行程问题相遇追及多次相遇电车.docx

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行程问题相遇追及多次相遇电车

相遇追及（多次）、电车问题

一、

知识地图

简单相遇追及

匀速直线行程多次相遇追及

（包括火车过桥）

发车间隔问题

多次相遇追及环形线路行程

（包括钟表问题）

二、基础知识

在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。

同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。

（一）典型的相遇和追及

所有行程问题是围绕“

”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：

；

这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。

（二）多次相遇追及

通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律

这部分内容涉及以下几个方面：

1求相遇次数

2求相遇地点

3由相遇地点求全程

“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。

举个例子：

假设A、B两地相距6000米，甲从A地出发在AB间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B出发，在AB间往返运动，速度为4千米/小时。

我们可以依次求出甲、乙每次到达A点或B点的时间。

为了说明甲、乙在AB间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。

折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：

例如AD表示的是，甲从A地出发运动到B地的过程，其中D点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B点的时间为1小时，BF表示乙从B地出发到达A地的过程，F点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A地的时间为1.5小时，AD与BF相交于C点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G点对应是甲、乙的第二次相遇事件。

折线图只能直观的表示出相遇的次数和大致时间和地点，具体的时间和地点还必须通过相遇和追及问题的公式进行计算。

通过计算，我们能得出：

甲、乙第一次相遇的时间为6÷（6+4）=0.6（小时），即36分钟。

相遇点距离B地0.6×4=2.4（千米），从第一次相遇到第二次相遇，甲、乙行程的路程总和等于两个AB长，所以两次相遇的时间间隔为72分钟。

第二次相遇发生的时间为108分钟。

事实上，我们从折线示意图就能看出来，任意两次相邻的相遇事件的时间间隔都是72分钟，而每72分钟，甲乙两人运动的总路程都等于2个AB长，所以我们能得到如下推论：

如果甲、乙是从线段两端出发，那么相邻的两次相遇事件的时间间隔都相等，并且第n次相遇时，他俩行走路程和相当于（2n-1）个线段总长。

同样的相邻两次的追及事件（速度快的追上速度慢的）发生的时间间隔都相等。

第n次追及时，他俩行走路程差相当于（2n-1）个线段总长。

注意：

如果甲、乙在线段的端点碰面，既可以算作相遇事件也可以算作追及事件，例如例子当中的E点，既是甲、乙的第三次相遇，也是甲第一次从后面追上乙。

（三）发车间隔问题

有关公共汽车与行人的问题，主要涉及到这几个量：

行人速度、汽车速度、前后相邻汽车间距、汽车发车时间间隔、相遇（追及）事件时间间隔。

这些貌似不相关的数量之间隐含着很多数量关系：

1.我们首先分析一下公共汽车的发车过程：

从一辆汽车发车到下一辆汽车发车，经过一个“汽车发车时间间隔”，所以当下一辆车发车的时候，前一辆车已经开走了“一个汽车发车时间间隔”的时间，这个时间内前一辆车共行驶了“一个汽车发车时间间隔”乘以“汽车速度”，之后两辆车之间的距离保持不变，即距离保持为“相邻汽车间距”，所以我们得到第一条公式：

2.与公共汽车发车过程类似的，如果行人和汽车相向（反向）行驶，那么从行人遇到第一辆车到遇到第二辆车的过程可以看作一个相遇问题，所以有如下数量关系：

同样的如果行人和汽车同向行驶，则有关系式：

三、经典透析

【例1】甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙。

求A，B两地的距离。

[审题要点]从已知条件中唯一的时间量入手，明确甲、乙、丙之间的距离变化关系，逐步求解。

[详解过程]

甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：

（60＋40）×15＝1500（米），

而乙丙之间拉开这么大的距离一共要

1500÷（50-40）=150（分），

即从三人出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，

所以A、B之间的距离为：

（60+50）×150＝16500（米）。

[点评]此题实质上有着三个行程基本问题：

两个相遇问题：

甲和乙相遇，甲和丙相遇；一个追及问题：

丙和乙的追及问题。

而且这三个问题之间有着相互的联系，甲和丙的相遇路程就是丙和乙的追及路程，丙和乙的追及时间就是甲和乙的相遇时间。

利用这些关系层层推进即可解出答案。

【例2】甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。

已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙车的速度是多少？

[审题要点]摩托车在各时间点行驶的位置是甲、乙、丙三车行驶距离的度量，所以本题的关键是求出摩托车的速度。

[详解过程]

甲与丙行驶7分钟的距离差为：

（1000－800）×7＝1400（米），

也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米，丙用了

14-7=7（分）

追上了这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：

1400÷（14－7）＝200（米／分），

骑摩托车人的速度为：

800－200＝600（米／分），

三辆车与骑摩托车人的初始距离为：

（1000－600）×7＝2800（米），

乙车追上这2800米一共用了8分钟，所以乙车的速度为：

2800÷8＋600＝950（米／分）。

[点评]从整体考虑，7分钟的时候摩托车与甲车在同一位置即7×1000=7000（米），14分钟的时候摩托车与丙车在同一位置即14×800=11200（米），所以所以摩托车在7-14分这7分钟内一共行驶了11200-7000=4200（米），所以摩托车的速度为4200÷7=600（米/秒），摩托车在8分钟时的位置为7000+600=7600（米），所以乙车的速度为7600÷8=950（米/分），这种解法比较类似于牛吃草问题。

