最新届高考数学解题技巧第2讲+填空题的解题方法与技巧优秀名师资料.docx
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最新届高考数学解题技巧第2讲+填空题的解题方法与技巧优秀名师资料
2011届高考数学解题技巧：
第2讲填空题的解题方法与技巧
2011届高考数学解题技巧:
第2讲填空题的解题方法与技巧.txt你妈生你的时候是不是把人给扔了把胎盘养大,别把虾米不当海鲜。
别把虾米不当海鲜。
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第2讲
填空题的解题方法与技巧题型特点概述
填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样，填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样，属于客观性试题（属于客观性试题（它只要求写出结果而不需要写出解答过程（在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等（不同省在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等（份的试卷所占分值的比重有所不同（份的试卷所占分值的比重有所不同（1（填空题的类型（填空题主要考查学生的基础知识、填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点（从填写内容看，主要有两类:
结论等特点（从填写内容看，主要有两类:
一类是定量填写，一类是定性填写（填写，一类是定性填写（
2（填空题的特征（填空题不要求写出计算或推理过程，填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”填空题与选择题也有质的区别:
第一，写出的“求解题”（填空题与选择题也有质的区别:
第一，表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之表现为填空题没有备选项，因此，好处，但也有缺乏提示之不足;第二，好处，但也有缺乏提示之不足;第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容（既可以既可以是条件，也可以是结论，留下空位，让考生独立填上，是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活（查方法比较灵活（从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分（因此，解填空题要求在“快速、准确”毛病，便是零分（因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”则必须合理灵活地运用恰当的方法，要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在字上下功夫（“巧”字上下功夫（
3（解填空题的基本原则（解填空题的基本原则是“小题不能大做”解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”（解填空题的常用方法有:
直接法、数形结合法、巧做”解填空题的常用方法有:
直接法、数形结合法特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等（特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等（
解题方法例析
题型一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结法则等知识，通过变形、推理、计算等，论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、识地采用灵活、简捷的解法（识地采用灵活、简捷的解法（在等差数列{a中,,3,11a5,5a8,13，则数列例1在等差数列n}中，a1,,，的前n项和{an}的前项和n的最小值为的前项和S的最小值为（（思维启迪
计算出基本量d找到转折项即可（计算出基本量d，找到转折项即可（
解析
设公差为d，设公差为，则11（,3，4d）,5（,3，7d）,13，,，,,，,，
5?
d,.,9为递增数列（?
数列{an}为递增数列（数列为递增数列532令an?
0，?
3，（n,1）?
?
0，?
n?
，，，,，?
95?
n?
N*.?
29?
前6项均为负值，?
Sn的最小值为6,,.项均为负值，的最小值为S项均为负值329答案,3探究提高本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公
式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值（
变式训练1是等差数列{a的前项和，已知a的前n项和变式训练设Sn是等差数列n}的前项和，已知2,3，a6，,11，则S7,.，49
7（a1，a7）解析方法一S7,27（a2，a6）7×（3，11）,,,49.22故填49.方法二
a,a，d,3，?
21由?
?
a6,a1，5d,11?
?
a,1，?
1可得?
?
d,2，?
?
a7,1，6×2,13.7（a1，a7）7×（1，13）?
S7,,,49.22故填49.
题型二
特殊值法
特殊值法在考试中应用起来比较方便，特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行（当暗示答案是一个“特殊到一般，优点是简便易行（当暗示答案是一个“定就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式（般形式变为特殊形式（当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效（出时，特例法尤其有效（
已知?
的三个内角A、、的对边分别为的对边分别为a、、，例2已知?
ABC的三个内角、B、C的对边分别为、b、c，的三个内角（sinA,sinC）（a，c）,，且满足,sinA,sinB，则C,.,，,b
思维启迪思维启
题目中给出了?
ABC的边和角满足的一个关题目中给出了?
的边和角满足的一个关
系式，由此关系式来确定角C的大小的大小，系式，由此关系式来确定角的大小，因此可考虑一些特殊的三角形是否满足关系式，特殊的三角形是否满足关系式，如:
等边三角形、直角等边三角形、三角形等，若满足，则可求出此时角的大小的大小（三角形等，若满足，则可求出此时角C的大小（
解析容易发现当?
ABC是一个等边三角形时，满足（sinA,sinC）（a，c）,sinA,sinB，而此时C,60?
，故角Cb的大小为60?
.
60?
答案60?
特殊值法的理论依据是:
若对所有值都成立，探究提高特殊值法的理论依据是:
若对所有值都成立，那么对特殊值也成立，那么对特殊值也成立，我们就可以利用填空题不需要过程只需要结果这一“弱点”程只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求值（在以偏概全”来求值（解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题解决一些与三角形、如正三角形、时，可根据题意，选择其中的特殊图形（如正三角形、正可根据题意，选择其中的特殊图形如正三角形方形）等解决问题（此题还可用直接法求解如下:
方形等解决问题（此题还可用直接法求解如下:
等解决问题（sinA,sinC）（a，c）,，由,sinA,sinB可得,可得b（a,c）（a，c）,，,a,b，整理得，a2,c2,ab,b2，即a2，b2,，整理得,ba2，b2,c21,c2,ab.由余弦定理，得cosC,由余弦定
理，,,，所以C所以由余弦定理2ab2,60?
