(1)若方程为x2-2x=0,写出该方程的衍生点M的坐标;
(2)若关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+2m=0(m<0)的衍生点为M,过点M向x轴和y轴作垂线,两条垂线与坐标轴恰好围城一个正方形,求m的值;
(3)是否存在b,c,使得不论k(k≠0)为何值,关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx-2(k-2)的图像上,若有请直接写出b,c的值,若没有说明理由.
2.已知抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G,H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
3.已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于C点,∠ACB不小于90°.
(1)求点C的坐标(用含a的代数式表示);
(2)求系数a的取值范围;
(3)设E(-
),当∠ACB=90°,在线段AC上是否存在点F,使得直线EF将△ABC的面积平分?
若存在,求出点F的坐标
;若不存在,说明理由.
4.在平面直角坐标系xoy中,抛物线
与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(-2,0).
(1)求B点坐标;
(2)直线
经过点B;
①求直线和抛物线的解析式;
②点P在抛物线上,过点P作y轴的垂线l,垂足为D(0,d).将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象G.请结合图象回答:
当图象G与直线
只有两个公共点时,d的取值范围是.
5.已知抛物线y=x2+(2m-1)x-2m(
),直线l的解析式为y=(k-1)x+2m-k+2。
(1)若抛物线与y轴交点的纵坐标为-3,试求抛物线的顶点坐标;
(2)试证明:
抛物线与直线l必有两个交点;
(3)若抛物线经过点(x0,-4),且对于任意实数x,不等式x2+(2m-1)x-2m≥-4都成立;当k-2≤x≤k时,批物线的最小值为2k+1。
求直线l的解析式.
6.(2019•台州)已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(﹣2,4).
(1)求b,c满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;
(3)若该函数的图象不经过第三象限,当﹣5≤x≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.
7.(2019•天门)在平面直角坐标系中,已知抛物线C:
y=ax2+2x﹣1(a≠0)和直线l:
y=kx+b,点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)均在直线l上.
(1)若抛物线C与直线l有交点,求a的取值范围;
(2)当a=﹣1,二次函数y=ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为﹣4,求m的值;
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,请直接写出a的取值范围.
8.(2019•大连)把函数C1:
y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)的图象绕点P(m,0)旋转180°,得到新函数C2的图象,我们称C2是C1关于点P的相关函数.C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为(t,0).
(1)填空:
t的值为 (用含m的代数式表示)
(2)若a=﹣1,当
≤x≤t时,函数C1的最大值为y1,最小值为y2,且y1﹣y2=1,求C2的解析式;
(3)当m=0时,C2的图象与x轴相交于A,B两点(点A在点B的右侧).与y轴相交于点D.把线段AD原点O逆时针旋转90°,得到它的对应线段A′D′,若线A′D′与C2的图象有公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
9.(2019•贵阳)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线x=1对称,点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15°,求线段CP的长度;
(3)当a≤x≤a+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值.
10.(2019•天津)已知抛物线y=x2﹣bx+c(b,c为常数,b>0)经过点A(﹣1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动点.
(Ⅰ)当b=2时,求抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)点D(b,yD)在抛物线上,当AM=AD,m=5时,求b的值;
(Ⅲ)点Q(b+
,yQ)在抛物线上,当
AM+2QM的最小值为
时,求b的值.