核反应堆物理分析习题答案第四章.docx
《核反应堆物理分析习题答案第四章.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《核反应堆物理分析习题答案第四章.docx（26页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
核反应堆物理分析习题答案第四章
第四章
1.试求边长为a,b,c（包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。
设
有一边长a=b0.5m,c=0.6m（包括外推距离）的长方体裸堆，L=0.043m,
.=610~m2o
（1）求达到临界时所必须的k：
-；
（2）如果功率为5000kW〕f=4.01m-1，求中子通量密度分布。
其中：
M2=L2.=0.00248m2
（2）
二k：
：
-1.264
只须求出通量表达式中的常系数0
2_22-22
2•设一重水一铀反应堆的堆芯k：
：
=1.28,L=1.810m,~1.2010m。
试按单群理
论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄
露几率。
解：
对于单群理论:
l+（r+r）^
对于圆柱形裸堆
-1
几何曲率％
临界时,
几何曲率二材料曲率
b?
=b;+b：
=
f2405?
己经有
材料曲率
等效裸堆
|等效裸堆的B”
zx
快中子不泄漏几率p=—!
—
热中子不
泄漏几率
1
加装反射层后的k曲
1+（厂+巧罠
加装反射层后的反薩性P啰一1
R=R+&H^H+23h
5.一个球壳形反应堆，内半径为R,外半径为R2，如果球的内、外均为真空，求证单群理论的
临界条件为：
tanBRi-BRitanBR2:
1+BR,tanBR1
-2C
~2
.rr
边界条件:
解答：
以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程：
B
i.limJ=0;
ii.（R2）=0
（如果不R,包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖）
&,、"cosBr丄亠sinBr
球域内方程通解：
（rHAC
rr
i可得：
cosBR1AsinBR1sinBR1cosBR
J--D'rzR=AB--A，一CB丄一C，=0
R1RRR
caBR-icosBR-sinBR1AtanBR-BR
由条件
lim
—Ri
=C=A111=—A1-
BRsinBR+cosBR1BRtanBR,十1
由条件ii可得：
tanBR-BR
由此可见，tanBR2--，证毕。
BRtanBR+-
7•—由纯235U金属（J=18.7-03kg/m3）组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的纯
238UC、=19.0103kg/m3），试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下：
23U:
；「f=1.5b,；「a=1.78b,'L=35.4m',v=2.51;238Uf=0,；「a=0.18b,'tr=35.4m‘。
解：
以球心为左边原点建立球左边系，对于
设其分界面在半径为R处：
空口5
U-235和U-238分别列单群稳态扩散方程,
U-235:
方程1
U-238:
边界条件:
宀j8
L8
i.lim5:
:
:
:
:
5
iii.D5
cr
方程2
ii.
5（R）=8（R）
令B2
k：
：
-1
l5
方程
通解:
-R
iv.
lim8=0
r厂
（.在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于几何曲率）
，球域内
、"cosBr-sinBr
5（r）=A
r
C5
r
A小.sinBr
i可知A=0，所以：
5（r）二Cr
丄exp（_r/L8）
球域内方程2通解：
8（r）二血--
r
exp（_r/L,）
iv可知，所以：
8（r^A8-
由条件
由条件
由条件
ii可得:
由条件
iii可得:
D5C（BcosBR
exp（r/Ls）C8
r
sinBR‘exp（-R/L8）,exp（-R/L8）
CA-一C二A-
RRsinBR
sinBR）二DbA（-丄-2）exp（-卫）
LbRR2Lb
L8RR
（R1）exp（-R）
L8
L8
CA
D5sinBR—BRcosBR
所以（由题目已知参数
、.、.1'tr,5二tr,8=D5二
3\r,53^,8
（占1）exp（-¥）
Lb
A
sinBR-BRcosBR
卫Aexp（-R/◎=sinBR—BRcosBR=（旦1）sinBR
sinBRL8
D5
Lb
即：
-BRcosBRsinBR
L8
cosBR一丄sinBR二arccot^1/BLb）
BL,
代入数据:
N8
N8
1°?