.
变式训练2所对的边分别为a、变式训练在?
ABC中，角A、B、C所对的边分别为、中、、所对的边分别为cosA，cosC，b、c，如果、b、c成等差数列，则成等差数列，、，如果a、、成等差数列,1，cosAcosC，
4.5解析方法一取特殊值a,3，b,4，c,5，则cosAcosA，cosC4A，cos4,，cosC,0，,.51，cosAcosC5
方法二
π1取特殊角A,B,C,，cosA,cosC,，32
cosA，cosC4,.1，cosAcosC5
例3如图所示，在?
ABC中,AO是BC边上如图所示，中是边上
?
的中线，K为AO上一点，且OA,2AK,的中线，为上一点，?
上一点
过点K的直线分别交直线、于不同过点的直线分别交直线AB、AC于不同的直线分别交直线的两点M、，的两点、N，若AB,mAM，AC,nAN，则m，n，,.思维启迪
?
?
?
?
题目中过点K的直线是任意的，因此m和n的值
是变化的，但从题意看m，n的值是一个定值，故可取一条特殊的直线进行求解（
解析
平行时，MN就是?
ABC的一就是?
当过点K的直线与BC平行时，
?
?
条中位线（?
?
的中点）（这时由于有AB条中位线?
OA,2AK，?
K是AO的中点（这时由于有
mAM，AC,nAN，因此m,n,2，故m，n,4.,,，，,
?
?
?
答案4
探究提高本题在解答中，充分考虑了“直线虽然任意,但m，n的值却是定值”这一信息，通过取直线的一个特殊位置得到了问题的解,显得非常简单,在求解这类填空题时，就要善于捕捉这样的有效信息,帮助我们解决问题（
变式训练3设O是?
ABC内部一点，且OA，OC,,?
，内部一点，?
?
,2OB变式训练是内部一点的面积之比为（则?
AOB与?
AOC的面积之比为1（与的面积之比为
解析采用特殊位置，可令?
ABC为正三角形，则根据OA，OC,,2OB可知，O是?
ABC的中心，则OA,OB,OC，所以?
AOB?
?
AOC，即?
AOB与?
AOC的面积之比为1.
?
?
?
题型三
图象分析法（数形结合法图象分析法数形结合法）数形结合法
依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显（几何意义一般较为明显（由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形因而有些问题可以借助于图形，状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，上简单的运算，一般就可以得出正确的答案（上简单
的运算，一般就可以得出正确的答案（事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既浅显易懂，又能节省时间（浅显易懂，又能节省时间（利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容（的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容（
已知方程（x例4已知方程2,2x，m）（x2,2x，n）,0的四个根组成一个，，,的四个根组成一个11的等差数列，的值等于（首项为的等差数列，则|m,n|的值等于,的值等于（24思维启迪
考虑到原方程的四个根，其实是抛物线y,x2
2x，m与y,x2,2x，n和x轴四个交点的横坐标，所以可以利用图象进行求解（解析如图所示，易知抛物线y,x2,2x
，m与y,x2,2x，n有相同的对称轴x,1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.17因为xA,4，则xD,4.35又|AB|,|BC|,|CD|，所以xB,4，xC,4.17351故|m,n|,|4×4,4×4|,2.
本题是数列问题，但由于和方程的根有关系，探究提高本题是数列问题，但由于和方程的根有关系，故可借助数形结合的方法进行求解，因此在解题时，故可借助数形结合的方法进行求解，因此在解题时，我们要认真分析题目特点，充分挖掘其中的有用信息掘其中的有用信息，要认真分析题目特点，充分挖掘其中的有用信息，寻求最简捷的解法（简捷的解法（
变式训练4已知定义在R上的奇函数满足,4）,,上的奇函数f（x）满足满足f（x,,,,,f（x）,变式训练已知定义在上的奇函数且在区间[0,2]上是增函数，若方程上是增函数，且在区间上是增函数若方程f（x）,m（m>0），在区间,，[,8,8]上有四个不同的根1，x2，x3，x4，则x1，x2，x3，上有四个不同的根x,上有四个不同的根x4,.-8
解析因为定义在R上的奇函数，满足f（x,4）,,f（x），所以f（4,x）,f（x）（因此，函数图象关于直线x,2对称且f（0）,0，由f（x,4）,,f（x）知f（x,8）,f（x），所以函数是以8为周期的周期函数（又因为f（x）在区间[0,2]上是增函数，所以f（x）在区间[,2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f（x）,m（m>0）在区间[,8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3,x4，不妨设x1例5函数y,f（x）的图象如图所示，其定义函数,的图象如图所示，的图象如图所示f（x）域为[,?
