韶关学院大学生数学竞赛竞赛大纲.docx

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韶关学院大学生数学竞赛竞赛大纲

韶关学院大学生数学竞赛竞赛大纲

I.竞赛性质

为提高大学数学课程的教学水平，推动数学教学体系、教学内容与方式的改革，实施素养教育，增进学风建设，繁荣校园文化，激发大学生学习数学的爱好，发觉和选拔数学创新人材，为全校理、工、经、管、农科类的学生考研提供帮忙，同时也为参加广东省大学生数学竞赛和全国大学生数学竞赛选拔同窗，实现“韶关学院大学生数学竞赛”目标，特制订本竞赛大纲。

II.竞赛内容

（一）韶关学院大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容

（参赛对象为全校理、工、经、管、农科类非数学专业的学生）

一、函数、极限、持续

1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的成立.

2．函数的性质：

有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、大体初等函数的性质及其图形、初等函数.

4．数列极限与函数极限的概念及其性质、函数的左极限与右极限.

5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.

6．极限的四那么运算、极限存在的单调有界准那么和夹逼准那么、两个重要极限.

7．函数的持续性（含左持续与右持续）、函数中断点的类型.

8．持续函数的性质和初等函数的持续性.

9．闭区间上持续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）.

二、一元函数微分学

1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与持续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.

2.大体初等函数的导数、导数和微分的四那么运算、一阶微分形式的不变性.

3.复合函数、反函数、隐函数和参数方程所确信的函数的微分法.

4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.

5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.

6.洛必达（L’Hospital）法那么与求未定式极限.

7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线（水平、铅直和斜渐近线）、函数图形的刻画.

8.函数最大值和最小值及其简单应用.

9.弧微分、曲率、曲率半径.

三、一元函数积分学

1.原函数和不定积分的概念.

2.不定积分的大体性质、大体积分公式.

3.定积分的概念和大体性质、定积分中值定理、变上限定积分确信的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式.

4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.

5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.

6.广义积分.

7.定积分的应用：

平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．

四.常微分方程

1.常微分方程的大体概念：

微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.

2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利（Bernoulli）方程、全微分方程.

3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：

.

4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.

5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.

6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：

自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，和它们的和与积.

7.欧拉（Euler）方程.

8.微分方程的简单应用.

五、向量代数和空间解析几何

1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.

2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.

3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.

4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.

5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角和平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.

6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、经常使用的二次曲面方程及其图形.

7.空间曲线的参数方程和一样方程、空间曲线在座标面上的投影曲线方程.

六、多元函数微分学

1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.

2.二元函数的极限和持续的概念、有界闭区域上多元持续函数的性质.

3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.

4.多元复合函数、隐函数的求导法.

5.二阶偏导数、方向导数和梯度.

6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.

7.二元函数的二阶泰勒公式.

8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.

七、多元函数积分学　

1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）、三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）.

2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.

3.格林（Green）公式、平面曲线积分与途径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.

4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.

5.高斯（Gauss）公式、斯托克斯（Stokes）公式、散度和旋度的概念及计算.

6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用（平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等）.

八、无穷级数

1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的大体性质与收敛的必要条件.

2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交织级数与莱布尼茨（Leibniz）判别法.

3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.

4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.

5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.

6.幂级数在其收敛区间内的大体性质（和函数的持续性、逐项求导和逐项积分）、简单幂级数的和函数的求法.

7.初等函数的幂级数展开式.

8.函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数、狄利克雷（Dirichlet）定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数.

（二）韶关学院大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容

（参赛对象为数学类专业学生）

A、数学分析部份

一、集合与函数

1．实数集、有理数与无理数的浓密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.

2．

上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、

上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、大体点列，和上述概念和定理在

上的推行.

3．函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，初等函数和与之相关的性质.

二、极限与持续

1．数列极限、收敛数列的大体性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.

2．数列收敛的条件（Cauchy准那么、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限

及其应用.

3．一元函数极限的概念、函数极限的大体性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原那么和Cauchy收敛准那么，两个重要极限

及其应用，计算一元函数极限的各类方式，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、大体性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.

4．函数持续与中断、一致持续性、持续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上持续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致持续性）.

三、一元函数微分学

1.导数及其几何意义、可导与持续的关系、导数的各类计算方式，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.

2.微分学大体定理：

Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式（Peano余项与Lagrange余项）.

3.一元微分学的应用：

函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法那么、近似计算.

四、多元函数微分学

1.偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、持续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.

2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方式、反函数组与坐标变换.

3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.

4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.

五、一元函数积分学

1.原函数与不定积分、不定积分的大体计算方式（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：

型，

型.

2.定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：

）、可积函数类.

3.定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分大体定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.

4.无穷区间上的广义积分、Cauchy收敛准那么、绝对收敛与条件收敛、

非负时

的收敛性判别法（比较原那么、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.

