数学教案分组分解法八年级数学教案模板.docx

数学教案分组分解法八年级数学教案模板.docx

《数学教案分组分解法八年级数学教案模板.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学教案分组分解法八年级数学教案模板.docx（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

数学教案分组分解法八年级数学教案模板

数学教案－分组分解法_八年级数学教案_模板

教学目标　　1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；

　　2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.

　　教学重点和难点

　　重点：

在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.

　　难点：

灵活运用已学过的因式分解的各种方法.

　　教学过程（）设计

　　一、复习

　　把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.

（1）a2－ab+3b－3a；　　

（2）x2－6xy+9y2－1；

　　（3）am－an－m2+n2；　　（4）2ab－a2－b2+c2.

　　解

（1）a2－ab+3b－3a

　　　　　=（a2－ab）－（3a－3b）

　　　　　=a（a－b）－3（a－b）

　　　　　=（a－b）（a－3）;

（2）x2－6xy+9y2－1

　　　　　=（x－3y）2－1

　　　　　=（x－3y+1）（x－3y－1）;

　　　　（3）am－an－m2+n2

　　　　　=（am－an）－（m2－n2）

　　　　　=a（m－n）－（m+n）（m－n）

　　　　　=（m－n）（a－m－n）;

　　　　（4）2ab－a2－b2+c2

　　　　　=c2－（a2+b2－2ab）

　　　　　=c2－（a－b）2

　　　　　=（c+a－b）（c－a+b）.

　　第

（1）题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.

　　第

（2）题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式

继续分解因式.

　　第（3）题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.

　　第（4）题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式

，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.

　　把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运

用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.

　　这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.

　　二、新课

　　例1把分解因式.

　　问：

根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?

　　答：

这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.

　　解方法一

　　方法二

　　　　　　　　　　；

　　例2把分解因式.

　　问：

观察这个多项式有什么特点?

是否可以直接运用分组法进行因式分解?

　　答：

这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.

　　解：

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

例3把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.

　　分析：

这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：

一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.

　　解　45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a（9m2－4x2+4xy－y2）

　　　　　　　　　　　　=5a[9m2－（4x2－4xy+y2）]

　　　　　　　　　　　　=5a[（3m2）－（2x－y）2]

　　　　　　　　　　　　=5a（3m+2x－y）（3m－2x+y）.

　　例4把2（a2－3mn）+a（4m－3n）分解因式.

　　分析：

如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了.

　　解2（a2－3mn）+a（4m－3n）=2a2－6mn+4am－3an

　　　　　　　　　　　　　=（2a2－3an）+（4am－6mn）

　　　　　　　　　　　　　=a（2a－3n）+2m（2a－3n）

　　　　　　　　　　　　　=（2a－3n）（a+2m）.

　　指出：

如果给出的多项式中有因式乘积，这时可先进行乘法运算，把变形后的多项式按照分组原则，用分组分解法分解因式.

三、课堂练习

　　把下列各式分解因式：

（1）a2+2ab+b2－ac－bc；　　

（2）a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；

　　（3）4a2+4a－4a2b+b+1；　　（4）ax2+16ay2－a－8axy；

　　（5）a（a2－a－1）+1；　　　（6）ab（m2+n2）+mn（a2+b2）；

　　答案：

（1）（a+b）（a+b－c）；　　　　

（2）（a－b+m+m）（a－b－m－n）；

　　（3）（2a+1）（2a+1－2ab+b）；　（4）a（x－4y+1）（x－4y－1）；

　　（5）（a－1）2（a+1）； 　　　（6）（bm+an）（am+bn）.

　　四、小结

　　1.把一个多项式因式分解时，如果多项式的各项有公因式，就先提出公因式，把原多项式变为这个公因式与另一个因式积的形式.如果另一个因式是四项（或四项以上）的多项式，再考虑用分组分解法因式分解.

　　2.如果已知多项式中含有因式乘积的项与其他项之和（或差）时（如例3），先去掉括号，把多项式变形后，再重新分组.

