多人相遇和追及问题.docx
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多人相遇和追及问题
目t皿归教学目标
1.能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用
2.根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图
3.能将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题。
知识精讲
二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕路程二速度L_”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题
相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化•由此还可以得到如下两条关系式：
路程和=速度和相遇__;
路程差=速度差追及__;
多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可
迎刃而解.
板块一、多人从两端出发一一相遇、追及
【例1】（难度级别探※）有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米.现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又
与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米？
【解析】甲、丙6分钟相遇的路程：
100756=1050（米）;
甲、乙相遇的时间为：
1050-：
-80-75]=210（分钟）；
东、西两村之间的距离为：
10080210=37800（米）.
【巩固】一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地
同向出发，经过多少分钟两人相遇？
【解析】400（450-250）口2（分钟）.
【例2】（难度级别※※^（2009年四中入学测试题）在公路上，汽车A、B、C分别以80km/h,70km/h，50km/h的速度匀速行驶，若汽车A从甲站开往乙站的同时，汽车B、C从乙站开
往甲站，并且在途中，汽车A在与汽车B相遇后的两小时又与汽车C相遇，求甲、乙两站相距
多少km？
【解析】汽车A在与汽车B相遇时，汽车A与汽车C的距离为：
（8050）2=260千米，此时汽车B与汽车C的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了260-（70—50）=13小时，那么甲、乙两站的距离为：
（8070）13=1950千米.
【巩固】（难度等级探※）甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A
地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙•求A,B两地的距离.
【解析】甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：
（60+40）X15=
1500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500-（50-40）=150（分），即从出发到甲与乙
相遇一共经过了150分钟，所以A、B之间的距离为：
（60+50）X150=16500（米）.
【巩固】（难度级别探※）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走
75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与
甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
【解析】那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）疋=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程
差所以乙丙相遇时间=270-（67.5-60）=36分钟，所以路程=36X（67.5+75）=5130米。
【巩固】（难度级别探※）小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两
人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，
在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：
小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？
【解析】画一张示意图：
王张李
I111
甲B*乙
图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5
分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离：
5
4.810.8-1.3（千米），这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是
60
（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是：
1.3-（5.4-4.8）00=130（分钟）.这
也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.
因此小李从A到甲地需要：
130吃=65（分钟）•从乙地到甲地需要的时间是：
130+65=195（分钟）=
3小时15分•小李从乙地到甲地需要3小时15分•
【巩固】（难度级别探※）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70
米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲
相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
【解析】那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）X1=130米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程
差所以乙丙相遇时间=130-（65-60）=26分钟，所以路程=26X（65+70）=3510米。
【巩固】（难度级别探※）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70
米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲
相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
