有理数知识点与练习题.docx

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有理数知识点与练习题

第2章有理数及其运算

第一讲正数、负、0

【引入】

欧洲人的盲目：

古代印度人创造了阿拉伯数字后.大约到了公元7世纪的时候.这些数字传到了阿拉伯地区.来.这些数字又从阿拉伯地区传到了欧洲.欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯地区传入的.所以便把这些数字叫做阿拉伯数字.以后.这些数字又从欧洲传到世界各国. 

刘徽的先见与德

摩根的固执：

1、1831年英国数学家德

摩根认为负数是“虚构”的，他还特意举了一个“特例”来说明他的观点：

“父亲56岁，他儿子29岁，问什么时候父亲的岁数将是儿子的两倍？

”，通过列方程解得x=―2，他认为这个结果是荒唐的，他不懂得x=―2正是说明两年前父亲的岁数将是儿子的两倍。

2、你看过电视或听过广播中的天气预报吗？

中国地形图上的温度阅读。

（可让学生模拟预报）请大家来当小小气象员，记录温度计所示的气温25ºC，10ºC，零下10ºC，零下30ºC。

为书写方便，将测量气温写成25，10，―10，―30。

3、最早的负教定义三国时期著名数学家刘徽在负数概念的建立上贡献最大.刘徽第一次给出了正负数的定义,他说:

“今两算得失相反,要令正负以名之意思就是说,在计算过程中遇到具有相反意义的量,要用正数和负数来区分它们。

【讲解】

1．相反意义的量：

在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）：

例1：

汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。

例2：

温度是零上10℃和零下5℃。

例3：

收入500元和支出237元。

例4：

水位升高1.2米和下降0.7米。

例5：

买进100辆自行车和买出20辆自行车。

试着让学生考虑这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点？

（具有相反意义。

向东和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、买进和卖出都具有相反意义）

2．正数和负数：

①能用我们已经学的来很好的表示这些相反意义的量吗？

例如，零上5℃用5来表示，零下5℃呢？

也用5来表示，行吗？

说明：

在天气预报图中，零下5℃是用―5℃来表示的。

一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学的数（零除外）前面放一个“－”（读作“负”）号来表示。

拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃则用―5℃来表示。

②怎样表示具有相反意义的量？

能否从天气预报出现的标记中，得到一些启发呢？

在例1中，我们如果规定向东为正，那么向西为负。

汽车向东行驶3千米记作3千米，向西2千米应记作―2千米。

在以上的讨论中，出现了哪些新数？

为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了―5，―2，―237，―0.7等数。

像这样的一些新数，叫做负数（negativenumber）。

过去学过的那些数（零除外），如10，3，500，1.2等，叫做正数（positivenumber）。

正数前面有时也可放一个“+”（读作“正”），如5可以写成+5。

注意：

零既不是正数，也不是负数。

【跟踪练习】

1、下列用正数和负数表示的相反意义的量，其中正确的是（）．

A、一天凌晨的气温是－4℃，中午比凌晨上升了4℃，所以中午的气温是＋4℃

B、如果＋8.5m表示比海平面高8.5m，那么－19.2m表示比海平面低－19.2m

C、如果收入增加180元记作＋180元，那么－100元表示支出减少100元

D、售一件服装盈利20元记作＋20元，那么－30元表示亏本30元

2、下列各数：

3，－5，0，

，

，－0.3，6.75中，正数的个数共有（）．

A、1个B、2个C、3个D、4个

3、下列说法正确的是（）

A、零是正数不是负数B、零既不是正数也不是负数

C、零既是正数也是负数D、不是正数的一定是负数，不是负数的一定是正数

【中考链接】

1、（2011•岳阳）负数的引入是数学发展史上的一大飞跃，使数的家族得到了扩张，为人们认识世界提供了更多的工具．最早使用负数的国家是（  ）  

A、中国  B、印度  C、英国  D、法国

2、（2010哈尔滨）某年哈尔滨市一月份的平均气温为－18℃，三月份的平均气温为2℃，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高（）（A）16℃（B）20℃（C）一16℃（D）一20℃

3.一个有理数的平方一定是（   ） 

A、负数        B、正数     C、非负数     D、非正数

【总结】

1、正数和负数表示的是一对相反意义的量，哪种意义为正是可以任意规定的。

如果把一种意义规定为正，则相反意义的量规定为负。

常将“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负,。

2、用正负表示具有相反意义的量,必须是同类量,如果有单位的,不要漏带单位.

