上海市中考真题数学.docx
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上海市中考真题数学
2018年上海市中考真题数学
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分.下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）
1.
18
下列计算
-
2
的结果是（）
A.4
B.3
2
C.2
2
D.
解析：
先化简，再合并同类项即可求解.
18
2
2
2
-=3-2=2.
答案：
C
2.下列对一元二次方程x2+x-3=0根的情况的判断，正确的是（）A.有两个不相等实数根
B.有两个相等实数根C.有且只有一个实数根D.没有实数根
解析：
∵a=1，b=1，c=-3，
∴△=b2-4ac=12-4×
（1）×（-3）=13＞0，
∴方程x2+x-3=0有两个不相等的实数根.答案：
A
3.下列对二次函数y=x2-x的图象的描述，正确的是（）A.开口向下
B.对称轴是y轴C.经过原点
D.在对称轴右侧部分是下降的解析：
A、∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵-b
2a
=1，
2
∴抛物线的对称轴为直线x=1，选项B不正确；
2
C、当x=0时，y=x2-x=0，
∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=1，
2
∴当x＞1时，y随x值的增大而增大，选项D不正确.
2
答案：
C
4.据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：
27，30，
29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（）
A.25和30
B.25和29
C.28和30
D.28和29
解析：
根据中位数和众数的概念解答.
对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，处于最中间是数是28，
∴这组数据的中位数是28，
在这组数据中，29出现的次数最多，
∴这组数据的众数是29.答案：
D
5.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A.∠A=∠B
B.∠A=∠CC.AC=BDD.AB⊥BC
解析：
由矩形的判定方法即可得出答案.
A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确.答案：
B
6.如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）
A.5＜OB＜9B.4＜OB＜9C.3＜OB＜7D.2＜OB＜7
解析：
设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3-2=5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，
∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：
5＜OB＜9.答案：
A
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.-8的立方根是.
解析：
利用立方根的定义即可求解.
∵（-2）3=-8，
∴-8的立方根是-2.答案：
-2
8.计算：
（a+1）2-a2=.
解析：
原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果.原式=a2+2a+1-a2=2a+1.
答案：
2a+1
⎧x-y=0
9.方程组⎨2
⎩x
+y=2
的解是.
解析：
方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出
⎧⎪x-y=0①
y即可.⎨，
⎪⎩x2+y=2②
②+①得：
x2+x=2，解得：
x=-2或1，
把x=-2代入①得：
y=-2，把x=1代入①得：
y=1，
⎧x1=-2
所以原方程组的解为⎨
⎩y1=-2
⎧x2=1
，⎨.
⎩y2=1
⎧x1=-2
答案：
⎨
⎩y1=-2
⎧x2=1
，⎨
⎩y2=1
10.某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是元.（用含字母a的代数式表示）.
折扣
解析：
根据实际售价=原价×
10
答案：
0.8a
即可得.根据题意知售价为0.8a元.
11.已知反比例函数y=
围是.
k-1
x
（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范
解析：
∵反比例函数y=
∴k-1＜0，解得k＜1.答案：
k＜1
k-1
x
的图象有一支在第二象限，
12.某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频
数分布直方图如图所示，那么20-30元这个小组的组频率是.
解析：
根据“频率=频数÷总数”即可得.
20-30元这个小组的组频率是50÷200=0.25.答案：
0.25
3
13.从2，π，
3
7
这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为.
3
解析：
∵在2，π，
7
这三个数中，无理数有π，
这2个，
∴选出的这个数是无理数的概率为2.
3
答案：
2
3
14.如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而.（填“增大”或“减小”）
解析：
根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论.
∵一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），
∴0=k+3，
∴k=-3，
∴y的值随x的增大而减小.答案：
减小
15.如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点
uuurr
uuurr
uuurrr
F.设DA=a，DC=b那么向量DF用向量a、b表示为.
解析：
如图，连接BD，FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB.
∴△DCE∽△FBE.
又E是边BC的中点，
∴DE
=EC
=1，
EFEB1
∴EC=BE，即点E是DF的中点，
∴四边形DBFC是平行四边形，
∴DC=BF，故AF=2AB=2DC，
uuuruuuruuuruuuruuurrr
∴DF=DA+AF=DA+2DC=a+2b.
rr
答案：
a+2b
16.通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是度.
