上海高中数学三角函数大题压轴题练习.docx
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上海高中数学三角函数大题压轴题练习
三角函数大题压轴题练习
1．已知函数f（x）cos（2x）2sin（x）sin（x）
344
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数
f（x）在区间[
]上的值域
12
2
解：
（1）
f（x）
cos（2x
）
2sin（x
4
）sin（x）
3
4
1cos2x
3sin2x
（sinx
cosx）（sinxcosx）
2
2
1cos2x
3sin2x
sin2x
cos2x
2
2
1cos2x
3sin2x
cos2x
2
2
sin（x2
）
2
6
∴周期T
2
k
由2x
k
（kZ）,得x
（kZ）
2
2
6
3
∴函数图象的对称轴方程为
x
k
（kZ）
3
（2）
x[
12
],
2x
6
[
5]
2
3
6
因为
f
（）
sin（2
x
）在区间
[
]
上单调递增，在区间
[
]
上单调
x
6
12
3
3
2
递减，
所以
当x
时，f（x）取最大值1
3
又
f（
）
3
f（
）
1，当x
时，f（x）取最小值
3
12
2
2
2
12
2
所以函数
f（x）在区间[
]上的值域为[
3,1]
12
2
2
2．已知函数f（x）
sin2
x
3sin
xsin
x
π（
0）的最小正周期为
π．
2
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数
f（x）在区间
2π
上的取值范围．
0，
3
解：
（Ⅰ）f（x）
1
cos2
x
3sin2
x
3sin2
x
1cos2x
1
2
2
2
2
2
sin
2x
π
1．
6
2
因为函数
f（x）
的最小正周期为
，且
0，
π
所以2π
π
1
．
2
，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f（x）sin
2x
π
1．
6
2
因为0
≤x≤
2π
3
，
π≤7π，
所以
π≤2x
6
6
6
所以
1≤sin2x
π≤1，
2
6
因此0
≤sin
2x
π1
≤
3
，即f（x）的取值范围为
3
6
2
2
0，．
2
3.已知向量m=（sinA,cosA）,n=（3,1），m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）cos2x
4cosAsinx（x
R）的值域.
解：
（Ⅰ）
由题意得mn
3sinA
cosA1,
2sin（A
）1,sin（A
）
1.
6
6
2
由A为锐角得
A
6
A
6
3
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA
1,
2
所以f（x）
cos2x
2sinx12sin2
x2sins
2（sinx
1）2
3.
2
2
因为x∈R，所以sinx
1,1，因此，当sinx
1
3
时，f（x）有最大值.
2
2
当sinx
1时，f（x）有最小值-3,所以所求函数
f（x）的值域是
3
3，
2
4.已知函数
f（x）
Asin（x
）（A
，00
π），x
R的最大值是
1，其图像经过点
π1
，
π
，且f（
）
3
，f（
）
12
，
M
，．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知
0，
5
13
3
2
2
求f（
）的值．
【解析】
（1）依题意有A1，则f（x）
sin（
x
）
，将点M（
1）代入得sin（
）
1
，
5
3
2
3
2
而0
，
，故f（x）
sin（x
）
cosx；
3
，
2
6
2
（2
）
依
题
意
有
cos
3,cos
12
，
而
（
0，,）
5
13
2
sin
1
（3）2
4,sin
1
（12）2
5
，
5
5
13
13
f（
）
cos（
）
cos
cos
sin
sin
3
12
4
5
56
。
5
13
5
13
65
5.已知函数f（t）
1
t
cosxf（sinx）
sinx
f（cosx）,x
（
17
1
g（x）
）.
t
12
（Ⅰ）将函数
g（x）化简成Asin（
x
）
B（A
0，
0，
[0,
2
））的形式；
（Ⅱ）求函数
g（x）的值域.
解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、
代数式的化简变形和运算能力
.（满分12
分）
解：
（Ⅰ）g（x）
cosx
1
sinx
1
cosx
1
sinx
sinx
cosx
1
（1
sinx）2
（1
cosx）2
cosx
cos2x
sinx
sin2x
1
sinx
1
cosx
cosx
sinx
.
cosx
sinx
x
17
cosx
cosx,sinx
sinx,
12
g（x）
cosx1
sinx
sinx1
cosx
cosx
sinx
sinx
cosx2
＝
2sinx
2.
