大数定律在保险中的应用.docx

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大数定律在保险中的应用

摘要

本文结合大数定律存在的条件的不同及其性质特点，列举了其在保险中的一些具体应用。

依次阐述了大数定律与保险业的密切相关、保险业中常用的大数定律和保险业务中大数定律的应用：

保险业中的大数定律类比厂商的规模经济性、赔偿金为常数、纯保费以及损失概率的确定。

就几个不同的方面分别对大数定律在保险中的应用做了介绍并举例说明，将理论具体化，使抽象的实际问题变成具体可行的、可计算的、可操作的数学问题，从而使一些难以计算和预测的实际问题转变成数学问题，从而更加有利于保险方面实际问题的解决。

关键词：

大数定律；赔偿金；保费；损失概率

Abstract

Combined with the different conditions and characteristics of the existence of the law of large numbers, this paper lists some specific applications in insurance. The law of large numbers is closely related to the insurance industry, the law of large numbers commonly used in the insurance industry and the application of the law of large numbers in insurance business are expounded in turn:

 the law of large numbers in the insurance industry is analogous to the scale economy of manufacturers, the compensation is constant, the pure premium and the determination of the probability of loss. The application of the law of large numbers in insurance is introduced and illustrated in several different aspects, and the theory is concretized, so that the abstract practical problems become concrete and feasible, computable and operable mathematical problems, so that some practical problems which are difficult to calculate and predict can be transformed into mathematical problems, which is more conducive to the solution of practical problems in insurance.

 Keywords:

 law of large numbers; compensation; premium; probability of loss

引言

如今，中国已经是世界上最大的潜在保险市场。

但国内保险公司目前在管理、经营理念、产品创新等方面与国际先进企业相比还有一定差距。

要想持续健康的发展，要把巨大的潜在市场转变为现实的市场，将取决于保险公司能否提高自身的经营管理水平。

所以只有具备了科学的精算理念，中国保险市场才能真正走向成熟。

而大数定律就是精算的基础理论之一，它对保险经营理念的科学性起到了至关重要的作用。

所以每个保险业界人士对于大数定律都应该有个准确认识，只有深刻了解大数定律，最佳应用，才能保证保险业的稳健经营管理。

1.大数定律与保险业密切相关

什么是大数定律呢？

即在随机现象的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这就是大数定律。

比如说你随机地向上抛一枚硬币，很难判断这枚硬币落地后是正面朝上还是反面朝上。

假如你向上抛了10次硬币，可能有5次正面朝上，也可能3次朝上，甚至有可能没有一次正面朝上。

但是如果我们不嫌累，一直不停地抛下去，抛10000次、10000000次，你就会发现，硬币正面朝上和反面朝上的次数越来越近，近似等于总次数的一半。

这就是数学上所说的略带神秘色彩的大数定律。

它是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理。

大数定律揭示了随机现象内在的规律性，是概率论的基础理论之一。

它是研究随机变量和的极限行为，是若干个随机变量和的平均的极限定理——大数定律。

而保险是以经营风险为基础的。

在日常生活中，风险事故是非常多的。

然而风险事故指的就是它的发生是随机的、不确定的。

客观存在的风险具有随机发生性，它在时间、空间和损失程度上都是无法确定的，即风险是否发生，又或者何时何地发生，人们事先都无法确定。

保险为风险提供保障，它将风险从被保险人向保险人转移。

对单个风险而言是一种随机现象，而对于风险总体，我们可以采用大数定律加以确定，将个别风险发生的不确定性转化为确定性。

作为风险管理方式之一的保险，它集中具有同一种类别风险的大量单位和个体，以合理地算出需要分担多少金额的形式，实现对少部分成员因该风险事故所造成的经济上的损失的补偿。

可见，大数定律与保险业密切相关。

大数定律说明，当保险保障的对象的数量很庞大时，我们可以根据之前的相关的数据统计计算出某种损失发生的估计概率，这个概率比较稳定，与这种损失未来实际发生的概率非常接近，我们就可以根据这个概率来计算出我们想要的数值。