【例3】铁路旁一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：

军人与农民何时相遇？

[审题要点]涉及火车的行程问题中，火车的长度当然不能忽略，解题关键是找出15秒（12秒）内，火车行驶和人步行与火车车长之间的数量关系。

[详解过程]

分析：

火车速度为30×1000÷60=500（米/分）。

要求军人与农民的速度必须先知道知道军人和农民的速度。

由题目条件，从军人被火车头追上到车尾离他而去，一共有15秒，这十五秒可以看作车尾追及军人的时间，所以根据追及公式，火车速度减去军人速度等于

110÷（15÷60）=440（米/分），

所以军人的速度为

500-440==60（米/分），

即60米/分，同样的我们还可以求出农民的速度：

110÷（12÷60）-500=50（米/分），

即50米/分，8点06火车与农民相遇，所以8点时火车头与农民的距离为：

（500+50）×6=3300（米），

这么长一段路，军人与农民相遇需要

3300÷（60+50）=30（分）。

此时的时间为8点30分。

[点评]1、此题中有着三个基本问题。

火车追及军人，火车农民相遇，军人和农民相遇，找到三者之间的关系就是解决题目的关键。

2、解决行程问题的关键是三步：

a：

正确画出示意图；

b：

把复杂的行程问题分解为每一个基本的相遇或追及问题；

c：

找到这些相遇或追及问题之间的数量关系，包括路程关系，时间关系与速度关系。

【例4】一辆卡车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后都立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇。

A、B两地之间的距离是多少千米？

[审题要点]结合两次相遇的时间规律，找出两个相遇点位置和A、B两地距离的关系。

[详解过程]

根据题目中所给的条件，可以画出整个行程过程的线段示意图：

由示意图看出卡车从A地出发后行驶了60千米时与摩托车相遇，此时卡车和摩托车共同行驶的路程和相当于一个AB距离。

而卡车和摩托车第二次相遇的时候，卡车和摩托车共同行驶的路程和相当于三个AB距离。

所以如果卡车、摩托车从出发到第一次相遇时所用时间为t的话，那么卡车、摩托车从出发到第二次相遇时所用时间为3t，因此第二次相遇时卡车行驶的距离为：

60×3=180（千米）。

这180千米等于AB的全程再加上B地到第二个相遇点的距离30千米，所以AB的距离为：

180-30=150（千米）。

[点评]本题是甘肃省第十四届小学生数学冬令营原题，类似的题目在很多杯赛中出现过。

题目中使用了比例的知识，题目并没有直接求出卡车和摩托车的速度和时间，但使用了两次的比例转换：

首先是利用总路程的三倍关系得出时间的三倍关系，然后利用时间的三倍关系得出卡车的路程三倍关系。

【例5】如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。

甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。

如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？

[审题要点]当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长。

[详解过程]

当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（300米）需

300÷（90－70）＝15（分），

此时甲走了

90×15÷300＝4.5（条）边，

所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。

但是甲只要再走0.5条边就可以看到乙了，即甲从出发走5条边后可看到乙，共需

（分），

即16分40秒。

[点评]解决此类相遇问题或追及问题时，一般是先利用一般的基本问题公式求出答案，但是此时要加入一个判断的过程，不符合要求就在此基础上往后推或往前推，直至得出符合要求的答案。

如果题目要求从甲第一次看到乙到乙从甲视线中消失一共经历多少分钟，应该怎么做呢？

分析：

只要甲没有超过乙，乙只要转过一个拐角，甲就看不到乙了，甲第一次看到乙是

分，乙走了

条边，乙再走

条边，甲便看不到乙了（这里最好检验一下甲到底走到了哪里），所以甲看到乙的时间一共只有

（分）。

【例6】两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米。

甲、乙两车同时分别从相距90米的A、B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点。

此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？

[审题要点]分析各个时间段，甲乙两人的行程。

图中C表示甲、乙第一次相遇地点。

因为乙从B到C和从C又返回B时所花的时间相等，而整个过程中甲恰好转一圈回到A，所以甲、乙在C点第一次相遇时，甲刚好走了半圈。

[详解过程]C点距B点

180－90＝90（米）。

而甲从A到C用了

180÷20＝9（分），

所以乙每分行驶

90÷9＝10（米）。

甲、乙第二次相遇，即分别同时从A，B出发相向而行相遇还需要

90÷（20＋10）＝3（分钟）。

[点评]此题的关键是找出题目中的相等关系，先由乙来回的路程一样得出时间一样，那么甲两段路程的时间也一样，所以路程也一样，然后也可以直接利用路程的比例关系得出甲乙的速度比为2：