解析：
从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形.
所以该多边形的内角和是3×180°=540°.答案：
540
17.
如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是.
解析：
作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴1BC·AH=6，
2
∴AH=
2⨯6
4
=3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3-x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴GF=AM
，即x
=3-x
，解得x=12，
BCAH437
即正方形DEFG的边长为12.
7
答案：
12
7
18.对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高.如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置.
如果该菱形的高是宽的2，那么它的宽的值是.
3
解析：
在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，
设AF=x，则CF=2x，
3
在Rt△CBF中，CB=1，BF=x-1，由勾股定理得：
BC2=BF2+CF2，
12=（x-1）2+（2x）2，
3
解得：
x=18或0（舍），
13
即它的宽的值是18.
13
答案：
18
13
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
⎧2x+1＞x
19.
⎨
解不等式组：
⎪x+5
-x≥1
，并把解集在数轴上表示出来.
⎩⎪2
解析：
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集.
⎧2x+1＞x①
答案：
，
⎪
⎨x+5-x≥1②
⎩⎪2
解不等式①得：
x＞-1，解不等式②得：
x≤3，
则不等式组的解集是：
-1＜x≤3.
不等式组的解集在数轴上表示为：
20.先化简，再求值：
⎛2a-
1⎫÷
a+2
5
，其中a=.
ça2-1a+1⎪a2-a
⎝⎭
解析：
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得.
⎡
答案：
原式=⎢
2a-a-1
⎤a+2
⎥÷
=a+1
⎣（a+1）（a-1）（a+1）（a-1）⎦
a（a-1）
g
a（a-1）
（a+1）（a-1）
a+2
=a，
a+2
5
当a=时，
5
5+2
（
5+2）（5-2）
原式=
5（-2）
5
5
=5-2.
21.如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=3.
4
（1）求边AC的长.
解析：
（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可.答案：
（1）作A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=
AE=3，AB=5，
BE4
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC-BE=5-4=1，
32+12
10
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：
AC==.
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求AD的值.
DB
解析：
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求.
答案：
（2）如图，DF垂直平分BC，连接CD，
∴BD=CD，BF=CF=5，
2
∵tan∠DBF=DF=3，
BF4
∴DF=15，
8
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：
BD=
∴AD=5-25=15，
88
=25，
22
⎛5⎫+⎛15⎫
ç2⎪ç8⎪
⎝⎭⎝⎭
8
则AD=3.
BD5
22.
一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
（1）求y关于x的函数关系式.（不需要写定义域）
解析：
（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式.答案：
（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，
将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，
⎧150k+b=45
⎧1
k
⎨
=-
⎨
⎩b=60
，解得：
⎪
10，
⎪⎩b=60
∴该一次函数解析式为y=-1
10
x+60.
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶
了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
解析：
（2）根据一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，此题得解.
答案：
（2）当y=-1
10
解得x=520.
x+60=8时，
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升.
530-520=10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米.
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米.
23.已知：
如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F.
（1）求证：
EF=AE-BE.
解析：
（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论.
答案：
（1）证明：
如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△DAF中
⎧∠BEA=∠AFD
⎨
⎪∠1=∠2，
⎩
⎪AB=DA
∴△ABE≌△DAF，
∴BE=AF，
∴EF=AE-AF=AE-BE.
（2）联结BF，如课AF=DF
.求证：
EF=EP.
BFAD
解析：
（2）利用AF
=DF
和AF=BE得到BE
=BF
，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠
BFADDFAD
4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.答案：
（2）如图所示：
∵AF=DF，
BFAD
而AF=BE，
∴BE=DF，
BFAD
∴BE=BF，
DFAD
∴Rt△BEF∽Rt△DFA，
∴∠4=∠3，而∠1=∠3，
∴∠4=∠1，
∵∠5=∠1，
∴∠4=∠5，
即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，
∴EF=EP.
24.在平面直角坐标系xOy中（如图）.已知抛物线y=-1x2+bx+c经过点A（-1，0）和点
2
B（0，5），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向
2
旋转90°，点C落在抛物线上的点P处.
（1）求这条抛物线的表达式.
解析：
（1）利用待定系数法求抛物线解析式.