【解析】那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）X2=260米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程
差所以乙丙相遇时间=260-（60-50）=26分钟，所以路程=26X（60+70）=3380米。
【巩固】（难度级别探※）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走80米，乙每分钟走90米，丙每分钟走100
米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过5分钟与甲
相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
【解析】那5分钟是甲和丙相遇，所以距离是（90+100）X5=950米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路
程差。
所以乙丙相遇时间=950-（90-80）=95分钟，所以路程=95X（90+100）=18050米。
【巩固】（难度级别探※※※※）小王的步行速度是5千米/小时，小张的步行速度是6千米/小时，他
们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出
发，在小张与小李相遇后30分钟，小王又与小李相遇.问：
小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？
1
【解析】30分钟是小王和小李相遇，所以距离是（5+10）-=7.5千米，这距离是小王和小李相遇时间里小
2
张和小王的路程差。
所以小李和小张相遇时间=7.5（6-5）=7.5小时，所以路程=7.5X（6+10）=120
千米。
120^10=12（小时）
【巩固】甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟480、540、720米，甲、乙、丙3人同时动身，
甲、乙二人从A地出发，向B地行时，丙从B地出发向A地行进，丙首先在途中与乙相遇，3
分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间？
【解析】方法一：
乙与丙相遇时，乙比甲多行的距离可供丙、甲相向而行行3分钟的时间，这段距离为
4807203=3600（米），3600"540-480[=60（分），A、B之间的距离为
72054060=75600（米），行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下:
甲75600--480=157.5（分）
乙75600--540=140（分）
丙75600"720=105（分）
方法二：
丙与乙相遇时，各行了Q4807203540—480=60（分），速度与时间成反比，所
以，丙行完全程需要
540
720
105矿仮5（分）
丙与乙相遇时，乙比甲多行了720480
3360米）；丙比甲多行了
720—480
360014400
540—480
（米），所以A地与
B地之间的距离为
480540-4802360014400=75600（米）
行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下:
甲75600」480=157.5（分）
乙75600^540=140（分）
丙75600720=105（分）
【巩固】甲乙丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针
方向行走。
已知甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，1小时后甲、丙二人相遇，又过了10
分钟，丙与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？
【解析】方法一：
出发1小时后甲、丙相遇，这时甲领先乙
7-51=2千米；10分钟后丙、乙相遇，相
105
向而行共行了2千米，其中乙行了5—=-千米，
606
577汉60
丙行了2——二—千米，丙每小时行7
6660心0
6060720=105（分）；乙行完全程需要
千米，所以甲、丙相遇时，丙行了71=7千米。
方法二：
丙1小时10分钟（与乙相遇）行的距离与
1小时（与甲相遇）行的距离之差恰好等于
70一:
一70_1
甲1小时行的距离之差，所以丙的速度等于…-5!
060'
二7千米/小时，丙与甲相遇
时，丙行了71=7千米。
【例3】（难度等级探※※）甲、乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时，它们同时从A地
出发到B地去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车。
求这辆卡车的速度。
【解析】甲乙两车最初的过程类似追及，速度差x追及时间=路程差；路程差为72千米；72千米就是1小时的甲车和卡车的路程和，速度和X相遇时间=路程和，得到速度和为72千米/时，所以卡车
速度为72-40=32千米/时。
【巩固】甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米.甲从东村，乙、
丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后3分钟又与丙相遇•求东西两村的距离.
【解析】先画示意图如下：
乙（80米/分）甲（100米/分）
甲、丙相遇甲、乙相遇
西匚11东
►-M—3分钟—>1
丙（75米/分）
甲、乙相遇后3分钟，甲、丙相遇.甲、丙在3分钟内共走路程是（10075）3=525（米）.显然，
这就是甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，乙比丙每分钟多走80-75^5（米）•所以，甲、乙相
遇时离出发的时间是525（80-75）=105（分钟）.两村间的距离是：
（10080）（10075）3（80-75）］二18105=18900（米）
【巩固】（难度等级※※※［甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为
60千米/时和48千米/时。
有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8时先后
与甲、乙、丙三辆车相遇。
求丙车的速度。
【解析】甲车每小时比乙车快60-48=12（千米）•则5小时后，甲比乙多走的路程为12£=60（千米）•也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5=1小
时后相遇，所以，可求出卡车的速度为60"1-48=12（千米/小时），卡车在与甲相遇后，再走
8-±=3（小时）才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8
小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程•由此，丙的速度也可求得，应为：
（605-12千米/小时）.