保险就是利用风险的随机发生性会在大数中变成确定的规则来分散风险的。

大数定律在保险经营中的主要作用在于使保险人明白如何减少风险，可将企业和个人的若干风险转移到保险人，而由保险人集中大量的企业和个人的风险，利用损失发生的相对稳定性，以达到消除不确定性的功能。

2.保险业中常用的大数定律

保险业是为被保险人提供风险保障的行业，它是以大数定律为数理依据，不仅是在纯保费和损失概率的确定上，而且它贯穿在整个保险经营运作过程中，尤其是保险的理念、保险经营的基本原理的建立均是以大数定律为其理论基础的。

所以，大数定律对于保险业来说是非常的重要的。

下面我们先介绍保险业中常用的一些大数定律。

2.1切比雪夫大数定律

设是由相互独立的随机变量构成的随机变量序列，每一随机变量都有有限的数学期望和方差都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常数C，使得，则对于任意的正数>0，有以下等式成立：

limn→+∞P|1ni=1nXi-1ni=1nE（Xi）|<ε=1

这就是切比雪夫大数定律，关于随机变量的算术平均值趋于稳定的定理。

它说明，尽管每个随机变量由于种种偶然因素取值都很随机变化，但是在某些条件下，只要n足够大，n个随机变量的算术平均就服从一个完全确定的规律，即，这个算术平均只能围绕一个固定常数取值（期望的算数平均值），它和这个常数有显著偏差的可能性是很小的。

这一法则应用于保险经营，可说明保险人所收取的纯保费总额与赔偿金总额在数量上应是相等的，这为如何合理收取纯保费提供了科学的依据。

2.2贝努里大数定律

在互不干扰的实验序列中，假设事件A发生的概率P（A）=p，是事件A在n次贝努里试验中出现的频率，则对于任意的>0，当试验的次数时，有

（贝努里试验：

结果只出现两种可能的试验称为贝努里试验。

如试验结果只有事件A发生与事件A不发生的试验）。

贝努里大数定律说明只要实验次数n足够大，事件A发生的频率就会以相当接近于1的概率逼近概率p。

这正是在重复试验的次数较大时，可以用事件发生的频率近似地代替概率的理论依据。

由贝努里大数定律分析可知，如果事件A发生的概率很小，说明事件发生的频率也很小，即事件很少发生，在实际中概率很小的随机事件在个别试验中几乎不可能发生的，因此常常忽略那些概率很小的事件发生的可能性，这就是小概率事件原理。

贝努里大数定律对于保险经营即风险管理中如何利用之前的数据统计来估计损失概率是极其重要的。

假设某一类标的具有相同的损失概率，为了估计这个概率的值，一般会通过以往有关结果的经验求出一个频率——这类标的发生损失的频率，在观察次数很多或观察周期很长的情况下，这一频率将与实际损失概率很接近。

2.3普阿松大数定律

贝努里大数定律要求事件在每一次实验中事件都以一固定的概率发生，这就限制了大数定律的使用灵活性。

设某一事件A可能在第一次试验中以概率发生，第二次试验以概率发生，…，第n次试验以概率发生。

用表示进行的n次试验中事件A发生的频率，则对于任意的>0，有

这就是普阿松大数定律，它说明当试验次数无限增加时，其平均概率与观察结果所得的频率两者差异的数值将小于任何充分小的正数e的概率为1.普阿松大数定律在保险经营中应用，可以说明尽管各个相互独立的风险单位的损失概率可能各不相同，但只要有足够多的标的，仍可以在平均意义上求出相同的损失概率。

为了有足够多的标的，可以把性质相近的各分类标的集中在一起，分别求出各类标的损失概率，然后求出一个整体的费率，再用调整法给以调整，使各分类费率更加科学，同时又在整体上保证收支平衡。