　　五、作业

　　1.把下列各式分解因式：

（1）x3y－xy3；　　　　　

（2）a4b－ab4；

　　（3）4x2－y2+2x－y；　　　（4）a4+a3+a+1；

　　（5）x4y+2x3y2－x2y-2xy2；　（6）x3－8y3－x2－2xy－4y2；

　　（7）x2+x－（y2+y）；　　　（8）ab（x2－y2）+xy（a2－b2）.

　　2.已知x－2y=－2b=－4098，求2bx2－8bxy+8by2－8b的值.

　　答案：

　　1.

（1）xy（x+y）（x－y）；　　　

（2）ab（a－b）（a2+ab+b2）；

　　 （3）（2x－y）（2x+y+1）；　　（4）（a+1）2（a2－a+1）；

　　　（5）xy（x+2y）（x+1）（x－1）；　（6）（x2+2xy+4y2）（x－2y－1）；

　　　（7）（x－y）（x+y+1）；　　　（8）（ax－by）（bx+ay）.

　　2.原式=2b（x－2y+2）（x－2y－2）当x－2y=－2，b=－4098时，原式的值=0.

　　课堂教学设计说明

　　1.突出“通法”的作用.

　　对于含四项的多项式，可以根据所给的多项式的特点，常采取“二、二”分组或“一、三”分组的方法进行因式分解，这是运用分组法把多项式分解因式的通法，是带有规律性和程序性的解题思路，学生应切实掌握.安排例1的目的是：

引导学生运用分组的通法把一个含有六项的多项式分解因式，促使学生能举一反三，触类旁通.

　　2.加强各种方法的纵横联系.

　　把分组分解法与提公因式法和公式法之间结合为一体，进行纵横联系，综合运用，考察学生掌握因式分解的方法和技能的状况是这节课教学设计的目标.通过讨论例3，引导学生综合应用三种方法把多项式分解因式，以开发学生解题思路的变通性和灵性活，对于启迪学生的思维和开阔学生的视野起到重要作用.

　　3.打通相反的思维过程.

　　因式分解与整式乘法是相反的变形，也是相反的思维过程，学生在学习多项式的因式分解时，也应当适当联系整式的乘法.安排例4，目的是引导学生认识到，在把多项式因式分解时，如果给出的多项式出现了有因式乘积的项，但又不能提取公因式，这时就需要进行乘法运算，把变形后的多项式重新分组，再分解因式，从而启发学生在学习数学时，应善于对数学知识和方法融汇贯通习惯于正向和逆向思维.

探究活动

　　系数为1的型的二次三项式同学们已经会分解因式了，那么二次项系数不是1的二次三项式怎么分解呢？

如：

　　1．；2..

　　有兴趣的同学可以模仿型式子的因式分解试着把上面两式分解因式,你能总结出规律吗?

　　答案:

　　1.;2..

　　规律：

二次项系数不是1的二次三项式分解因式时，若满足下列条件，则可将其分解为：

　　可分解为，即

　　可分解为，即

　　，，，满足，即

按斜线十字交叉相乘的积之和若与一次项系数相等，则可分解因式，

　　第一个因式由第一行的两个数组成

　　第二个因式由第二行的两个数组成

　　分解结果为：

教学建议

　　1．教材分析

（1）知识结构：

（2）重点和难点分析：

　　重点：

四边形的有关概念及内角和定理.因为四边形的有关概念及内角和定理是本章的基础知识，对后继知识的学习起着重要的作用.

　　难点：

四边形的概念及四边形不稳定性的理解和应用.在前面讲解三角形的概念时，因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的，也就是说，三角形肯定是平面图形，而四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义中加上“在同一平面内”这个条件，这几个字的意思学生不好理解，所以是难点.

　　2．教法建议

（1）本节的引入最好使用我们提供的多媒体课件，通过这个课件，使学生认识到这些四边形都是常见图形，研究它们具有实际应用意义，从而激发学生学习数学的兴趣.

（2）本节的教学，要以三角形为基础，可以仿照三角形，通过类比的方法建立四边形的有关概念，如四边形的边、顶点、内角、外角、内角和、外角和、周长等都可同三角形类比，要结合三角形、四边形的图形，对比着指给学生看，让学生明确这些概念.