5.微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.

六、多元函数积分学

1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一样坐标变换）.

2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.

3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.

4.含参量正常积分及其持续性、可微性、可积性，运算顺序的可互换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的持续性、可微性、可积性，运算顺序的可互换性.

5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、大体性质、计算.

6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与途径无关的条件.

7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.

七、无穷级数

1.数项级数

级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准那么，收敛的必要条件，收敛级数大体性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原那么、比式判别法、根式判别法和它们的极限形式；交织级数的Leibniz判别法；一样项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.

2.函数项级数

函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准那么、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.

3.幂级数

幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.

级数

三角级数、三角函数系的正交性、2

及2

周期函数的Fourier级数展开、Bessel不等式、Riemann-Lebesgue定理、按段滑腻函数的Fourier级数的收敛性定理.

B、高等代数部份

一、多项式

1.数域与一元多项式的概念.

2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法.

3.互素、不可约多项式、重因式与重根.

4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.

5.代数大体定理、复系数与实系数多项式的因式分解.

6.本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.

7.多元多项式及对称多项式、韦达（Vieta）定理.

二、行列式

1.n级行列式的概念.

2.n级行列式的性质.

3.行列式的计算.

4.行列式按一行（列）展开.

5.拉普拉斯（Laplace）展开定理.

6.克拉默（Cramer）法那么.

三、线性方程组

1.高斯（Gauss）消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一样解.

2.n维向量的运算与向量组.

3.向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.

4.向量组的极大无关组、向量组的秩.

5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.

6.线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.

7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数

四、矩阵

1.矩阵的概念、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置等运算）及其运算律.

2.矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.

3.矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.

4.分块矩阵及其运算与性质.

5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.

6.分块初等矩阵、分块初等变换.

五、双线性函数与二次型

1.双线性函数、对偶空间

2.二次型及其矩阵表示.

3.二次型的标准形、化二次型为标准形的配方式、初等变换法、正交变换法.

4.复数域和实数域上二次型的标准形的唯一性、惯性定理.

5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵.

六、线性空间

1.线性空间的概念与简单性质.

2.维数，基与坐标.

3.基变换与坐标变换.

4.线性子空间.

5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.

七、线性变换

1.线性变换的概念、线性变换的运算、线性变换的矩阵.

2.特点值与特点向量、可对角化的线性变换.

3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.

4.线性变换的值域与核、不变子空间.

八、假设当标准形

1.

矩阵.

2.行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.

3.假设当标准形.

九、欧氏空间

1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、气宇矩阵.

2.标准正交基、正交矩阵、施密特（Schmidt）正交化方式.

3.欧氏空间的同构.

4.正交变换、子空间的正交补.

5.对称变换、实对称矩阵的标准形.

6.主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.

7.酉空间.

C、解析几何部份

一、向量与坐标

1.向量的概念、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.

2.坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.

3.向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.

4.向量的数量积、向量积和混合积的概念、几何意义、运算性质、计算方式及应用.

5.应用向量求解一些几何、三角问题.

二、轨迹与方程

1.曲面方程的概念：

一般方程、参数方程（向量式与坐标式之间的互化）及其关系.

2.空间曲线方程的一般形式和参数方程形式及其关系.

3.成立空间曲面和曲线方程的一样方式、应用向量成立简单曲面、曲线的方程.

4.球面的标准方程和一样方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.

三、平面与空间直线

1.平面方程、直线方程的各类形式，方程中各有关字母的意义.

2.从决定平面和直线的几何条件动身，选用适当方式成立平面、直线方程.

3.依照平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.

4.依照平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.

四、二次曲面

1.柱面、锥面、旋转曲面的概念，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.

2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和要紧性质，依照不同条件成立二次曲面的标准方程.

3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方式.

4.依照给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.

五、二次曲线的一样理论

1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.

2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.

3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.

4.二次曲线的主轴、主方向，特点方程、特点根.

5.化简二次曲线方程并画出曲线在座标系的位置草图.

III.竞赛形式及试卷结构

（一）竞赛形式

竞赛采纳闭卷笔试，试卷总分值为150分，竞赛时刻为150分钟，整个竞赛进程由各人独立完成.

（二）试卷内容比例

非数学类：

微积分学约占82%，常微分方程约占12%，向量代数和空间解析几何约占6%.

数学类：

数学分析约占50%，高等代数约占35%，解析几何约占15%.

（三）试卷题型比例

非数学类：

单项选择题（15%）、填空题（20%）、计算题（40%）、证明综合题（25%）.

数学类：

单项选择题（15%）、填空题（20%）、计算题（35%）、证明综合题（30%）.

（四）试卷题型难易度比例

试卷按其难度分为容易题，中等题和难题，三种试题分值的比例为3：

5：

2.