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多属性决策基本理论与方法

主讲人：

张云丰

多属性决策基本理论与方法

1. 多属性决策基本理论

1.1 多属性决策思想

根据决策空间的不同，经典的多准则决策（Multiple Criteria Decision Making—MCDM）

可以划分为两个重要的领域：

决策空间是离散的（备选方案的个数是有限的）称为多属性决

策（Multiple Attribute Decision Making—MADM），决策空间是连续的（备选方案的个数是

无限的）称为多目标决策（Multiple Objective Decision Making—MODM）。

一般认为前者是

研究已知方案的评价选择问题，后者是研究未知方案的规划设计问题。

经典的多属性决策（Multiple Attribute Decision Making—MADM）问题可以描述为：

给

定一组可能的备选方案，对于每个方案，都需要从若干个属性（每个属性有不同的评价标准）

去对其进行综合评价。

决策的目的就是要从这一组备选方案中找到一个使决策者感到最满意

的方案，或者对这一组方案进行综合评价排序，且排序结果能够反映决策者的意图。

多属性

决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和方法广泛应用于社会、经济、管理和

军事等诸多领域，如投资决策、项目评估、工厂选址、投标招标、人员考评、武器系统性能

评定、经济效益综合排序等。

1.2 多属性问题描述

设在一个多属性决策问题中，备选方案集合为 G = {g1, g 2 ,L , g m }，考虑的评价属性集合

为U = {u1, u2 ,L , un } ，则初始多属性决策问题的决策矩阵为：

⎡ x11

⎢ M

⎢

⎢xm1

x12

x22

xm2

x1n ⎤

M ⎥

⎥

xmn ⎥

其中， xij 表示第 i 个方案的第 j 个属性的初始决策指标值，其值可以是确定值，也可以是模

糊值，既可以是定量的也可以是定性的。

多属性决策问题主要包括三个部分：

建立属性评价体系、确定属性权重及运用具体评价

方法对备选方案进行综合评价。

2. 属性值规范化方法

2.1 属性值规范化概述

常见的属性有效益型、成本性、区间型三种。

效益型属性也称正属性，是指属性值越大

隶属度越大的属性，也就是说属性值越大越好。

成本型属性也称负属性，是指属性值越小隶

属度越大的属性，也就是说属性值越小越好。

区间型属性也称适度型属性，是指属性值越接

近某个常数隶属度越大的属性。

属性之间一般存在着不可共度量性，即不同属性有不同的度量标准。

具体来说，各属性

的度量单位不同、量纲不同、数量级不同。

我们不能直接利用初始属性指标进行各方案的综

合评价和排序，而是需要先消除各属性的量纲、数量级和属性类型的影响后，再对方案进行

综合评价和排序。

消除各属性的量纲、数量级和属性类型的差异的过程，这就是我们常说的

决策指标的规范化处理（或称为决策指标的标准化处理）。

对于多属性决策问题，其实质就是利用一定的数学变换，把属性的量纲、类型、差异消

除，从而，将其转化成可以进行比较和综合处理的、统一的“无量纲化”指标。

对于多属性决策问题，一般习惯上是把各属性的指标值都统一转换到[0,1]区间上。

即决

策指标规化以后，对每个属性来讲，最差的属性指标值为 0，最好的属性指标值为 1。

2.2 确定型属性值规范化方法

（1）线性变换法

对于效益型属性：

yij = xijxmax

对于成本型属性：

yij = xmin xij

其中， xmax = max{x1 j , x2 j ,L , xmj } ， xmin = min{x1 j , x2 j ,L , xmj }。

式 2.1、式 2.2 也可以分别表示为：

yij = 1 - （xmin xij ）

yij = 1 - （xijxmax ）

（2.1）

（2.2）

（2.3）

（2.4）

线性变换法只适用于效益型属性和成本性属性，且指标值均为正值的情况。

其规范化后

jjjj

的指标值分别落在[（x min / x max ）,1] 、[（x min / x max ）,1] 区间上。

其中，式 2.3、式 2.4 并不是线性

的变换，只是习惯上也称其为线性变换法。

（2）极差变换法

极差变换法的基本思想是将最好的属性值规范化后为 1，将最差的属性值规范化后为

0，其余的属性值均用线性插值法得到规范化属性值。

对于效益型属性：

yij =

xij - xmin

x j j

（2.5）

对于成本型属性：

yij =

xmax - xij

j j

（2.6）

对于区间型属性：

⎩

⎧

⎪

max{（q1 - xij ）, （xij - q12 ）}

max{（q1 j j 2

xij ∉[q1, q12 ]

xij ∈[q1, q12 ]