答案：
（1）把A（-1，0）和点B（0，5）代入y=-1x2+bx+c得
⎧-1-b+c
22
⎧b=2
⎨
⎨
⎪2，解得⎪5，
⎪c=5
⎪⎩c=2
⎩⎪2
∴抛物线解析式为y=-1x2+2x+5.
22
（2）求线段CD的长.
解析：
（2）利用配方法得到y=-1（x-2）2+9，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛
22
物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，9-t），根据旋转性质得∠PDC=90°，
2
DP=DC=t，则P（2+t，9-t），然后把P（2+t，9-t）代入y=-1x2+2x+5得到关于t的
2222
方程，从而解方程可得到CD的长.
答案：
（2）∵y=-1（x-2）2+9，
22
∴C（2，9），抛物线的对称轴为直线x=2，
2
如图所示：
设CD=t，则D（2，9-t），
2
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（2+t，9-t），
2
把P（2+t，9-t）代入y=-1x2+2x+5得-1（2+t）2+2（2+t）+5=9-t，
222222
12
整理得t2-2t=0，解得t=0（舍去），t=2，
∴线段CD的长为2.
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标.
解析：
（3）P点坐标为（4，9），D点坐标为（2，5），利用抛物线的平移规律确定E点坐标
22
为（2，-2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到1⎛+5+⎫
=8当m＜0
2gçm22⎪g2
时，利用梯形面积公式得到1⎛-m+5+⎫
⎝⎭
=8，然后分别解方程求出m即可得到对应
2gç22⎪g2
⎝⎭
的M点坐标.
答案：
（3）P点坐标为（4，9），D点坐标为（2，5），
22
∵抛物线平移，使其顶点C（2，9）移到原点O的位置，
2
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移9个单位，
2
而P点（4，9）向左平移2个单位，向下平移9个单位得到点E，
22
∴E点坐标为（2，-2），设M（0，m），
当m＞0时，1⎛+5+⎫=8，解得m=7，此时M点坐标为（0，7）；
2gçm22⎪g222
⎝⎭
当m＜0时，1⎛-m+5+⎫=8，解得m=-7，此时M点坐标为（0，-7）.
2gç22⎪g222
⎝⎭
综上所述，M点的坐标为（0，7）或（0，-7）.
22
25.已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E.且OD⊥AC，垂足为点F.
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长.
解析：
（1）由AC=BD知»AD+C»D=C»D+B»C，得»AD=B»C，根据OD⊥AC知»AD=C»D，
从而得»AD=C»D=B»C，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答案.答案：
（1）∵OD⊥AC，
∴»AD=C»D，∠AFO=90°，
又∵AC=BD，
∴»AD=B»D，即»AD+C»D=C»D+B»C，
∴»AD=B»C，
∴»AD=C»D=B»C，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵AB=2，
∴AO=BO=1，
∴AF=AOsin∠AOF
=1⨯=，
3
3
22
3
则AC=2AF=.
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值.
解析：
（2）连接BC，设OF=t，证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t，由DF=1-t
可得t=1，即可知BC=DF=2，继而求得EF=1AC=2，由余切函数定义可得答案.
3343
答案：
（2）如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO=∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠D=∠EBC，
∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC=DF、EC=EF，
又∵AO=OB，
∴OF是△ABC的中位线，设OF=t，则BC=DF=2t，
∵DF=DO-OF=1-t，
∴1-t=2t，
解得：
t=1，
3
AB2-BC2
22-⎛2⎫
2
ç3⎪
⎝⎭
42
则DF=BC=2，AC===，
33
2
∴EF=1FC=1AC=，
243
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠D，
则cot∠ABD=cot∠D=
2
3
2
2
DF==.
EF
3
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积.
2
解析：
（3）先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BC=AD=
三角形面积公式计算可得.答案：
（3）如图2，
、OF=
2
2
，从而根据
∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，
∴∠BOC=360，∠AOD=∠COD=360，
nn+4
则360+2⨯360=180，
nn+4
解得：
n=4，
∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，
2
∴BC=AC=，
∵∠AFO=90°，
2
∴OF=AOcos∠AOF=，
2
2
则DF=OD-OF=1-，
2
2
2
2-1
11⎛⎫
∴SVACD=2ACgDF=2⨯⨯ç1-
2⎪=2.
⎝⎭
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