3.保险业务中大数定律的应用

在保险经济活动中，保险人作为组织者和经营者，通过与投保人订立保险合同的方式，集合众多遭受同样风险威胁的被保险人，按损失分摊原则向每个投保人收取保险费，建立保险基金，用于对某些被保险人因约定保险事故造成的损失给与经济补偿，从而实现保险独特的社会职能。

而这个过程的起始阶段，就是保险业所谓的承保业务，即与被保险人订立保险合同，建立权利与义务的经济关系和契约关系。

我们知道，保险业是以商业经营为目的的，专门通过契约形式集中起来的资金用以补偿被保险人的经济利益业务的行业。

而保险公司以承保业务来保证企业盈利，几乎成为全球保险业的共识。

那么，在承保业务中，保险公司应该注意些什么事宜，使得其公司可以稳定健康的发展呢。

大数定律定律的应用会给我们保险业的运营带来哪些指导呢？

3.1保险业的大数定律类比厂商的规模经济性

保险公司在经营保险业务时包含一个基本原理：

随着承保业务量的增加，风险集合包含的个体风险越多，其相对风险越小。

这表明，个体风险通常有较大的变异性，但是将大量的个体风险集中在一起，风险集合的相对变异性会大大减少，这一特性正是保险赖以存在和发展的基础。

与规模经济相比较，大数定律建立在“大数”的基础上，即要求同质风险单位的大量性。

这种大量性类似于厂商经济行为中的规模经济性，不同之处在于，规模经济性一般是基于厂商层面而言，是以企业为分析载体，通过对生产经营成本的摊薄而获取的收益。

大数定律是基于产品层面而言，通过风险承担主体的增多，将保险产品承担的成本与风险在更多风险单位中的摊薄。

当然，大数定律中所体现的保险经营的规模经济性是受可保风险单位数制约的。

假设保险人承保了危险一样、互不影响的n个风险单位，相互独立且同分布的随机变量表示每个保险单位的损失量，对单个被保险人而言，面临的损失是实际损失与期望损失EX的偏差，用X的标准差:

表示。

平均每个被保险人的损失与损失偏差分别为:

，

在上式中，保险人直面的总体损失为，其方差为，标准差为，而所有单个被保险人直面的危险总和的标准差为，显然<，即保险人面临的整体危险小于所有单个被保险人面临的危险总和。

所以，如果把n个被保险人组合成一个整体，则当中的任何一个被保险人直面的平均危险就会随着被保险人数的增加而减少。

当然，由于保险公司风险控制技术的局限性及保险双方的信息不对称，会出现一些异常风险单位，经营规模的扩大反而导致了经营风险的增加或成本的提升。

为使大数定律充分发挥其作用，在技术上应注意包括尽量多的相似性质的风险单位，各个风险单位价值不应过分悬殊，应力求接近，各个风险单位力求相互独立，减少连锁反应损失的发生。

此外，厂商扩大规模超过一定限度会产生由于管理费用等增加而带来的规模不经济，这一物极必反的规律在大数定律中是不存在的。

这也是大数定律与规模经济的相异之处。

但在某种程度上，大数定律仍可看作规模经济性在保险领域的特殊体现。

此外，从进入壁垒角度看，保险公司的规模经济是指保险业对于行业潜在进入者的绝对资本要求。

一个保险公司，要求其有足够的承保业务规模，从而来降低风险集合的相对风险，才能使公司得以健康发展。

3.2赔偿金为常数

大数定律应用在保险学上，一个方面就是保险的赔偿遵从大数定律。

其含义是：

参加某项保险的投保人多如牛毛，虽然每一个投保人的情况不尽相同，但是，对于保险公司来说，基本上平均每一个人的赔偿金几乎恒等于一个常数。

例如某一保险公司有10000个年纪相仿的人参加人寿保险，每一个人每年需要付12元的保险费，并且在一年之中一个人意外去世的概率为0.006，不幸死亡后，其家属可以从保险公司那里获赔1000元。

