一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题含问题详解.docx
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一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题含问题详解
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
知识梳理
1．简单的逻辑联结词
（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
（2）命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
（1）全称量词：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．
（2）存在量词：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p（x）
∃x0∈M，¬p（x0）
∃x0∈M，p（x0）
∀x∈M，¬p（x）
诊断自测
1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）
精彩PPT展示
（1）命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．（×）
（2）若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．（√）
（3）已知命题p：
∃n0∈N,2n0＞1000，则¬p：
∃n0∈N，2n0≤1000.（×）
（4）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”．（×）
2．（2014·重庆卷）已知命题p：
对任意x∈R，总有|x|≥0；
q：
x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧¬qB．¬p∧q
C．¬p∧¬qD．p∧q
解析 由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，故¬q为真命题，所以p∧¬q为真命题．
答案 A
3．（2014·湖南卷）设命题p：
∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为（ ）
A．∃x0∈R，x
＋1＞0B．∃x0∈R，x
＋1≤0
C．∃x0∈R，x
＋1＜0D．∀x∈R，x2＋1≤0
解析 “∀x∈R，x2＋1＞0”的否定为“∃x0∈R，x
＋1≤0”，故选B.
答案 B
4．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知
得－8≤a＜0.综上，－8≤a≤0.
答案 [－8,0]
5．（人教A选修1－1P26A3改编）给出下列命题：
①∀x∈N，x3＞x2；
②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
③∃x0∈R，x
－x0＋1≤0；
④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
则以上命题的否定中，真命题的序号为________．
答案 ①②③
考点一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断
【例1】
（1）（2014·辽宁卷）设a，b，c是非零向量．已知命题p：
若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：
若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（ ）
A．p∨qB．p∧q
C．（¬p）∧（¬q）D．p∨（¬q）
（2）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A．（¬p）∨（¬q）B．p∨（¬q）
C．（¬p）∧（¬q）D．p∨q
解析
（1）由于a，b，c都是非零向量，
∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴¬p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则¬q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，（¬p）∧（¬q），p∨（¬q）都是假命题．
（2）命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：
“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.
答案
（1）A
（2）A
规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．
【训练1】
（1）若命题p：
函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），命题q：
函数y＝x－
的单调递增区间是[1，＋∞），则（ ）
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题
C．¬p是真命题D．¬q是真命题
（2）“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件．
深度思考 常常借助集合的“并、交、补”的意义来理解由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题，你清楚吗？
解析
（1）因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），所以p是真命题；
因为函数y＝x－
的单调递增区间（－∞，0）和（0，＋∞），所以q是假命题．
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p为假命题，¬q为真命题，故选D.
（2）若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题．
若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件．
答案
（1）D
（2）必要不充分
考点二 全（特）称命题的否定及其真假判定
【例2】
（1）（2014·安徽卷）命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，|x|＋x2＜0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0
C．∃x0∈R，|x0|＋x
＜0D．∃x0∈R，|x0|＋x
≥0
（2）（2014·沈阳质量监测）下列命题中，真命题的是（ ）
A．∀x∈R，x2＞0B．∀x∈R，－1＜sinx＜1
C．∃x0∈R,2x0＜0D．∃x0∈R，tanx0＝2
解析
（1）全称命题的否定是特称命题，即命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x
＜0”．故选C.
（2）∀x∈R，x2≥0，故A错；∀x∈R，－1≤sinx≤1，故B错；∀x∈R,2x＞0，故C错，故选D.
答案
（1）C
（2）D
规律方法
（1）对全（特）称命题进行否定的方法有：
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定．
（2）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立．
【训练2】命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（ ）
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
解析 “存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.
答案 C
考点三 与逻辑联结词、全（特）称命题有关的参数问题
【例3】已知p：
∃x∈R，mx2＋1≤0，q：
∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，＋∞）B．（－∞，－2]
C．（－∞，－2]∪[2，＋∞）D．[－2,2]
解析 依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得
即m≥2.