【例4】（难度等级探※※）李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。
半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。
又过了1.5小时，张明从学校
骑车去营地报到。
结果三人同时在途中某地相遇。
问骑车人每小时行驶多少千米？
【解析】老师出发时，李华已经走了40.5=2（千米）。
接下来相遇所需要的时间为
20.4_2丁p■41.2^=2（小时）。
相遇地点与学校的距离用李华的速度和时间进行计算：
40.52=10（千米）。
所以张明要用2一1.5=0.5小时感到距离学校10千米处，张明的速度为
10“0.5=20（千米/时）
【例5】（难度级别探※※）甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，丙每分钟走60米，甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发追赶乙。
此后甲、乙在途中相遇，
过了7分钟甲又和丙相遇，又过了63分钟丙才追上乙，那么A、B两地相距多少米？
【解析】根据题意可知，（40+60）X7=700（米）,700-（63+7）=10（米/分），乙的速度为50米/分，
（15X50-700）-0=5（分）,（40+50）X（15+5）=1800（米）
【例6】（难度级别探※※※）一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一
条小路上，一位工人也正向北步行。
14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。
14时16
分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。
问：
工人与学生将在何时相遇？
【解析】工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米，学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3千米,
14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟14时16分+24分=14时40分
【巩固】（难度级别探※※）铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行
人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通
过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？
【解析】行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。
火车的车身长度既等
于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。
如果设火车的速度为x米/秒,
那么火车的车身长度可表示为（x-1）X22或（x-3）X26，由此不难列出方程。
法一：
设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x-1）X22=（x-3）X26。
解得x=14。
所以火车的车身长为：
（14-1）X22=286（米）。
法二：
直接设火车的车长是X,那么等量关系就在于火车的速度上。
可得：
x/26+3=x/22+1
这样直接也可以x=286米
法三：
既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。
两次的追及时间比是：
22：
26=11:
13,所以可得：
（V车一1）:
（V车一3）=13：
11,
可得V车=14米/秒，所以火车的车长是（14-1）X22=286（米）
答：
这列火车的车身总长为286米。
【例7】（难度等级※※※※［甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发，相向而行，丙与
甲同时从A出发，在甲、乙二人之间来回跑步（遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回）•已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210
米，那么乙每分钟走米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距米.
【解析】如图所示：
ADECB
丨IIII
甲乙
丙
假设乙、丙在C处相遇，然后丙返回，并在D处与甲相遇，此时乙则从走C处到E处•根据题意可知DE=210米.由于丙的速度是甲的速度的6倍,那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的
6倍，也就是从A到C再到D的长度是AD的6倍，那么CD=（6AD-AD）“2=2.5AD,
55
AC=3.5AD，可见CDAC.那么丙从C到D所用的时间是从A到C所用时间的-，那么这
77
段时间内乙、丙所走的路程之和（CD加CE）是前一段时间内乙、丙所走的路程之和（AC加BC,
55
即全程）的，所以CDCE=490350，而CD-CE=DE=210，可得CD=280,CE=70.
77
相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的280^70=4倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙
的速度为240^4=60（米/分），即乙每分钟走60米.
当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离
2103
改变了，变为原来的210，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么
4907
33
当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的-，为210-=90米.
77
【例8】（难度等级探※※※）（2008年三帆中学考题）甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时
针方向走，乙与丙按逆时针方向走•甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45
秒第二次遇到乙•已知甲、乙的速度比是3:
2，湖的周长是600米，求丙的速度.
【解析】甲第一次遇见乙后ll分钟遇到丙，再过3-分第二次遇到乙，所以甲、乙经过1丄.3^=5分钟的
4444
f2、
时间合走了一圈，甲、乙的速度和为600亠5=120米/分，甲的速度为12^1->72米/分.甲、
I3丿
111
乙合走一圈需要5分钟，而甲第一次遇见乙后11分钟遇到丙，所以甲、丙合走一圈需要5・1丄=6丄
444
1
分钟，甲、丙的速度和为600-：
-696米/分，从而丙的速度为96-72=24米/分.
4
【巩固】（难度等级※※※［甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每
小时5.4千米，乙速度是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过5分钟，乙与丙相遇。
那么绕湖一周的行程是多少？
【解析】30分钟乙落后甲（5.4-4.2）吃=0.6（千米），有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟，因为乙
和丙从出发到相遇共用35分钟，所以绕湖一周的行程为：
35^5X0.6=4.2（千米）。
【巩固】（明心奥数挑战赛）池塘周围有一条道路.A、B、C三人从同一地点同时出发.A和B往逆时针
方向走，C往顺时针方向走.A以每分钟80米、B以每分钟65米的速度行走.C在出发后的
20分钟遇到A，再过2分钟，遇到B.请问，池塘的周长是几米？
【解析】换个角度去思考这个问题，假设用一把剪刀将道路剪开，并将弧形的道路拉成直的，这样此题就
转化成了相遇问题.如图,
80A
65B
行了20分钟后，A与C相遇，此时A、B、C都行了20分钟，而B落后A（80-65）20=300（米）,也就是此时，B与C相距300米.题目又告诉我们过2分钟B与C相遇，这说明这2分钟B与C一共行了300米，所以C的速度为300亠2_65=85（米/分）•池塘周长为：
85208020=3300（米）•
【巩固】（难度级别探※※※）甲从A地出发前往B地，1小时后，乙、丙两人同时从B地出发前往A
地，结果甲和丙相遇在C地，甲和乙相遇在D地.已知甲和乙的速度相同，丙的速度是乙的1.5倍,A、B两地之间的距离是220千米，C、D两地之间的距离是20千米.求丙的速度.