4
（Ⅱ）由
＜x
17
5
＜x
5
.
，
12
得
4
3
4
sint在5
3
上为减函数，在
3
5
上为增函数，
4
2
2
3
又sin5
＜sin5,
sin3
sin（x
）＜sin5
（当x
17
），
3
4
2
4
4
2
即1sin（x
）＜
2，
2
2
2sin（x
）
2＜
3，
4
2
4
故g（x）的值域为
2
2,
3.
6．（本小题满分
12分）
在
ABC中，角A,B,C所对应的边分别为
a,b,c，a
23
，tanAB
tanC
4,
2
2
2sinBcosC
sinA，求A,B及b,c
解：
由
tanA
B
tanC
4
得cotC
tanC
4
2
2
2
2
C
sin
C
cos
2
1
∴
2
4
∴
4
sinC
cosC
sinCcosC
2
2
2
2
∴sinC
1，又C
（0,）
2
5
∴C
，或C
6
6
由2sinBcosC
sinA得2sinBcosB
sin（B
C）
即sin（B
C）
0
∴B
C
B
C
6
A
（B
2
C）
3
a
b
c
由正弦定理
sinB
得
sinA
sinC
sinB
1
2
3
2
2
bca
3
sinA
2
7.在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是
a,b,c.已知c
2,C.
3
⑴若△ABC的面积等于
3
求a,b;
⑵若sinCsin（B
A）
2sin2A,求△ABC的面积.
说明：
本小题主要考查三角形的边角关系，
三角函数公式等基础知识，
考查综合应用三角函
数有关知识的能力．满分
12分．
解析：
（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，
a2
b2
ab
4，
又因为△ABC的面积等于
3
，所以1
absinC3
，得
ab
4
．
·····分
2
4
a
2
b
2
ab
，
4
解得a
2，b
2．··········6分
联立方程组
ab
，
4
（Ⅱ）由题意得
sin（BA）
sin（B
A）
4sinAcosA，
即sinBcosA2sinAcosA，················8分
当cosA
0
时，A
，B
，a
4
3，b
2
3，
2
6
3
3
当cosA
0
时，得sinB
2sinA，由正弦定理得
b
2a，
a
2
b
2
ab
，
4
2
3，b
4
3．
联立方程组
，
解得a
3
3
b2a
所以△ABC的面积S
1absinC
2
3．············12分
2
3
1.已知函数f（x）
sin（x
6
）
sin（x
6
）
cosx
a（aR,a为常数）.
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f
（x）在[-
2
，
]上的最大值与最小值之和为
3，求实数a的值.
2
解：
（Ⅰ）∵
f（x）
2sinxcos
cosx
a
3sinxcosx
a
6
2sinxa
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
∴函数f（x）的最小正周期T2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
（Ⅱ）∵x
，∴
x
2
3
3
2
2
6
fminxf
3a⋯⋯9分
2
fmaxx
f
3
2
a
⋯⋯11分
由题意，有（
3
a）
（2
a）
3
∴a
31
⋯⋯12分
2.（本小题
12分）已知函数
f（x）
2acos2
x
bsinxcosx
3,且f（0）
3,f（
）
1.
2
2
4
2
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
f（0）
3
3
2
a
解：
（1）由
得
2
⋯⋯⋯⋯3分
1
f（
）
b
1
2
4
f（x）
3cos2x
sinxcosx
3
3
cos2x
1
sin2xsin（2x
）
⋯⋯6分
故最小正周期T
2
2
2
3
（2）由2k
2x
3
2k
（kZ）
2
2
得k
5
k
（k
Z）
x
12
12
故f（x）的单调增区间为[k
5
k
]（k
Z）⋯⋯⋯⋯12分
12
12
3．已知f（x）
4cos2x
43asinxcosx，将f（x）的图象按向量b
（
2）平移后，
4
图象关于直线
x对称．
12
（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．
解：
（Ⅰ）f（x）
23asin2x
2cos2x
2，将f（x）的图象按向量b（
2）平移后
4
的解析式为g（x）
f（x）2
2sin2x
23acos2x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
4
g（x）的图象关于直线
x
对称，
12
有g（0）
g（
），即23a
3
3a，解得a
1．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
6
则f（x）2
3sin2x
2cos2x
2
4sin（2x
）
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