答案 A
规律方法 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可．
【训练3】已知命题p：
“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：
“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.
答案 [e,4]
微型专题 利用逻辑关系判断命题真假
2014年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题，这也是今后高考命题的新趋向，大家应加以重视，解决问题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑关系进行转化．
【例4
（1）（2014·新课标全国Ⅰ卷）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：
我没去过C城市；
丙说：
我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
（2）对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：
甲：
中国非第一名，也非第二名；
乙：
中国非第一名，而是第三名；
丙：
中国非第三名，而是第一名．
竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．
点拨 找出符合命题的形式，根据逻辑分析去判断真假．
解析
（1）由题意可推断：
甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.
（2）由上可知：
甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．
答案
（1）A
（2）一
点评 在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.
[思想方法]
1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字眼，要结合语句的含义理解．
2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：
p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与¬p→真假相反．
3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．
[易错防范]
1．命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．
2．命题的否定包括：
（1）对“若p，则q”形式命题的否定；
（2）对含有逻辑联结词命题的否定；（3）对全称命题和特称命题的否定，要特别注意下表中常见词语的否定.
词语
词语的否定
等于
不等于
大于
不大于（或小于等于）
小于
不小于（或大于等于）
是
不是
一定是
不一定是
都是
不都是（至少有一个不是）
必有一个
一个也没有
任意的
某一个
且
或
或
且
至多有一个
至少有两个
基础巩固题组
（建议用时：
30分钟）
一、选择题
1．（2014·湖北卷）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（ ）
A．∀x∉R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝x
C．∃x∉R，x2≠xD．∃x∈R，x2＝x
解析 原命题的否定为“∃x∈R，x2＝x”．
答案 D
2．（2014·天津卷）已知命题p：
∀x＞0，总有（x＋1）ex＞1，则¬p为（ ）
A．∃x0≤0，使得（x0＋1）ex0≤1
B．∃x0＞0，使得（x0＋1）ex0≤1
C．∀x＞0，总有（x＋1）ex≤1
D．∀x≤0，总有（x＋1）ex≤1
解析 命题p为全称命题，所以¬p：
∃x0＞0，使得（x0＋1）ex0≤1.
答案 B
3．（2015·海淀区模拟）已知命题p：
∃x∈R，x2＋x－1＜0，则¬p为（ ）
A．∃x∈R，x2＋x－1＞0B．∀x∈R，x2＋x－1≥0
C．∃x∉R，x2＋x－1≥0D．∀x∉R，x2＋x－1＞0
解析 含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即¬p：
∀x∈R，x2＋x－1≥0.
答案 B
4．已知命题p：
所有有理数都是实数；命题q：
正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．¬p∨qB．p∧q
C．¬p∧¬qD．¬p∨¬q
解析 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上面叙述中只有¬p∨¬q为真命题．
答案 D
5．（2014·湖北七市（州）联考）已知命题p：
∃x∈R，cosx＝
；命题q：
∀x∈R，x2－x＋1＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题（¬p）∧（¬q）是真命题
D．命题（¬p）∨（¬q）是真命题
解析 易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确．
答案 D
6．下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝
C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0
解析 当x＝1时，lgx＝0，故命题“∃x0∈R，lgx0＝0”是真命题；当x＝
时，tanx＝
，故命题“∃x0∈R，tanx0＝
”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“∀x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对∀x∈R,2x＞0，故命题“∀x∈R,2x＞0”是真命题．
答案 C
7．设命题p：
函数y＝sin2x的最小正周期为
；命题q：
函数y＝cosx的图象关于直线x＝
对称．则下列判断正确的是（ ）
A．p为真B．¬q为假
C．p∧q为假D．p∨q为真
解析 p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
答案 C
8．（2015·武汉调研测试）已知命题p：
∃φ∈R，使f（x）＝sin（x＋φ）为偶函数；命题q：
∀x∈R，cos2x＋4sinx－3＜0，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧qB．（¬p）∨q
C．p∨（¬q）D．（¬p）∧（¬q）
解析 利用排除法求解．∃φ＝
，使f（x）＝sin（x＋φ）＝sin
＝cosx是偶函数，所以p是真命题，¬p是假命题；∃x＝
，使cos2x＋4sinx－3＝－1＋4－3＝0，所以q是假命题，¬q是真命题．所以p∧q，（¬p）∨q，（¬p）∧（¬q）都是假命题，排除A，B，D，p∨（¬q）是真命题，故选C.
