窄带高斯随机过程的产生.docx
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窄带高斯随机过程的产生
本科实验报告
实验名称：
窄带高斯随机过程的产生
、实验目的
熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。
、实验内容
本实验模拟产生一段时长为5ms的窄带高频随机过程X（t）的样本函数。
根据窄带随机过程的理论，X（t）可表示为
X（t）Ac（t）cos2f0tAs（t）cos2f0t
其中，Ac（t）和As（t）均为低频的高斯随机过程，因此，要模拟产生X（t），首先要产生两
个相互独立的高斯随机过程Ac（t）和As（t），然后用两个正交载波cos2π0ft和sin2π0tf进行调制，如图所示。
谱密度的3dB带宽。
在3.7节中介绍了有色高斯随机过程的产生，请按照频域法或时域滤波器法分别产生时长5ms的低通过程Ac（t）和As（t），然后按图所示合成X（t），其中f0=1000/π，要求分别画出模拟产生的Ac（t）、As（t）、X（t）的波形。
三、实验原理
一）、有色高斯随机过程的模拟——频域法
首先将X（t）进行周期延拓，得到一个周期信号，再对周期信号进行傅里叶级数展开，即
X（t）Xke（f0）
kTd
由于傅里叶级数是Xk的线性组合，所以，如果Xk是零均值的高斯随机变量，那么X（t）也是零均值高斯过程，如果{Xk}是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱，即
222
GX~（f）gk2（fkf0）（gk2E（|Xk|2））
Xk
通过选择gk就可以得到期望的功率谱。
假定Gx（f）是带限的，即
Gx（f）0（|f|>B）
222222
那么，{gk}只有有限项，即{gM,gM1,...,g0,...,gM1,gM}，其中M=[B/f0]，[·]表示取整，与此对应的傅里叶级数系数{Xk}也是2M+1项。
因此，只需产生2M+1个相互正交的零均值高斯随机变量{XM,XM1,...,X0,...,XM1,XM}，其方差E（|Xk|）gk，并在1式中将时间限定为（0,Td）就可以得到模拟过程X（t）。
gk2应与Gx（kf0）成比例，即gk2Gx（kf0），
系数β的选择满足下式：
BMMM
-BGX（f）dfE[|Xk|2]gk2GX（kf0）
-B
kMkMkM
即
B
-BGX（f）df
M
GX（kf0）
kM
总结如下：
1.根据所需过程的时长Td确定频率f0，并确定傅里叶级数系数的长度M=[B/f0]；
B
-BGX（f）df
2.根据-BM确定β；
GX（kf0）
kM
3.产生2M+1个独立的高斯随机变量，即
4.构建时域样本函数
M
X[i]X（it）Xkej2f0k（it）
kM
其中t为任意小的时间间隔。
二）、有色高斯随机过程的模拟——时域滤波法
功率谱为1的白噪声通过线性系统，输出的是服从高斯分布的，且输出的功率谱为
图2：
时域滤波法产生有色高斯噪声的示意图
三）、窄带随机过程的产生
X（t）Ac（t）cos2f0tAs（t）sin2f0t用相同估计方法产生两次窄带高斯序列，分别为Ac（t）和As（t）,再带入上式与载波相乘并
作变换，就得到了窄带随机过程。
四、实验过程及结果
一）、有色高斯随机过程的模拟——频域法
1.