　　（3）因为在三角形中没有对角线，所以四边形的对角线是一个新概念，它是解决四边形问题时常用的辅助线，通过它可以把四边形问题转化为三角形问题来解决.结合图形，让学生自己动手作四边形的一条对角线，并观察四边形的一条对角线把它分成几个三角形？

两条对角线呢？

使学生加深对对角线的作用的认识.

　　（4）本节用到的数学思想方法是化归转化的思想和类比的思想，教师在讲解本节知识时要渗透这两种思想方法，并且在本节小结中对这两种数学思想方法进行总结，使学生明白碰到复杂的、未知的问题要转化为简单的、已知的问题.

一、素质教育目标

（一）知识教学点

　　1．使学生掌握四边形的有关概念及四边形的内角和外角和定理．

　　2．了解四边形的不稳定性及它在实际生产，生活中的应用．

（二）能力训练点

　　1．通过引导学生观察气象站的实例，培养学生从具体事物中抽象出几何图形的能力．

　　2．通过推导四边形内角和定理，对学生渗透化归思想．

　　3．会根据比较简单的条件画出指定的四边形．

　　4．讲解四边形外角概念和外角定理时，联系三角形的有关概念对学生渗透类比思想．

　　（三）德育渗透点

　　使学生认识到这些四边形都是常见的，研究他们都有实际应用意义，从而激发学生学习新知识的兴趣．

　　（四）美育渗透点

　　通过四边形内角和定理数学，渗透统一美，应用美．

　　二、学法引导

　　类比、观察、引导、讲解

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．教学重点：

四边形及其有关概念；熟练推导四边形外角和这一结论，并用此结论解决与四边形内外角有关计算问题．

　　2．教学难点：

理解四边形的有关概念中的一些细节问题；四边形不稳定性的理解和应用．

　　3．疑点及解决办法：

四边形的定义中为什么要有“在平面内”，而三角形的定义中就没有呢？

根据指定条件画四边形，关键是要分析好作图的顺序，一般先作一个角．

　　四、课时安排

　　2课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、四边形模型、常用画图工具

　　六、师生互动活动设计

　　教师引入新课，学生观察图形，类比三角形知识导出四边形有关概念；师生共同推导四边形内角和的定理，学生巩固内角和定理和应用；共同分析探索外角和定理，学生阅读相关材料．

第一课时

　　七、教学步骤

　　【复习引入】

　　在小学里已经对四边形、长方形、平形四边形的有关知识有所了解，但还很肤浅，这一

　　章我们将比较系统地学习各种四边形的性质和判定分析它们之间的关系，并运用有关四边形的知识解决一些新问题．

　　【引入新课】

　　用投影仪打出课前画好的教材中P119的图．

　　师问：

在上图中你能把知道的长方形、正方形、平行四边形、梯形找出来吗？

（启发学生找上述图形，最后教师用彩色笔勾出几个图形）．

　　【讲解新课】

　　1．四边形的有关概念

　　结合图形讲解四边形，四边形的边、顶点、角，凸四边形，四边形的对角线（同时学生在书上画出上述概念），讲解这些概念时：

（1）要结合图形．

（2）要与三角形类比．

　　（3）讲清定义中的关键词语．如四边形定义中要说明为什么加上“同一平面内”而三角形的定义中为什么不加“同一平面内”（三角形的三个顶点一定在同一平面内，而四个点有可能不在同一平面内，如图4—2中的点．我们现在只研究平面图形，故在定义中加上“在同一平面内”的限制）．

　　（4）强调四边形对角线的作用，作为四边形的一种常用的辅助线，通过它可以把四边形问题转化为三角形来解（渗透化归思想），并观察图4－3用对角线分成的这些三角形与原四边形的关系．

　　（5）强调四边形的表示方法，一定要按顶点顺序书写四边形如图4—1．

　　（6）在判断一个四边形是不是凸四边形时，一定要按照定义的要求把每一边都延长后再下结论如图4－4，图4－5．

　　2．四边形内角和定理

　　教师问：

（1）在图4－3中对角线AC把四边形ABCD分成几个三角形？

（2）在图4－6中两条对角线AC和BD把四边形分成几个三角形？

　　（3）若在四边形ABCD如图4－7内任取一点O，从O向四个顶点作连线，把四边形分成几个三角形．

　　我们知道，三角形内角和等于180°，那么四边形的内角和就等于：

　　①2×180°＝360°如图4—6；

　　②4×180°－360°＝360°如图4－7．

　　例1 已知：

如图4—8，直线于B、于C．

　　求证：

（1）;

（2）.