答案 C
二、填空题
9．（2014·合肥质量检测）命题p：
∀x≥0，都有x3－1≥0，则¬p是________．
答案 ∃x0≥0，有x
－1＜0.
10．命题“∃x0∈
，tanx0＞sinx0”的否定是________．
答案 ∀x∈
，tanx≤sinx
11．若命题p：
关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－
}，命题q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）＜0的解集是{x|a＜x＜b}，则在命题“p∧q”、“p∨q”、“¬p”、“¬q”中，是真命题的有________．
解析 依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“¬p”为真、“¬q”为真．
答案 ¬p、¬q
12．下列结论：
①若命题p：
∃x∈R，tanx＝1；命题q：
∀x∈R，x2－x＋1＞0.则命题“p∧¬q”是假命题；
②已知直线l1：
ax＋3y－1＝0，l2：
x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是
＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：
若“x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．
解析 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p∧¬q为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
能力提升题组
（建议用时：
15分钟）
13．（2014·衡水中学调研）给定命题p：
函数y＝ln[（1－x）（1＋x）]为偶函数；命题q：
函数y＝
为偶函数．下列说法正确的是（ ）
A．p∨q是假命题B．（¬p）∧q是假命题
C．p∧q是真命题D．（¬p）∨q是真命题
解析 对于命题p：
令y＝f（x）＝ln[（1－x）（1＋x）]，由（1－x）（1＋x）＞0，得－1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（－1,1），关于原点对称，又∵f（－x）＝ln[（1＋x）（1－x）]＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，∴命题p为真命题；对于命题q：
令y＝f（x）＝
，函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（－x）＝
＝
＝
＝－f（x），
∴函数f（x）为奇函数，∴命题q为假命题，∴（¬p）∧q是假命题，故选B.
答案 B
14．（2014·湖南五市十校联考）下列命题中是假命题的是（ ）
A．∃α，β∈R，使sin（α＋β）＝sinα＋sinβ
B．∀φ∈R，函数f（x）＝sin（2x＋φ）都不是偶函数
C．∃m∈R，使f（x）＝（m－1）·xm2－4m＋3是幂函数，且在（0，＋∞）上单调递减
D．∀a＞0，函数f（x）＝ln2x＋lnx－a有零点
解析 对于A，当α＝0时，sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立；对于B，当φ＝
时，f（x）＝sin（2x＋φ）＝cos2x为偶函数；对于C，当m＝2时，f（x）＝（m－1）·xm2－4m＋3＝x－1＝
，满足条件；对于D，令lnx＝t，∀a＞0，对于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4（－a）＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.
答案 B
15．（2014·北京海淀区测试）若命题“∃x0∈R，使得x
＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是________．
解析 由已知得“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×（2m－3）＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是2≤m≤6.
答案 [2,6]
16．已知命题p：
“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是__________．
解析 若¬p是假命题，则p是真命题，
即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，
由于m＝－（4x－2·2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，
∴m≤1.
答案 （－∞，1]
17．已知c＞0，设命题p：
函数y＝cx为减函数．命题q：
当x∈
时，函数f（x）＝x＋
＞
恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围是________．
解析 由命题p为真知，0＜c＜1，
由命题q为真知，2≤x＋
≤
，
要使此式恒成立，需
＜2，即c＞
，
若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则p，q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是0＜c≤
；
当p假q真时，c的取值范围是c≥1.
综上可知，c的取值范围是
∪[1，＋∞）．
答案
∪[1，＋∞）
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