【解析】假设乙走了单位“1；'得
丙走了1.5；即丙与乙的路程差为1.5-1=0.5,
因为实际的路程差为20>2=40（千米）
所以乙走了80千米，即甲后来走了80千米，
丙走了120千米，
220-80-120=20（千米）
所以甲的速度是20（千米/小时）丙的速度=20>.5=30（千米/小时）
【例9】（难度级别探※※※）（2009年迎春杯复赛高年级组）一条路上有东、西两镇.一天，甲、乙、
丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20
千米，当乙与丙相遇时，甲距他们
30千米.
当甲到达西镇时，丙距东镇还有
20千米，那么当
丙到达东镇时，乙距西镇
千米.
丙*
—
甲
1II1
11
一乙
1
AFC
ED
B
【解析】如图，甲、乙两人从B地出发，丙从A地出发，甲、丙相遇在C处，此时乙到达D处，C、D相距20千米；三人继续前进，当丙和乙在E处相遇时，甲到达F处，E、F相距30千米.
当甲、丙相遇时，甲、丙两人合走了一个全程，且此时甲比乙多走了20千米；
当丙和乙分别从C、D出发走到E处相遇时，丙和乙合走了20千米，丙和甲合走了30千米，甲
比乙多走了10千米.
由于10:
20=1:
2，可见丙和甲合走的30千米就是全程的一半，那么全程为60千米.
当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，所以甲、丙的速度之比为60:
60-20;=3:
2，那么两
23
人相遇时丙走了60—24千米，甲走了60—36千米，乙走了36-20=16千米，丙和
2+32+3
f2、
乙的速度比为24:
16=3:
2，那么当丙到达东镇时，乙距西镇60120千米.
I3.丿
【巩固】（难度级别探※※※）（仁华学校期末考试四年级试题）甲、乙、丙、丁4人在河中先后从同
一个地方同速同向游泳，现在甲距起点78米，乙距起点27米，丙距起点23米，丁距起点16米•那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳米时，甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁3
人距起点的距离之和.
【解析】现在乙、丙、丁3人距起点的距离总和是27•2376=66（米），甲目前比它们的距离之和要多
2723•16=66（米）•此后甲每向前游1米，乙、丙、丁3人也都同时向前游了1米，那么甲距起点的距离与那3人的距离总和之差就要减少2米•要使这个差为0,甲应向前游了
12“2=6（米）.
【例10】（难度级别探※※※）A、B两地相距336千米，有甲、乙、丙3人，甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，已知甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，丙每小时行24千米，问
几个小时后，丙正好处于甲、乙之间的中点？
【解析】甲、丙相遇时，丙行的时间为336"3624=5.6（小时），甲乙之间距离为36-305.6=33.6
（千米），当丙处在甲、乙之间的中点时，甲、丙相遇后，甲、丙又行的距离之和一定等于33.6千
56
米减去乙、丙又行的距离之和，丙又行的时间为33.6-：
-（36302424）（小时），因此，
19
当丙处在甲、乙之间的中点时，丙共行了5.6=5^（小时）
1919
【巩固】（难度级别探※※※）AB两地相距432千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从A地，丙从B地
同时出发相向而行，已知甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，丙每小时行24千米，问几
个小时之后，乙正好在甲、丙两人的中点？
【解
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