试问：

平均每个发生意外的不幸者获得赔偿金5.9元至6.1元的概率是多少？

设Xi表示第i个不幸者家属从保险公司获得的赔偿金，则E（Xi）=6，D（Xi）=5.964（i=1,2，…，10000），诸Xi相互独立。

则`X=1/10000（i=110000Xi）表示每个不幸者家属从保险公司获得的赔偿金，E（X）=6,D（X）=5.964*10-4,由中心极限定理，X~N（6,0.02442）

P（5.9<`X<6.1）=F（5.9-60.0245）-F（6.1-60.0245）=2F（4.09）-1=0.99996

虽然每一个不幸者的赔偿金差异很大（有的是0，有的是1000元），但保险公司平均下来对每个不幸者的支付简直恒等于6元，在5.9元至6.1元内的概率接近1，几乎是必然的，所以对保险公司来说，只关心这个平均数，几个或者一部分投保户在短时间里发生意外，此时就可能需要支付一笔比较大数额的赔偿金，当然，这种可能性微乎其微，保险公司是从长久经营出发的，所以他们会忽略掉这种所谓的巨大损失，他们看中的是整体的平均赔偿金均值。

我们常说保险就像蓄水池，每个人拿出一点保险，保险公司把这些资金集中起来管理运营，可以弥补少数不幸者所遭受的损失。

只有更好的得到这个赔偿金常数，制定合理的保险费，我们大家参与的蓄水池机制的人便会越来越多，蓄水池的作用发挥就会越稳定。

3.3纯保费以及损失概率的确定

3.3.1纯保费的确定

保险经营过程中的收支平衡原则是根据大数定律而制定的，个别风险发生的不确定性将在大数中消失，转为确定性的。

当被保险人很多，且达到一定数目时，保险人对每个被保险人的将来可能支出是不确定的，但保险人的支出总额是相对确定的，保险人可以把总的赔偿金额摊到每个被保险人的头上，形成单个被保险人应交纳的保费，于是有了简单的收支平衡：

收取的纯保费总额=赔款支出总额。

这里我们就用到了大数定律中的切比雪夫大数定律，即关于大量随机变量取值其算术平均值的稳定性。

设有n个被保险人，同时投保n个相互独立的标的，假定每个标的发生都有发生损失的可能，则每个被保险人都有获得赔款的可能，其金额是一个随机变量，分别用来表示。

所以n个被保险人实际获

得的赔款总额是k=1nXk，平均每个被保险人获得的赔款为。

由于每个标的是相互独立的，所以这些随机变量都是相互独立的，的期望值为E（）,E（）,…E（）,赔款额期望的算术平均值为，这样，

代表金额的随机变量满足了切比雪夫大数定律的条件。

所以，当n足够大时，平均每个被保险人实际获得赔款金额与每个被保险人获得赔款金额的期望值的算术平均值相等。

固然任何保险公司承保无限多个标的是不现实的，但一家保险公司要是能承保非常多的标的，平均被保险人实际获得的赔款金额与每个被保险人获得的赔款金额的期望值的算术平均值之间的差异就很小，如果能把这种很小的差别忽略掉不考虑，就可以认为二者相等。

这说明，每个被保险人都要缴纳相当于其所获得赔款的期望值的纯保费。

每一个保险产品的保费都是根据保险金额和一些定价假设计算出来的。

我们知道，保险公司所收取的保费=纯保费+附加费。

纯保费（排除时间利息等因素）是针对未来所有赔偿总额制定的，即纯保费总额=未来赔偿支出总额。

而附加费是以保险人经营保险业务的各种营业费用支出和保险利润为基础的。

而我们前面介绍过，大数定律的切比雪夫大数定律为纯保费的制定提供了科学方法基础。

假设某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，根据生命表以及公司的以往有关经验，该公司确定一个人在一年内死亡的概率为0.006，先拟定一个人死亡时可获得的保险金额为1000元，那公司应该怎样制定其保费呢？