（2.7）

其中， xmax = max{x1 j , x2 j ,L , xmj } ， xmin = min{x1 j , x2 j ,L , xmj }。

（3）向量变换法

对于效益型属性：

yij =

xij

∑ xij

i = 1

（2.8）

对于成本型属性：

yij =

（1/ xij ）

∑ （1/ xij ）

i = 1

（2.9）

我们注意到，向量规范化方法并不改变初始属性的正、负符号，且规范化后各分量的模

等于 1，即

（x1 j , x2 j ,L , xmj）=

∑ （xij ）

i = 1

2 = 1

这种规范化方法适用于任何类型的属性，但是其不能保证属性的最好值规范化后的值为

1、最差值为 0，也不能保证属性值规范化后的值落在[0,1]区间上。

所以这种方法的应用范

围仅仅局限于基于空间距离方法的多属性决策方法，如理想点法、TOPSIS 法、投影法、夹

角度量法等。

（4）三角函数变换法

对于效益型属性：

yij =

x j j

（xij -

j j

）]

（2.10）

对于成本型属性：

yij =

j j

（xij -

j j

）]

（2.11）

定义 3 记 b = （b L , b M , b N , bU ）为梯形模糊数，应用 C-OWA 算子，则转化的计算公式为：

2.3 模糊型属性值规范化方法

对于定性刻画的控制变量，考虑到信息的不完全性及风险诊断专家知识的局限等，往往

很难用精确数表示其原始信息，而模糊语言有时候更利于风险诊断专家表达自己的偏好。

模

糊语言的表示主要有区间数、三角模糊数、梯形模糊数、直觉模糊数、语言标度、二元语义

等。

在决策过程中，虽然选择不同的模糊语言表示及集结方法将会得到不同的结果，但就各

种模糊语言表示本身而言并没有优劣之分。

定义 1 记 a = [a L , aU ] 为闭区间数，应用 C-OWA 算子，则转化的计算公式为：

f ρ （[a L , aU ]） = （1 - λ）a L + λaU

定义 2 记 ~ = （a L , a M , aU ）为三角模糊数，应用 C-OWA 算子，则转化的计算公式为：

f ρ （（a L , a M , aU ）） = （（1 - λ）a L + 2a M + λaU ） / 3

f ρ （（b L , b M , b N , bU ）） = （（1 - λ）（a L + 2a M ） + λ（2a N + aU ）） / 3

定义 4 记ψ =｛ψ a a ∈[-L, L]; L ∈ Z｝为模糊语言标度集，ψ a 表示模糊语言变量。

ψ -L 和

ψ L 分别表示模糊语言标度集的下限标度和上限标度。

若 γ = [ψ α ,ψ β ] ，ψ α ,ψ β ∈ψ 且α < β ，

称 γ 为模糊语言区间数。

当α = β 时， γ 退化为模糊语言变量。

集合ψ 中元素数量可根据实际评估需要设置。

若取 L = 4 ，则集合ψ 包括 9 个元素。

在

刻画供应链风险时，给定模糊语言变量与风险诊断专家表达的模糊偏好信息存在如下对应关

系：

ψ -4 = VL （很低），ψ -3 = L （低），ψ -2 = ML （较低），ψ -1 = FL （稍低），ψ 0 = IG （一般），

ψ 1 = FH （稍高），ψ 2 = MH （较高），ψ 3 = H （高），ψ 4 = VH （很高）。

由于模糊语言区间数不能直接计算，因此需要通过转换公式将之转化后方可进行。

通过

定义 5 可实现模糊语言区间数与精确数之间的转化。

定义 5记 γ = [ψ α ,ψ β ] 为模糊语言区间数，Θ 为精确数，其中α，β ∈[-L, L] ， 0 ≤ Θ ≤ 1。

存在下列对应法则使得映射关系 f :

