习理论认为：
创设问题情境，引发学生对知识本身发生兴趣，产生认识需要，产生一种要学习的心理倾向，就能激发学生的学习动机。
创设数学问题情境，激发动机，增强兴趣是数学教学的起点和关键，是培养学生数学问题意识教学的前提。
所谓创设问题情境就是指教师根据教学内容和教学目标而精心设计的一定的教学的客观条件。
如提出一个有趣的问题设置疑问，布下迷局，引起同学的关注；又如提供一定的学习材料或提供一定的解决问题的方法等，把学生领进精彩的问题空间，使学生面临某一个需要解决的问题，引起学生的认知冲突，从而激起学生惊奇、困惑，产生一种积极探究的愿望，集中注意，积极思维。
创设问题情境这一教学策略的实质就是通过这一手段揭露事物的内在矛盾，从而引起学生内心的认知矛盾，打破学生原有认知结构的平衡状态，从而激发学生的学习动机，使学生尽快进入思考、探索状态。
创设数学问题情境的基本原则
（1）问题要具体明确。
既提出的问题必须紧紧围绕教学目标，把教学目标问题化。
目标要明确具体，学生能理解。
要联系学生的生活实际。
（2）问题要有新意。
问题新颖，要具有趣味性、艺术性，能极大的引起学生们的兴趣，能使学生坐不住，跃跃欲试，非解决不可。
（3）问题要有挑战性。
教师在深入分析教学内容和学生情况的基础上，根据教学目标，设计使学生的原有认知结构和新知识产生矛盾的富于挑战性的问题。
使学生感到问题似乎有些熟悉，但运用已有的知识和经验又不能解决，学生必须重新建立自己的知识结构才能解决。
鼓励学生借助已有的知识和经验去探索未知的东西，启发学生思维。
（4）问题要有开放性。
开放式的问题是指问题的条件开放，或者结论开放，或者解题的方法、过程开放（即学生可以自己组织知识、自己选择解题的方法），注重过程和方法的研究，实现教学内容的开放。
引发学生的发散思维，引导学生自己去探索，培养学生的创新思维。
问题要有探究空间，解决问题中所体现数学思维方法的方法要典型。
（5）问题要有针对性。
问题情境应根据教学内容，抓住基本概念、基本原理，紧扣教材的中心及重点、难点提出问题。
问题要设计在学生的“最近发展区”，难度适当。
问题太容易，学生没有兴趣；问题太难，脱离学生实际，学生面对问题一筹莫展，只能挫伤学生的学习积极性。
（6）问题要有层次性和系统性。
要按照教材知识的结构和学生认知发展的规律，把有一定难度的问题分解成几个互相联系的小问题，由浅入深，步步深入，环环相扣，设置问题链，把学生的思维逐步引向深入。
例如在教学“复数”的引入时，先让学生求解问题：
已知x+1/x=1,求的值。
学生感到很容易。
=--2=1--2=--1
做得很快，可又感到迷惑不解：
>0,怎么可能会等于负数呢？
这是怎么回事？
学生“疑中生奇”这时教师可指出：
“这是因为x+1/x=1无实根导致的，同学们学习了复数以后就会理解了，那么复数到底是怎样的一种数呢？
”揭示课题，引入新课，此时学生思维和注意力均已调节到积极状态，为学习新知识奠定了心理基础。
再如“等比数列前n项和的公式”的教学，可通过讲述古印度国王舍罕王下棋重赏
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