因为Td=5ms,则f0=200Hz；由功率谱密度可知f1KHz是功率谱密度的3dB带宽，严
有M=30。
2.计算系数β：
B
2218.4199.99
11.0925
-BGX（f）df
M
GX（kf0）
kM
3.产生2M+1个独立的高斯随机变量，即
构建时域样本函数
X[i]X（it）Xkej2f0k（it）
kM
其中t为任意小的时间间隔，这里取t0.00001。
（二）、窄带随机过程的产生
用同样的方法产生两个独立的高斯随机信号As（t）和Ac（t），再用载波进行调制，即
可得到最终信号。
五、实验结论及分析
1.有色高斯随机过程的模拟——频域法
图3：
模拟产生的具有给定功率谱的高斯随机过程
2.有色高斯随机过程的模拟——时域滤波法
图4：
时域滤波法产生有色高斯噪声
3.窄带随机过程的产生
按图3、4所示方法产生Ac（t）和As（t），并进行载波调制，产生窄带高斯随机过程：
图5：
窄带高斯随机过程
六、心得体会
1．本实验锻炼了我的MATLAB编程能力，学到了随机信号模拟的基本函数；
2．本实验让我对有色高斯噪声有了更深入的认识，学会了模拟产生具有特定频率谱的高斯
随机过程；
3．了解了频域法和时域滤波法的原理和思想；
4．锻炼了实践能力和自学能力。
七、代码附录
%窄带随机过程的产生
clc;clear;
%设置参数
fc=1000/pi;
%信号的载波频率
dt=0.00001;
%采样间隔
Td=0.005;
%信号时长
df=1000;
%3dB带宽
B=6*df;
fo=1/Td;
%中心频率点
M=floor（B*Td）;
%傅里叶级数系数长度
m=[-M:
M];
I=sqrt（-1）;
%虚数i
x=0:
0.01:
10;
psd=1./（1+x.^4）;%功率谱密度的函数表达式
symsfreal
power=vpa（int（1/（1+（f/1000）^4）,-6000,6000）,5）;%功率绝对大小
s=1./（1+（（m*fo）/df）.^4）;%以fo为单位，s即为各个离散点处功率谱密度函数的值
beta=power/sum（s）;%系数β
s=beta*s;%s=∑Gx（kfo），而所需的，故beta*s即为所要的功率谱密度
%原功率谱密度函数图-8000Hz-8000Hzf=[-8:
0.01:
8]*df;
psd0=1./（1+（f/df）.^4）;
%作图显示
subplot211;
stem（m*fo,s/fo,'b'）;%点线图，横轴为频率，以fo为单位值，纵轴为功率谱相对值holdon;
plot（f,psd0,'r'）;%连续的功率谱密度
axis（[-8*df8*df01.2]）;
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'功率谱'）;
%生成时域信号对应的傅立叶变换
z0=randn
（1）;z0=z0*sqrt（s（M+1））;zplus=sqrt（s（M+2:
2*M+1）/2）.*（randn（1,M）+I*randn（1,M））;
zminus=conj（fliplr（zplus））;
z=[zminusz0zplus];
%做反傅立叶变换，求出时域信号，即窄带随机过程频域法高斯有色信号X（t）Ac（t）
t=0:
dt:
Td;%时长5ms
X=zeros（1,length（t））;
form=-M:
M
X=X+z（m+M+1）*exp（I*2*pi*m*fo*t）;
end;
holdon;
subplot212;
plot（t*1000,real（X）,
'b'）;
xlabel（'时间（ms）'）;
w0=sqrt
（2）*pi*df;
h=-2*w0*exp（-w0*t）.*cos（w0*t）;
Y=conv（W,h）;
As=T*Y（1:
n）;
%生成时域信号对应的傅立叶变换
z0=randn
（1）;z0=z0*sqrt（s（M+1））;zplus=sqrt（s（M+2:
2*M+1）/2）.*（randn（1,M）+I*randn（1,M））;
zminus=conj（fliplr（zplus））;
z=[zminusz0zplus];
%做反傅立叶变换，求出时域信号，即窄带随机过程频域法高斯有色信号X（t）Ac（t）
t=0:
dt:
Td;%时长5ms
As=zeros（1,length（t））;
form=-M:
M
As=As+z（m+M+1）*exp（I*2*pi*m*fo*t）;
end;
figure
subplot211
plot（t,As）
xlabel（'时间（s）'）;
ylabel（'Z（t）'）;
%合成信号X（t）
t=0:
dt:
Td;
X=X.*cos（2*pi*fc*t*1000）-As.*sin（2*pi*fc*t*1000）;figure;
subplot211;plot（t*1000,real（X）,'b'）;
xlabel（'时间（ms）'）;
%定义图名
ylabel（'X（t）'）;
title（'\fontsize{18}\sl合成信号X（t）'）;
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