3、正数在书写时,前面的“+”号可省略不写，负数前面的“—”号不能省略。

4、对于非0的数字来说，前面只带有一个负号即为负数，但对于字母来说不一定。

第二讲有理数的概念及其分类

【引入】

日本人的无知：

有理数在希腊文中称为λογος，原意是“成比例的数”。

英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rationalnumber，直译成汉语即是“可比数”。

对应地，无理数则为“不可比数”。

但并非中文翻译不恰当。

有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国传入日本时，出现了错误。

明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。

他们将这个词（“λογος”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。

日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。

日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。

后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。

当有理数从日本传回中国时又延续错误。

清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法

可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。

【讲解】

1．数的扩充：

数1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整数、负整数和零统称为整数；数

，

，8

，+5.6，…叫做正分数；―

，―

，―3.5，…叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。

2.区分“正”与“整”；小数,百分数可化为分数。

3．有理数的分类

①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按数的“正”、“负”分，即得如下分类表：

②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按数的“整”、“分”分，即得如下分类表：

注：

①“0”也是自然数。

②“0”的特殊性。

【跟踪练习】

1.下列说法正确的是（）

A．一个有理数不是整数就是分数B．正整数和负整数统称整数

C．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数D．0不是有理数

2.下列四种说法中正确的是：

（）

A.不是正数的数一定是负数

B．所有的整数都是正数

C．－a一定是负数

D．0既不是正数，也不是负数

3.下列说法中不正确的是（）

A．-3.14既是负数，分数，也是有理数

B．0既不是正数，也不是负数，但是整数

C．-2000既是负数，也是整数，但不是有理数

D．O是非正数

4.把下列各数填入相应的集合中：

正数集合{…}；负数集合{…}；

整数集合{…}；分数集合{…}；

5.把下列各数镇在相应的集合中：

－7，3.5，－3.1415926，

，0，

，10，－5％，

自然数集合：

｛…｝非正整数集合：

｛…｝

负分数集合：

｛…｝非负数集合；｛…｝

【中考链接】

1、将下列各数分别填入相应的大括号里：

-3.5，3.14，-2，+43，

，0.618，

，0，-0.202

正数：

个；整数：

个；负分数：

个；正整数：

个；非正整数：

个；非负整数：

个；

【总结】

根据不同的分类标准对有理数进行分类。

通过具体的数的分类练习培养正确分类能力，在确定分类标准时应防止出现“重”、“漏”的错误，即要求每一个数必须属于某一类，又不能同时属于不同的两类。

要正确判断一个数属于哪一类，首先要弄清分类的标准。

要特别注意“0”不是正数，但是整数。

在数学里，“正”和“整”不能通用，是有区别的，“正”是相对于“负”来说的，“整”是相对于分数而言的。

第三讲数轴

【引入】

笛卡尔的勤奋：

有一天,笛卡尔（1596—1650,法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床,但他头脑一直没有休息,在反复思考一个问题：

几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,能不能用几何图形来表示方程呢?

这里,关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩.他就拼命琢磨.通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来.突然,他看见屋顶角上的一只蜘蛛,拉着丝垂了下来,一会儿,蜘蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”,使笛卡尔思路豁然开朗.他想,可以把蜘蛛看做一个点,它在屋子里可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢?

他又想,屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线,如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的三条线作为三根数轴,那么空间中任意一点的位置,不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗?

反过来,任意给一组三个有顺序的数,例如3、2、1,也可以用空间中的一个点P来表示它们.同样,用一组数（a,b）表示平面上的一个点,平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示.于是在蜘蛛的启示下,笛卡尔创建了直角坐标系. 

【讲解】

1.数轴的画法：

第一步：

画一条直线（通常是水平的直线），在这条直线上任取一点O，叫做原点，用这点表示数0；（相当于温度计上的0℃。

）

第二步：

规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向，用箭头表示出来）。

相反的方向就是负方向；（相当于温度计0℃以上为正，0℃以下为负。

）

第三步：

适当地选取一条线段的长度作为单位长度，也就是在0的右面取一点表示1，0与1之间的长就是单位长度。

（相当于温度计上1℃占1小格的长度。

）

在数轴上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，这些点依次表示1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，它们依次表示–1，–2，–3，…。

2.数轴的定义：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要人为规定的。

注：

直线也不一定是水平的；正方向也不一定向右。

3.用数轴比较有理数的大小：

在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以在比较很多数的大小关系时，可以先把它们在数轴上表示出来，然后比较。

正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。

【跟踪练习】

1、王老师在阅卷时，发现有一位同学画的数轴如下图所示，请你指出他的

错误原因是（）

2、数轴上的原点右边的点表示　　　　　　　，原点左边的点表示　　　　　　，原点表示　　　　，离原点3个单位长度的点有　　　　　　　　　。

【中考链接】

1、（2010•安徽）冬季某天我国三个城市的最高气温分别是-10℃，1℃，-7℃，把它们从高到低排列正确的是（）

A．-10℃，-7℃，1℃;B．-7℃，-10℃，1℃

C．1℃，-7℃，-10℃;D．1℃，-10℃，-7℃

2、（2010•广西）比较大小:

-1_______-2．

3、（2010内蒙古）比较大小:

-_______-．

4、（2010•南宁）比较-3与2的大小．

5、（2010年金华）如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（   ） 

A．a＜1＜－a  B．a＜－a＜1   C．1＜－a＜a     D．－a＜a＜1

6、（莱芜）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（）

A.Ab>0B.a-b>0C．a+b>0D．

>0

【总结】

1、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但反过来并不是数轴上的所有点都表示有理数；

2、画数轴时，原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取，注意不要漏画正方向、不要漏画原点，单位长度一定要统一，数轴上数的排列顺序（尤其是负数）要正确。

3.比较有理数大小法则是：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

根据法则先在同一个数轴上表示出同一组数的位置，然后用“＜”号连接，这种方法比较直观，但画图表示数较麻烦。

另一种方法是利用数轴上数的位置得出比较大小规律，即正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，则比较更方便些。

第四讲绝对值

【引入】

被迫不务正业的数学家：

德国数学家魏尔斯特拉斯的父亲威廉·魏尔斯特拉斯是受法国雇佣的海关职员，威廉在家里十分严厉而且专断。

14岁卡尔进附近帕德博恩城的一所天主教预科学校学习，在那里学习德语、拉丁语、希腊语和数学。

中学毕业时成绩优秀，共获7项奖，其中包括数学，但不容卡尔有半句分辩，他的父亲却把他送到波恩大学去学习法律和商业，希望他将来在普鲁士民政部当一名文官。

魏尔斯特拉斯对商业和法律都毫无兴趣。

在波恩大学他把相当一部分时间花在自学他所喜欢的数学上，攻读了包括拉普拉斯的《天体力学》在内的一些名著。

他在波恩的另一部分时间则花在了击剑上。

魏尔斯特拉斯体魄魁伟，击剑时出手准确，加上旋风般的速度，很快就成为波恩人心目中的击剑明星。

这样在波恩大学度过四年之后，魏尔斯特拉斯回到家里，没有得到他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得到。

这使他父亲勃然大怒，呵斥他是一个“从躯壳到灵魂都患病的人”。

这时多亏他家的一位朋友建议，魏尔斯特拉斯被送到明斯特去准备教师资格考试。

【讲解】

1．几何定义：

在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

记作|a|。

这里的a可以是正数、负数和0。

例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。

同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。

代数定义：

（1）一个正数的绝对值是它本身；

（2）0的绝对值是0；

（3）一个负数的绝对值是它的相反数。

即：

。

2．绝对值的性质：

（1）任何一个数的绝对值都是非负数，（绝对值的非负性）。

（2）互为相反数的两个数的绝对值相等，反之，若两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数

（3）若几个绝对值的和等于0，则这几个绝对值都应为0

【跟踪练习】

（1）绝对值是

的数有几个？

各是什么？

（2）绝对值是0的数有几个？

各是什么？

（3）有没有绝对值是-2的数？

（4）求绝对值小于4的所有整数。

（5）说说

的意义以及满足这个式子的数

的条件；

【中考链接】

1．（2014年山东烟台）﹣3的绝对值等于（　　）

A．﹣3　　　　B．3　　　　　　C．±3　　　　　　D．

2．（2014年云南省，第1题3分）|﹣

|=（　　）

　A．﹣

B．

C．﹣7D．7

3．（2014•舟山，第1题3分）﹣3的绝对值是（　　）

A.-3B.3C.

D.

4.（2014•株洲，第1题，3分）下列各数中，绝对值最大的数是（　　）

A.-3B.-2C.0D.1

【总结】

1．对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑，从几何方面看，一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性；从代数方面看，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

2．求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数。

第五讲有理数的加法

【引入】

《九章算术》的丰功伟绩：

《九章算术》其作者已不可考。

一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。

最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。

在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。

关于正、负数的加减运算法则，“正负术曰：

同名相益，异名相除，正无入负之，负无入正之。

其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。

这里所说的“同名”、“异名”分别相当于所说的同号、异号。

“相益”、“相除”是指二数相加、相减。

【讲解】

知识点一：

有理数加法法则

1、一位同学沿着一条东西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?

规定向东为正，向西为负。

（1）若两次都是向东走，很明显，一共向东走了50米，写成算式就是：

（+20）+（+30）=+50，

即这位同学位于原来位置的东方50米处。

这一运算在数轴上表示如图：

（2）若两次都是向西走，则他现在位于原来位置的西方50米处，

写成算式就是：

（―20）+（―30）=―50。

（3）若第一次向东走20米，第二次向西走30米，我们先在数轴上表示如图：

写成算式是（+20）+（―30）=―10，即这位同学位于原来位置的西方10米处。

（4）若第一次向西走20米，第二次向东走30米，写成算式是：

（―20）+（+30）=（）。

即这位同学位于原来位置的（）方（）米处。

后两种情形中两个加数符号不同（通常可称异号），所得和的符号似乎不能确定，让我们再试几次（下式中的加数不仿仍可看作运动的方向和路程）：

你能发现和与两个加数的符号和绝对值之间有什么关系吗?