1，求出乙的速度为10。

【例7】A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。

每天上午8点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。

已知从A站到B站单程需105分，从B站到A站单程需80分。

问：

（1）8：

30、9：

00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车？

（2）从A站发车的司机最少能看到几辆从B站开来的汽车？

[审题要点]分析各辆车的出发和到达时间，判断两辆车是否相遇，找出各辆车遇到的车辆的出发时间。

[详解过程]

（1）从A站发车的司机看到的车辆包括两类：

一类是他自己发车以前，已经从B站出发但还没到达A站的所有车辆，也就是发车前80分钟内B站所发的所有车辆。

另一类是他发车以后到他抵达B站这段时间内从B站发出的所有车辆，即发车后105分钟内从B站开出的所有车辆。

这就是说在A站车辆出发前80分钟到出发后105分钟之间这185分钟时间区间内，B站发出的所有车辆，该司机都能看到。

实际上这185分钟中，只有发车前60分、发车前30分、发车当时、发车后30分、发车后60分、发车后90分，有车辆从B站开出，所以8：

30从A站发车的司机能看到8：

00到10：

00从B站发出的5辆车，而9：

00从A站发车的司机能看到8：

00到10：

30从B站发出的6辆车。

（2）11点以后不再有车辆从B站发出，11点发车的司机不可能看到他发车后105分钟内从B站开出的车，所以他只能看到3辆车。

[点评]运用“折线示意图”能更好地说明整个行程过程。

从“8：

30”引出的线段与其他线段一共有5个端点，所以8：

30从A站发出的车一共遇到5辆从B站发出的车，同样的9：

00从A站发出的车一共遇到6辆从B站发出的车，11：

00从A站发出的车一共遇到3辆从B站发出的车。

【例8】某人以匀速行走在一条公路上，公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车。

他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过。

问公共汽车每隔多少分钟发车一辆？

[审题要点]列出所有涉及到的数量关系，找出发车时间与公共汽车相遇追及间隔时间的关系。

[详解过程]设两车之间相距S，根据公式得

，

那么

，

解得

，

所以发车间隔

（分）

[点评]此题中方程有两个未知数，最后解出的是两个速度的倍数关系，由于无法求出速度的具体数值，所以可以将其中一个设为“1”，这样可以简化方程，方便求解。

事实上只要不能求出具体数值而只要得出比例关系时都可以将其中一个看作“1”，从而简化计算。

例如：

另解一：

根据每15分钟有一辆公共汽车追上他，那么1分钟汽车追上间隔的

，即汽车与人的速度差为

；同理根据每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过，那么1分钟汽车和人共行间隔的

，即汽车与人的速度和为

，最后根据和差问题求出汽车1分钟行间隔的几分之几，

，进而求出发车间隔时间，1÷

=12（分）。

此种解题思路实质上是转化为工程问题来解决，工程问题和行程问题在一定程度上是一样的问题，所用方法也很相似，同学可以自己体会。

另解二：

反正发车时间和间隔是相等的，这样我们可以假设人先过去，这样每15分钟后面有一辆车追上他，再马上回来时，正好是每10分钟前面有一辆车和他迎面相遇，所以我们假设两地之间走要[15，10]=30分钟，这样过去的时间里有30÷15=2辆车追上他，同理回来的30÷10=3辆车和他迎面相遇，这样在这30+30=60分钟里，总共有2+3=5辆车发出，所以发车间隔为60÷5=12分钟。

【例9】小峰骑自行车去小宝家聚会的路上注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，于是只好坐出租车去小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，那么如果这三种车辆在行驶过程中都保持匀速，那么公交车站每隔多少分钟发一辆车？

[审题要点]列出问题所涉及的所有数量关系，求出各种交通工具的速度比。

[详解过程]题目条件涉及到的数量涉及到的数量关系有：

汽车间距=（公交速度-骑车速度）×9分钟；

汽车间距=（出租车速度-公交速度）×9分钟；

所以，公交速度-骑车速度=出租车速度-公交速度；

将上面这条等式变形得到：

公交速度=（骑车速度+出租车速度）÷2=3×骑车速度。

那么：

所以公交车站每隔6分钟发一辆公交车。

四、拓展训练：

1.甲、乙、丙三人在学校到体育场的路上练习竞走，甲每分比乙多走10米，比丙多走31米。

上午9点三人同时从学校出发，上午10点甲到达体育场后立即返回学校，在距体育场310米处遇到乙。

问：

（1）从学校到体育场的距离是多少？

（2）甲与丙何时相遇（精确到秒）？

2.（2007年希望杯）两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。

甲、乙同时出发10分后，两人与十字路口的距离相等，出发后100分，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距十字路口多少米？

3.（2007年第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛）李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒。

已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米，问货车行驶的速度是多少？

4.A、B两地相距1000米，甲从

地、乙从

地同时出发，在

、

两地间往返锻炼。

乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米。

在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇（含追及）时距B地最近？