　　本例题是四边形内角和定理的应用，实际上它证明了两边相互垂直的两个角相等或互补的关系，何时用相等，何时用互补，如果需要应用，作两三步推理就可以证出．

　　【总结、扩展】

　　1．四边形的有关概念．

　　2．四边形对角线的作用．

　　3．四边形内角和定理．

　　八、布置作业

　　教材P128中1

（1）、2、3．

　　九、板书设计

四边形

（一）

四边形有关概念

四边形内角和

例1

　　十、随堂练习

　　教材P122中1、2、3.

一、教学目标　　1.了解立方根和开立方的概念；

　　2.会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算；

　　3.培养学生用类比的思想求立方根的运算能力；

　　4.由立方与立方根的教学，渗透数学的转化思想；

　　5.通过立方根符号的引入体验数学的简洁美.

　二、教学重点和难点

　　教学重点：

立方根的概念与性质．

　　教学难点：

会求某些数的立方根．

　三、教学方法

　　启发式，讲练结合

　四、教学手段

　　幻灯片．

　五、教学过程（）

（一）复习提问

　　请同学们回忆一下，平方根我们是如何定义的？

平方根有哪些性质？

　　在同学们回答后，启发学生是否可试着给数的立方根下个定义．

　　1．立方根的概念：

　　如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根．（也称数a的三次方根）

　　用数学式表示为：

　　若x3=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根．

　　2．立方根的表示方法：

　　类似于平方根德表示方法，数a的立方根我们用符号来表示.读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，注意，在前面我们学习平方根的表示方法说过当根指数为2时可以省略不写，现在是立方根了，这个根指数3是绝对不可省的，否则就会与平方根混淆了，例如表示125的立方根，而则表示125的算术平方根.

　　练习：

用根号表示下列各数的立方根：

　　3．开立方概念：

　　求一个数的立方根的运算，叫做开立方．

　　4．开立方运算与立方运算互为逆运算．

　　因此，我们可以根据立方运算来求一些数的立方根．

　　例1．求下列各数的立方根：

　　解：

（1）∵（-2）3=-8，

（2）∵23=8，

　　（4）∵ （0.6）3=0.216，

　　（5）∵03=0，

　　下面我们思考这样一个问题：

一个正数有几个平方根？

负数有没有平方根？

一个正数有几个立方根？

负数有没有立方根？

请学生来回答这个问题．由前面刚刚做过的题我们不难看出像8、0.126、103、这样的正数，有一个正的立方根；像-8、、这样的负数有一个负的立方根；0的立方根是0．由此我们得了立方根的性质．

　　5．立方根的性质：

（1）正数有一个正的立方根．

（2）负数有一个负的立方根．

　　（3）0的立方根是0．

　　这里我们不妨与平方根的性质做个比较，平方根中，正数有两个平方根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根；在平方根中负数是没有平方根的，而负数有一个负的立方根；平方根与立方根唯一相同之处是0的平方根，立方根都是它本身．

例2．求下列各式的值：

　　解：

（1）∵33=27，

（2）∵（-3）3=-27，

　　（5）∵ （102）3=106，

　　（6）∵ （103）3=109，

　　例3．解方程：

（1）x3=0.125；

（2）3（x-4）3-1536=0．

　　解：

（1）x3=0.125

　　　x=0.5．

（2）3（x-4）3-1536=0（此题可由学生先做，教师纠正错误）

　　　3（x-4）3=1536

　　　（x-4）3=512

　　　x-4=8

　　　x=12．

　　尽管我们学习了立方根，而我们也只能由立方根的定义求解x3=a（a为常数）这一类型的

　　简单的三次方程，所以像第

（2）小题，我们要把（x-4）看成一个整体，依然转化成为x3=a的形式，再由立方根定义去解．

　　填空练习：

（1）1的平方根是____；立方根为____；算术平方根为____．

（2）平方根是它本身的数是____．

　　（3）立方根是其本身的数是____．

　　（4）算术平方根是其本身的数是________．

　　（5）的立方根为________.