（+4）+（―3）=（）；（+3）+（―10）=（）；

（―5）+（+7）=（）；（―6）+2=（）。

再看两种特殊情形：

（5）第一次向西走了30米，第二次向东走了30米.写成算式是：

（―30）+（+30）=（）。

（6）第一次向西走了30米，第二次没走.写成算式是：

（―30）+0=（）。

我们不难得出它们的结果。

2．概括：

综合以上情形，我们得到有理数的加法法则：

（1）.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）.绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）.互为相反数的两个数相加得0；

（4）.一个数同0相加，仍得这个数.

注意：

一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同。

知识点二：

有理数的加法运算律

1．在小学里，我们曾经学过加法的交换律、结合律，这两个运算律在有理数加法运算中也是成立的吗？

*任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○内，并比较两个算式的运算结果。

□+○和○+□。

*任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□、○和◇内，并比较两个算式的运算结果。

（□+○）+◇和□+（○+◇）。

总结：

加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

即a+b=b+a

加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

即（a+b）+c=a+（b+c）

这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化。

2．例题：

例1：

计算：

（1）（+26）+（―18）+5+（―16）；

（2）

。

解

（1）原式=

（2）原式=

例2：

10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：

2，―4，2.5，3，―0.5，1.5，3，―1，0，―2.5。

求这10筐苹果的总重量。

解：

例3：

运用加法运算律计算下列各题：

（1）（+66）+（―12）+（+11.3）+（―7.4）+（+8.1）+（―2.5）

（2）（+3

）+（―2

）+（―3

）+（―1

）+（+5

）+（+5

）

（3）（+6

）+（+

）+（―6.25）+（+

）+（―

）+（―

）

分析：

利用运算律将正、负数分别结合，然后相加，可以使运算比较简便；有分数相加时，利用运算律把分母相同的分数结合起来，将带分数拆开，计算比较简便。

一定要注意不要遗漏括号；相加的若干个数中出现了相反数时，先将相反数结合起来抵消掉，或通过拆数、部分结合凑成相反数抵消掉，计算比较简便。

解：

（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

例4：

10袋小麦称重时以每袋90千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录数据如下：

+7，+5，–4，+6，+4，+3，–3，–2，+8，+1

请问总计是超过多千克还是不足多少千克？

这10袋小麦的总重量是多少？

【跟踪联系】

1.如果规定存款为正，取款为负，请根据李明同学的存取款情况填空：

①一月份先存入10元，后又存入30元，两次合计存人元，就是

（＋10）＋（＋30）=

②三月份先存人25元，后取出10元，两次合计存人元，就是

（＋25）＋（－10）＝

2、

【中考链接】

1.如果a+b=0，那么a+b两个数一定是（）

A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数

2.数轴上A、B两点所表示的有理数的和是

（第2题图）

3.如果

+2=0，那么“

”内应填的数是。

4计算-3+2的值是（）

A.-5B.-1C.1D.5

【总结】

应用有理数加法法则进行计算时，要同时注意确定“和”的符号，计算“和”的绝对值两件事。

三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置，简化运算。

常见技巧有：

（1）凑零凑整：

互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；

（2）同号集中：

按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；

（3）同分母结合：

把分母相同或容易通分的结合起来；

（4）带分数拆开：

计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。

注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。

第六讲有理数的减法

【引入】

《九章算术》的丰功伟绩

【讲解】

1、我们知道，已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。

例如计算（―8）―（―3）也就是求一个数?

使（?

）+（―3）=―8。

根据有理数加法运算，有（―5）+（―3）=―8，所以（―8）―（―3）=―5。

①减法运算的结果得到了。

试一试：

再做一个填空：

（―8）+（）=―5，容易得到（―8）+（+3）=―5。

②比较①、②两式，我们发现：

―8“减去―3”与“加上+3”结果是相等的。

②再试一次：

10―6=（4），10+（―6）=（4），得10―6=10+（―6）。

③概括：

上述两例启发我们可以将减法转换为加法来进行。

有理数减法法则:

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

如果用字母a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：

a–b=a+（―b）。

2．例题：

例1：

计算：

（1）（―32）―（+5）；

（2）7.3―（―6.8）；（3）（―2）―（―25）；（4）12―21.

解：

减号变加号减号变加号

（1）（―32）―（+5）=（―32）+（―5）=―37。

（2）7.3―（―6.8）=7