5NA283
4.7910mM5
10「8Na283
4.8110m
k*'；：
M8
V二f,5
1
V5
—=2.115
二a,5
=1.3110；m2
B
3二・a,5二f,5
=29.17m二
1
——=—0.1043m
3'a,5'f,5
R=arccot（_1/BL8）="arctan（1/BL8）=0.06474m
B
43
m=沖5=二5R3=21.3kg
3
8•试证明有限高半圆形反应堆中子通量密度分布和几何曲率
（r,z」）=AJ1（X1r）sinjcos（z）
RH
B2-（X1）2
Bg-（g）
其中：
X1=3.89是J1（xJ的第一个零点，即。
证明：
（1）书上图4-8所示的柱坐标系下，
几何曲率与材料曲率相等）：
兀2
（H）
单群稳态扩散方程可写为（临界条件下,
\2J=-B：
（0汀乞R,0"「，-H/2乞Z乞H/2）
.rr:
rrz
边界条件（不考虑外推距离）：
i.'r出=r凶=0
IL才==0
III.出/2=z=_H/2=0
（注意，这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理：
如果aj（t）（i=1,2,），f（t）都是区间Ia,b］上的连续函数，则对于任
一t0•（a,b）及任意的x®,x0°,x02）,…x0n®,方程：
x（n）■a1x（n^亠an4/■anx
存在唯一解
（n4）
0
=f（t）
Xh卩（t）
定义于区间l-a,b1上，且满足初值条件
而此扩散方程并非线性微分方程。
）
对于表达式：
（r,乙旳=AJj^jsin二cos（—^,人=3.89
RH
不难证明其满足上述全部三个边界条件。
（J1（0）=J1（3.89）=0）
x（k）（to）=x0k）（k=0,,n_1）,
（2）将表达式代入方程，其中，已知如下条件:
X』=-nJXJ,oJ—■iJ
可推得：
J-Jixj0
X
_JlXj0l|_Ji.xJ°J
X
X2
0=
JiJoj
—2J
XX
J
1—
X
0-J'ixJ0f2J0
（—2i）J-
XX
j"）
Ji（竺）J（红）「出'J
RRrR
1
2-i
I（Xir）2
社下）
J（XR）
『
jXRr）*{
J（XRr）-
xr.
X1「）
j0（R
X.r
R
-（XDr）2J1（
R
Xi「）Xi「
）一
RR
Jo（X；）
1c*
r：
：
r二
*_
J等細等
哙）
J闇
所以:
（Tl
X.r2
冉有:
■:
z
cos（）
H
2
■:
2
-（H）
x2
lR丿lH丿
可知该表达式为方程的解。
证毕。
（也可如此推出解的形式：
分离变量：
d2®Jd护d2Q
方程变形：
d「2「dr2
®r2Q
所以方程为:
JI
一B；
（L,z）八（r）Q「）Z（z）
d2Z
-d^二_b2
g
Zg
d2Qd2Z
22-
设：
卫n2（n为任意实数），-dzB；；
QZ
d2「1d:
+22
―二B：
B：
—Br2二r2d2rd（B：
—n2）—0
®rdrdr
2d2®d申22
变量替换：
x=Brr,Br「（x）=「（r）,x2x（x-n）—0
dxdx
此为nBessel阶方程，通解为
Jn（x）Jn（Bj）
（r）二
Vn（X）Yn（BrX）
由边界条件i可得,n须取使Jn（O）=0的值，在其中，我们只去基波，即n=1，相
应的BrR=x,:
相应的：
QD=AsinvCjSin^
由边界条件ii可得：
Cj-0,Q（"二A^sin二
对于z有：
Z（z）二AzSin（BzZ）CzCOS®z）
由边界条件ii可得，Az=0,Bz二二/H,Z（z）二Czcos（二z/H）
所以：
=AJ1（x1r/R）sin^cosCz/H）
10.设有均匀圆柱形裸堆，其材料曲率等于，试求:
（1）使临界体积为最小的R/H的值；
（2）最小临界体积V与B；的关系。
■:
2
2可得，在临界条件下：
R22.405
B,-（―）
gH
22.405^H3
临界体积：
V=R2H222
B：
H2r2
22
2.405二3H
22
BgH
dV
其取最小值时：
0,即:
dH
23
2.405■H
2222
（BgH-二）
2一22
2BgH=0=3（BgH
222
-二）=2BgH=H
Bg
二R2
Bf
2.40$3
二2=
2Bg
所以：
=
2.40圧
兀2"3：
2/Bf
22.405
R0.5412
V2^
（2）由上可得临界最小体积:
B3
▽=「刊=哼）隹2-4052332
B22Bg
2
m，
33
Pu（T=14.4103kg/m3）组成的球形快中子临界裸堆，试用下列单群常数:
bD.o2r6=,计算其临界半径与临界质量。
103TNa28‘
A=3.6410m
M
由于临界条件下：
B2二B；，所以：
V=148.4/Bm
239
11.设有意纯
v=2.19',f
1.b85r-
解：
由已知条件可得：
N
k-亠
a
L^D
、a
=1.92
二f
二1=1=1.7710Jm2
3、a、tr32讣（；—6）
22Bg二Bm，可得：
设临界半径为R，则临界条件:
k比一1
2~
二2L2
0.138m
k：
：
-1
对于这一实际问题,
需要考虑外推距离：
d=0.7104^=0.7104=0.0288m
N%
4333
V（R-d）=5.4010F
3
临界质量：
m=2=77.8kg