{[ψα ,ψ β ]} → Θ 成立。

Θ = （1 - λ） ⋅

α + L + 1

2L + 1

+ λ ⋅

β + L + 1

2L + 1

（2）

其中， λ 表示风险诊断专家对风险程度的偏好。

若 λ = 0 ，说明风险诊断专家对风险持乐

观态度；若 λ = 1 时，说明风险诊断专家对风险持悲观态度。

Θ 可理解为风险系数，Θ 越小，

说明风险程度越低。

3. 建立属性评价体系

4. 属性权重计算方法

4.1 判断矩阵法

见 5.3 层次分析法

4.2 灰色关联系数法

灰色关联度评价是一种多因素统计分析方法，它是以各因素（属性）的样本数据为依据用

灰色关联度来描述方案之间关系的强弱、大小和次序。

如果样本数据间变化态势基本一致，

则关联度较大；反之较小。

灰色关联度评价法的核心是计算关联系数，而关联系数的计算实

质就是一种利用理想样本（方案）进行确定型定量指标的规范化方法。

首先，确定所研究问题的评价指标和被评价方案，形成如下样本初始决策矩阵：

X = （xij ）m⨯n

⎡ x11

⎢ M

⎢

⎣xm1

x12

x22

xm2

x1n ⎤

x2n ⎥

M ⎥

⎥

xmn ⎦

，

将指标进行无量纲化处理，并确定参考样本（理想方案），得到规范化决策矩阵：

Y = （ yij ）m⨯n

⎡ y01

⎢ 11

⎢

⎢ ym1

y02

y12

y22

ym2

y0n ⎤

y1n ⎥

⎥

ymn ⎥

其中， y0 j = max{y1 j , y2 j ,L , ymj } ， j = 1,2,L , n 。

第 i 个方案的第 j 个指标与参考样本（理想方案）的关联系数为

rij =

i j j

yij - y0 j + ρ max max yij - y0 j

i j

，

其中， ρ 是分辨系数，在[0,1]内取值，一般取 0.5，其取较小值可以提高关联系数间差异的

显著性，从而提高评价结果的区分能力，这也正是灰色关联度评价法的一个显著特点。

若指标的权重向量为 ω = （ω1,ω2 ,L ,ωn ），则被评价方案与参考样本（理想方案）的关联度

为

∑ωj rij ， i = 1,2,L

Ri =

j=1

按照关联度大小排序各被评价方案。

对被评价方案与参考样本的关联度从大到小排序，

关联度越大，说明被评价方案与参考样本越接近，因而被评价方案也就越优。

4.3 熵权法

4.3.1 熵权法概述

熵原本是一热力学概念，它最先由申农（C. E. Shannon）引入信息论，称之为信息熵。

现

已在工程技术，社会经济等领域得到十分广泛的应用。

申农定义的信息熵是一个独立于热力

学熵的概念，但具有热力学熵的基本性质（单值性、可加性和极值性），并且具有更为广泛和

普遍的意义，所以称为广义熵。

它是熵概念和熵理论在非热力学领域泛化应用的一个基本概

念。

熵权法是一种客观赋权方法。

在具体使用过程中，熵权法根据各属性的变异程度，利用

信息熵计算出各属性的熵权，再通过熵权对各属性的权重进行修正，从而得出较为客观的属

性权重。

4.3.2 熵权法基本原理

根据信息论的基本原理，信息是系统有序程度的一个度量；而熵是系统无序程度的一个

度量。

若系统可能处于多种不同的状态。

而每种状态出现的概率为 pi （i = 1,2,L , m）时，则该

系统的熵就定义为：

∑ pi ⋅ ln pi

e = -

i=1

显然，当 pi = 1/ m （i = 1,2,L , m）时，即各种状态出现的概率相同时，熵取最大值，为

emax = ln m 。

现有 m 个备选方案， n 个评价属性，形成初始评价矩阵 R = （rij ） m⨯n ，对于某个属性 r j 有

信息熵：

e j = -

i=1

pij ⋅ ln pij ，其中 pij = rij /

i=1

从信息熵的公式可以看出：

如果某个属性的熵值 e j 越小，说明其属性值的变异程度越大，