　　（6）的平方根为________.

　　（7）的立方根为________.

　　（8）一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是____________；立方根是____________．

　　解：

（1）±1；1；1．

（2）0．（此题学生容易把1也算进去，注意纠正他们的错误．）

　　（3）±1和0．（由此题，再复习一道立方根的性质．）

　　（4）0，1．（此题有学生可能会忘掉0．）

　　（5）-2（此题学生易得出-4的答案，应引导学生将翻译为-8，在求立方根，也有学生将看成得到，讲解时注意）

　　（6）（此题首先让学生把计算出来，再求平方根，而且平方根有两个）

　　（7）-2．

　　（8），（此题引导学生先根据算术平方根来表示被开方数为a2，再表示相邻的下一个自然数为a2+1，注意表示其平方根时有两个值．）

　六、总结

　　今天我们主要学习了立方根的概念和性质，一定要与平方根的概念和性质相对比去理解．平方根与立方根是今后我们学习中经常会用到的两个非常重要的概念，希望同学们能够熟练地掌握它，尤其是它们之间的联系与区别．

　七、作业

　　教材P．141练习1、2、4．

　八、板书设计

探究活动

立方根近似值的求法

　　当立方根是一位整数时，很容易求出这个立方根；但当立方根是两位或两位以上的整数时，也能容易地求出吗？

例如求140608的立方根，怎样求容易？

　　下面就介绍它的巧妙求法．

　　先用前三位数140来确定立方根的十位数．因为53＜140＜63，所以十位数是5，而不是6．再用最后一位数8来确定立方根的个位数．因为23＝8，所以个位数是2．就是说，140608的立方根是52．确定立方根的个位数时要注意下面规律：

我们知道：

13＝1，43＝64，53＝125，63＝216，93＝729，就是说当被开方数的末位数是1、4、5、6、9时，立方根的个位数就等于它本身（1、4、5、6、9）；

　　因为23＝8，83＝512，就是说当被开方数的末位数是8和2时，立方根的个位数就分别是2和8，叫做2与8互换原则；同样还有3与7互换原则（被开方数的末位数分别是3和7，立方根的个位数就分别是7和3）．

　　一般地，如果103＜a＜1003，且a是能开尽立方的数，那么就能用这种方法求a的立方根．请用这种方法求下列各数的立方根：

　　21952，50653，79507，287496，970299．

一、教学目标　　1．使学生理解分式方程的意义．

　　2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．

　　3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．

　　4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．

　　5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．

　　二、教学重点和难点

　　1．教学重点：

（1）可化为一元一次方程的分式方程的解法．

（2）分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．

　　2．教学难点：

理解解分式方程时产生增根的原因．

　　三、教学方法

　　启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．

　　四、教学手段

　　演示法和同学练习相结合，以练习为主．

　　五、教学过程

（一）复习及引入新课

　　1．提问：

什么叫方程？

什么叫方程的解？

　　答：

含有未知数的等式叫做方程．

　　使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．

　　2．

　　解：

（1）当时，

　　　左边=，

　　　右边=0，

　　　∴左边=右边，

　　　∴

（2）

　　（3）

　　3、在本章开始我们曾提出一个问题，经过分析得到问题的量为两个分式：

，根据量间的关系列出方程：

　　这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：

分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．

（二）新课

　　板书课题：

　　板书：

分式方程的定义．

　　分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．

　　练习：

判断下列各式哪个是分式方程．（投影）

（1）；　

（2）；　（3）；

　　（4）；　（5）

　　在学生回答的基础上指出

（1）、

（2）是整式方程，（3）是分式，（4）（5）是分式方程．

　　1、如何求解方程？

　　先由同学讨论如何解这个方程．

　　在同学讨论的基础上分析：

由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．如何去掉？

方程两边同乘最简公分母.

　　解：

两边同乘以最简公分母x（x-6）得

　　　90（x-6