此时，我们可以假定表示保险公司支付给第i户的赔偿金，则，我们知道，的分布律如下图所示：

计算可得，=0*0.994+1000*0.006=6，（i=1,2…10000），诸相互独立，则表示的是保险公司平均对每户的赔偿额。

=6，那么，根据切比雪夫大数定律得，保险公司在制定保费时可取的纯保费值即为6元。

当然，这个例子简单化了现实中的保险的风险集合，使得全部个别风险之间独立同分布。

而实际保险问题中，一般风险集合内的个别风险之间独立但不同分布。

所以，保险公司对个别风险的未来赔偿额的各自期望值有差异。

这时，保险人分担损失的形式是多种多样的。

即当被保险人发生损失的多少和概率大致相近时，保险人可以采取平均分摊损失总额；当被保险人发生损失的多少和概率存在相当大的个体差异时，保险人不能简单的均摊，而是根据被保险人实际的风险水平，风险大则多交保费，风险小则少交保费，实行差别费率。

这样的做法依然是以大数定律为基础的。

3.3.2损失概率的确定

上面我们已经介绍了切比雪夫大数定律为制定纯保费提供了科学的计算方法。

而关于对损失概率的估计，又跟大数定律之间有什么联系呢？

损失频率亦称损失机会，是指在一定时间内一定数目的危险单位中可能受到损失的次数或程度，通常以分数或百分率来表示,即：

损失频率＝损失次数／危险单位数。

根据贝努里大数定律以及普阿松大数定律，我们知道，当保险标的数目n足够大时，损失频率会趋于一个稳定值，即所谓的损失概率。

关于损失概率的估计，也是保险业的一个重点内容。

贝努里大数定理是关于对随机变量的频率稳定性给出了一种数学表示形式，并论证了结论的正确性。

其对于保险经营及风险管理中如何运用之前的统计数据来估量损失概率是十分重要的。

假定某一类的标的具有相同的损失概率，为了估计这个概率的值，一般通过以往有关结果的经验求出一个频率——这类标的发生损失的频率，在观察次数很多或观察周期很长的情况下，这一频率将与实际损失概率很接近，可以作为损失概率的近似估计值。

然而贝努里大数定理要求事件在每一次试验中都以一固定概率发生，这就限制了大数定律使用的灵活性。

我们知道，我们可以把贝努里大数定律看成是普阿松大数定律的特殊情况，当且仅当事件在每次试验中都以固定概率发生。

所以，这时我们可以进一步用普阿松大数定律来确定损失概率。

其在保险经营中的应用，可以说明尽管各个相互独立的风险单位的损失概率可能各不相同，但只要有足够多的标的，仍可以在平均意义上求出相同的损失概率。

为了有足够多的标的，可以把性质相近的各分类标的集中在一块，分别求出各类保障对象的损失概率，然后求出一个整体的费率，再用调整法给以调整，使各分类费率更加科学，对风险不同的各个个体风险更具有公平性，同时又在整体上保证收支平衡。

结语

本文讨论了大数定律与保险业稳健发展的密切相关性。

主要从保险的承保业务环节来说明大数定律在保险业中的重要应用：

在保险的承保业务环节，经营保险业务时随着承保业务量的增加，风险集合包含的个体风险越多，其相对风险越小，这一特性正是保险赖以存在和发展的基础；而保险经营过程中的收支平衡原则是根据大数定律而制定的，个别风险发生的不确定性将在大数中消失，转为确定性的，即可利用切比雪夫大数定律帮助计算出保险的纯保费。

而贝努里大数定律和普阿松大数定律是对随机变量的频率稳定性给出了一种数学表示形式，其对于保险经营及风险管理中如何利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。

赔偿金通过计算能够得到一系列相差毫厘的几乎相等数，保险公司可以利用这个数值来更好运营。

总而言之，大数定律与保险业密切相关，它贯穿在整个保险经营运作过程中，尤其是保险的理念、保险经营的基本原理的建立均是以大数定律为其理论基础的。

所以要稳健经营保险公司，必须深刻了解大数定律。

参考文献

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