提供的信息量越多，在综合评价中该属性起的作用越大，其权重应该越大。

如果某个属性的

熵值 e j 越大，说明其属性值的变异程度越小，提供的信息量越少，在综合评价中起的作用越

小，其权重也应越小。

故在具体应用时，可根据各属性值的变异程度，利用熵来计算各属性

的熵权，利用各属性的熵权对所有的属性进行加权，从而得出较为客观的评价结果。

4.3.3 熵权法计算权重步骤

熵权法计算各属性权重的过程为：

（1）计算第 j 个指标下第 i 个备选方法的属性值的比重 pij ：

∑ rij

pij = rij /

i=1

（2）计算第 j 个指标的熵值 e j ：

∑ pij ⋅ ln pij ，其中 k = 1/ ln m

e j = -k

i=1

ωj = （1 - e j ） / ∑ （1 - e j ）

（3）计算第 j 个指标的熵权 ω j ：

j=1

当各备选方案在属性 j 上的值完全相同时，该属性的熵达到最大值 1，其熵权为零。

这

说明该属性未能向决策者供有用的信息，即在该属性下，所有的备选方案对决策者说是无差

异的，可考虑去掉该属性。

因此，熵权本身并不是表示属性的重要性系数，而是表示在该属

性下对评价对象的区分度。

熵权法可用于任何评价问题中的属性权重确定并可用于剔除属性评价体系中对评价结果

贡献不大的属性。

4.4 离差最大化方法

对于某一多属性决策问题，属性权重信息完全未知。

初始决策矩 X （xij） ⨯n 经过规范化

处理后，得到规范化矩阵 Y = （ yij ）m⨯n 。

假设属性权重向量为 ω = （ω1,ω2 ,L ,ωn ）， ω j ≥ 0 ，并

满足单位化约束条件：

∑ωj 2 = 1 。

j=1

由于客观事物的不确定性和人类思维的模糊性，决策专家们往往很难给出明确的属性权

重值，甚至出现属性权重信息完全未知的情形。

因此，通过属性值自身所体现出的特点来决

定属性权重的比例是客观的和合乎逻辑的，基于离差最大化的属性赋权方法则具备这样的优

点。

它的基本思想是，若所有方案在某个属性下的属性值差异越小，则说明该属性值对方案

决策与排序所起的作用越小；反之，若某个属性能使所有方案的属性值有较大差异，则说明

其对方案决策与排序将起重要作用。

由此，从对决策方案进行排序的角度考虑，无论方案属

性本身的重要程度如何，方案属性值离差越大的属性应该赋予越大的权重。

特别地，若所有

方案在某个属性下的属性值无差异，则该属性对方案排序将不起作用，可令其权重为 0。

基于上述考虑，对于属性 u j ，用 Dij （ω）表示方案 gi 与其他所有方案之间的离差，则可定

义

Dij （ω） = ∑yijω j - ykjω j 。

k = 1

令

mmm

D j （ω） = ∑ Dij （ω） = ∑∑yij - ykj ω j

i = 1i = 1k = 1

则 D j （ω）表示对属性 u j 而言，所有方案与其他方案的总离差。

根据上述分析，属性权重

向量 ω 的选择应使所有属性对所有方案的总离差最大。

为此，构造目标函数为

nnmm

max D（ω） = ∑ D j （ω） = ∑∑∑yij - ykj ω j 。

j = 1j = 1i = 1k = 1

于是，求解属性权重向量 ω 等价于求解如下最优化模型

⎧nmm

⎪max D（ω） = ∑∑∑yij - ykj ω j

⎪j = 1i = 1k = 1

s.t.

⎩j = 1

解此最优化模型，作拉格朗日（Lagrange）函数

λ （ ∑ω2j - 1），

nmm

L（ω, λ） = ∑∑∑yij - ykj ω j +

j = 1i = 1k = 1

求其偏导数，并令

j = 1

⎧mm

⎪i = 1k = 1

⎪

求得最优解

ω* =

m m

∑ ∑ yij - ykj

i = 1 j = 1

n m m

∑ [ ∑ ∑ yij - ykj ]