12•试求下列等效裸堆内热中子通量密度的最大值与平均值，即热中子通量密度的不均匀系数：
（1）
所以实际临界体积为:
半径为
（2）
（3）
半径为
边长为
R的球形堆，反射层节省为r；
R，高度为H的圆柱形堆，反射层节省分别为r和：
H；
a,b,c的长方形堆，反射层节省分别为
Wy「z。
解：
可利用裸堆的结论，球：
圆柱：
K^bare
3.27
R二2
sin（r）4二rdr
0R
兀2R3=Kh（）
H3、RT
-R2H
Kh
2/h二R「2.405
.才逸吋乙曲。
J。
（〒-
R2H
=3.62（）（）
R+®H+26h
r）2二rdr
立方体:
KH,bare
a/2
abc
b/2二
c/2
-3.62
二3
=3.88
.韧2cos（-x）dx4/2cos（£y）dy.“cos（；z）dz
二3aaa
_8（a2x）（a2y）（a2、J
详细推导：
据97页4-1裸堆的通解形式可得:
=Kh
max
1
球：
（r）二Asin（
r
©
max
JI
R、Tr）
呦］Arsin（时"
JI
3
V=4二R3/3
2兀jr
vdV=A0d「osin还，
RTt
0
JI
Ar、T
JI
Kh
cos（-—r）I
R+6t
JI
JI
rsin（r）dr
R+6t
c5r£兀
=A2「：
（-cos"|00rsin（i
JI
JI
r）d-cos（
］RMt
r）l
”A「Jrcos（「r）|L
1+｛垢（上讯［_cos（
亠J
R+6t
=4-A
（R，T）
-51
'max
4A（R、t）
JI
2
JI
）2cos（x）dxL4A（R+6T）2
圆柱：
冶2.405兀
（r，z"AJ0（R，Tr）cos（H2「zz）
2
1
-VdV
max』mAJ
rTz—0
^405z）二A
°'r、t、H2z
2
VwRH
兀
z）dz
2HH2、z
H2、z./
sin（H2「z
2二.R“/2.405,2/H/
rJ0（r）drcos（-
ooR，T—）J严r）訂
||2.405RT二
（r亠人）H亠Qi-.
T0.5191z2=0.863337A（R、t）2（H2'z）
2.405~
dV=Adr
V
=A2二
71
丄dV0.863337A（R、t）2（H2z）
VV
立方体：
（x,y,z）二Acos（小
a+2$x
x）cos（
\|2/H
z）1^2/H
R）2（H
心4（厂）（弋）
JI
a2、y
-
®max=limAcos（
x—0y0z0
rT-x）cos（?
^-y）cos（r^-
z）=A
V=abc
16.设有如图4-9所示的一维无限平板反应堆。
中间区域（I）的k^-1，厚度2b为已知,两侧区域（II）的kI:
'1，试用单群理论导出确定临界尺寸a的公式及临界时中子通量
密度的分布。
说明尺寸b对临界尺寸有无影响及其理由。
_x
hII,b*b*
方程1
方程2
2
2
解：
以平板厚度方向上的几何中心为原点建立坐标系，对两区分别建立单群稳态扩
散方程（由于几何上的对称性，对于本体只需考虑一侧，如X为正一侧）
边界条件：
i.I（b）二II（b）;ii.II（ba）=0
由表3-1查得方程1的通解：
屿（x）=AcosB|X+C|sinB|X
其中第二项明显有悖于对称性条件，故G=0,同理有：
％（x）=AicosBhX
（由于本体是求解临界尺寸，默认的前提是几何曲率等于材料曲率，故以下不再
对其进行区别，统一用B2表示）
有条件ii可得：
AiSbiW"07寸
=1
整个系统的临界条件为：
keff=中子率/（中子泄漏率+中子吸收率）
即：
一「2]idx,aidx：
Viidx-kljjidxWjTiidx
二D：
ib：
2:
;*（简-1）：
dx（kH;-1）「aiidxd）「a心-Bi2皿：
-1）Y/Dii
过对通量分布产生影响从而作用于泄漏率的）
可见，临界尺寸a与b负相关，从物理上的理解：
由于I区增值性质弱于II
区，故存在由II区向I区的净流动，相当于II区的泄露。
I区尺寸越小，则这一泄露越弱，此时的临界尺a最小。
但不要认为ab之和为固定常数！
这里用几何曲率只是考虑基波，求出的a+b相当于同一材料曲率下最小的临界尺
寸，而实际对于任意n平方倍的几何曲率，由条件i可得：
A|cosBib=A）IcosBIIb
临界条件都可以满足。
I—IAi=Aii
k,1=B^.k^-1/Li.0
中子通量密度分布为：
'II（x）二AIIcosi
cosBii^Aiicos^^
2a2b
i（x）二AIIcos——
2a2b'
I2a-2b
其中Ai由临界时的功率条件确定。
17.设有高度为H（端部无反射层）径向为双区的圆柱形反应堆，中心为通量密度展平区,要求中子通量密度等于常数，假定单群理论可以适用。
试求：
（1）中心区的k：
:
应等于多少？
（2）临界判别式及中子通量密度分布。
解：
自己设定材料有关参数，
『丨仁1乎1
T—T
r:
r'
.1：
：
ii.-ii
r:
r:
z2
区进行了通量展平，即1='0为常数，易知
以几何中心为原点建立坐标系:
fr_
.：
2■■
-ii
-2
一r
-2
:
Z
-2
1,0乞r岂b
方程1
由于I
边界条件:
kt
百ii,0乞r乞b
LII
方程2
LIIIr=b二0;
ii.D
k'；-1，而k；必须大于1.
=DII
:
x
JI
-|^b
:
X
升级会员 