j = 1 i = 1 j = 1

，

ωj =ω*j /（ ∑ω*j ），

由于传统的加权向量一般都满足归一化约束条件而不是单位化约束条件，因此在得到单

位化权重向量 ω * 之后，为了与人们的习惯用法相一致，还可以对 ω * 进行归一化处理，即令

j = 1

由此得到

ω j =

m m

∑ ∑ yij - ykj

i = 1k = 1

n m m

∑ ∑ ∑ yij - ykj

j = 1i = 1i = 1

5多属性决策基本方法

5.1 TOPSIS 方法

TOPSIS 方法的英文全称是“Technique for Order Preference by Similaruty to Ideal

Solutions”，即逼近于理想解的排序方法，是 Hwang 和 Yoon 于 1981 年提出的一种适用于根

据多项指标、对多方案进行比较选择的分析方法。

这种方法的中心思想在于首先确定各项指

标的正理想解和负理想解，所谓正理想解是某一指标的最优值，而负理想解是某一指标的最

劣值，所有的正理想解构成最优方案，所有的负理想解构成最劣方案，然后求出各个方案与

最优方案及最劣方案之间的加权欧氏距离，由此得出各方案与最优方案（最劣方案）的接近程

度，作为评价方案优劣的标准。

运用 TOPSIS 方法进行多指标多方案评价的基本步骤如下：

Step 1 决策专家对 m 个方案 n 个指标给出决策矩阵 X = （xij ）m⨯n ；

Step 2 对决策矩阵原始数据按下列方法进行归一化，得到 Y = （ yij ）m⨯n ；

承运商/指标

指标 1

指标 2

指标 3

170

145

120

各项指标评价值如下表所示：

成本性指标：

效益型指标：

rij =

x max - xij

x max - x min

xij - x min

x max - x min

（i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n）

L+i = [∑ （zij - z +j ）2 ]1/ 2 ， L-i = [∑ （zij - z -j ）2 ]1/ 2 ；

其中 x max 表示第 j 个指标的最大值， x min 表示第 j 个指标的最小值。

Step 3 将指标权重与 R 进行加权集结，得到加权决策矩阵 Z = （zij ）m⨯n ；

Step 4 由各项指标的最优值和最劣值分别构成最优方案和最劣方案：

12n12n

Z + = （z + , z + ,..., z + ）， Z - = （z - , z - ,..., z - ），

其中 z + = max{z1 j , z2 j ,..., zmj } ， z - = min{z1 j , z2 j ,..., zmj } ， j = 1,2,...n ；

Step 5 计算各方案与最优方案和最劣方案之间的距离，计算公式如下：

j=1j=1

iii

Step 6 利用公式 Ci = L- /（L+ + L- ）， i = 1,2,...m 得到各方案的相对接近度；

Step 7 按相对接近度大小对方案排序，相对接近度越大说明该方案越优。

5.2 模糊综合评价法

5.3 层次分析法

5.4 灰色关联度法

案例：

现欲在 A、B、C 三家承运商中选择一家作为合作伙伴，重点考虑的评价指标有 3 个，

其中指标 1 为效益型，指标 2 为成本型，指标 3 为区间型且最佳值为[60,65]，三家承运商的

若假定上述 3 个指标的权重分别为 0.4、0.4、0.2，请运用 TOPSIS 方法给予评价

kkkttt

定义 3若 ω k = （ω1 ,ω2 ,L ,ωn ）表示第 k 个决策者赋予的指标权重向量， ωt = （ω1 ,ω2 ,L ,ωn ）表示

第 t 个决策者赋予的指标权重向量，则 ω k 与 ω t 之间的一致性程度为：

Lkt = （ω k ⋅ ω t ） /（ ω k ⋅ ω t ），（k,t = 1,2L , m;∍ k ≠ t）

对 Lkt 加权求和，得到 ω k 与其他权重向量的平均一致性程度表达式：

Lkt , （t = 1,2,L , m）

（3）

（4）

令 Lπ = max{Lk k = 1,2,L , m} ，则认为第 π 个决策者赋予的指标权重向量为近似最优权重向量，

因此也最能体现最优权重向量反映的信息。

1.3 属性值的规范化处理

现有文献在运用 TOPSIS 法进行多属性决策时，对每个属性的规范化处理是以所有备选

方案下该属性的极大/极小值作为转换标准，而忽略了该属性自身存在最大/最小值的情况，

我们称这种处理方式为相对规范化处理；而以属性自身最大/最小值作为转换标准的处理方

式称为绝对规范化处理。

显然，相对规范化处理容易掩盖属性值反映的真实信息，导致评价

结果不能准确体现客观实际，如下面的例子：

例 1在一个多属性决策问题中，需对 3 个备选供应商的绩效进行评估。

现选择 4 个属

性作为绩效评估依据，且 4 个属性视为同等重要程度。

决策者采用百分制对备选供应商进行

考评，赋予的绩效评估值见矩阵 Y 所示：

Y = （ yij ）3⨯4

⎡

⎢

⎢80

81⎤

79⎥

80⎥

供应商绩效属于效益型指标，采用极差变换法进行相对规范化处理，转换公式为

jjjjj

ϕij = （ yij - y min ） /（ y max - y min ），其中：

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