0的解集的解集域为,4,4]，那么不等式，sinx
π[,4，,π）?
（,π，0）?
[，π）为（（2?
f（x）?
0，?
f（x）?
0，?
?
f（x）解析?
0?
?
或?
sinx?
sinx>0，?
sinx<0，?
?
在给出的坐标系中，再作出y,sinx在[,4,4]上的图象，如图所示,观察图象即可得到所求的解集为[,4，,π）?
（,π，π0）?
[2，π）（探究提高与函数有关的填空题，依据题目条件，灵活地
应用函数图象解答问题，往往可使抽象复杂的代数问题变得形象直观，使问题快速获解（
变式训练5不等式（|x|不等式（变式训练
π）?
sinx<0，x?
[-π,2π,的解集，,2
ππ（?
π,）?
（0,）?
（π,2π）为22
解析
.
π在同一坐标系中分别作出y=|x|-与y=sinx的图象:
的图象:
在同一坐标系中分
别作出的图象2
ππ（?
根据图象可得不等式的解集为:
根据图象可得不等式的解集为:
π,）?
（0,）?
（π,2π）22
题型四
等价转化法
将所给的命题进行等价转化，将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式（通过转化，使问题化繁为简、化陌言或容易求解的模式（通过转化，使问题化繁为简、生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果（正确的结果（例6
x2,4x，6，，，?
设函数f（x）,设函数,?
?
3x，4，?
，，
x?
0?
，若互不相等的实x<0
满足f（x,数x1，x2，x3满足1）,f（x2）,f（x3），则x1，x2，x3的取值,，范围是（范围是（思维启迪将问题转化为y,m与y,f（x）有三个不同的交
点，再研究三个交点的横坐标之和的取值范围（
解析
本题可转化为直线y,与函数与函数f（x）本题可转化为直线,m与函数
的图象有三个交点,y,的图象有三个交点,x2,4x，6在[0,，?
），在，的最小值为f
（2）,，的最小值为,2，故20，由于中必有一负二正，不妨设x，y,x2,4x，6的对称轴为,2,则x1，x2,4，,的对称轴为x,则，的对称轴为，222令3x，4,2，得x,,，则,探究提高等价转化法的关键是要明确转化的方向或者说转化的目标（本题转化的关键就是将研究化的目标（本题转化的关键就是将研究x1，x2，x3的取值范围问题转化成了直线y,与曲线与曲线y,有三个交点的问围问题转化成了直线,m与曲线,f（x）有三个交点的问题，将数的问题转化成了形的问题，从而利用图形的性质将数的问题转化成了形的问题，解决（解决（
ax,1,变式训练6已知关于x的不等式<0的解集是,?
,1）的解集是（,,变式训练已知关于的不等式的解集是x，1，1的值为（?
（,，，?
），则a的值为,2,，，?
，的值为（2ax,1解析将<0转化为（x，1）（ax,1）<0,其解集是（,?
x，1
11,1）?
（,，，?
），当且仅当x,,是方程ax,1,0的22解，得a,,2.
题型五
构造法
构造型填空题的求解，构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决（使问题快速解决（
π2sin（x，），2x2，x，，4函数f（x）,的最大值为M，例7函数,的最大值为，最小值22x，cosx为m，则M，m,.，，,2思维启迪
直接求f（x）的最大值、最小值显然不可取（
x，sinxx，sinx，构造新函数g（x）,2利化简f（x）,1，22x，cosx2x，cosx用g（x）的奇偶性求解（
解析根据分子和分母同次的特点，分子展开，得到部分分式，x，sinxf（x）,1，2，f（x）,1为奇函数，2x，cosx则m,1,,（M,1），?
M，m,2.
探究提高
整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求整体思考，联想奇函数，
解，这是整体观念与构造思维的一种应用（注意到分式类这是整体观念与构造思维的一种应用（函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解（方法来源于对函数性质应用的深刻理解（
sinx变式训练7已知函数f（x）,sinxcosx，变式训练已知函数,，，3，若f（lga）,，,cosx12（4，则f（lg）的值等于的值等于（，的值等于asinx1解析f（x）,sinxcosx，，3,sin2x，tanx，3，若2cosx1令g（x）,sin2x，tanx，则g（x）是一个奇函数（由f（lga）21,4,得g（lga），3,4,?
g（lga）,1.于是g（lg）=g（,lga）a11,,g（lga）,,1，故f（lg）,g（lg），3,,1，3,2.aa
已知a、是正实数且满足ab,，，，是正实数，例8已知、b是正实数，且满足,a，b，3，则a，b的取，的取
[6，，，，?
值范围是（值范围是[6，，?
）（
思维启迪
考虑到已知条件中出现了两个正数a和b的乘积
ab以及和a，b，可与一元二次方程的根联系起来构造方程进行求解（解析?
a、b是正实数且ab,a，b，3，
故a、b可视为一元二次方程x2,mx，m，3,0的两个根，其中a，b,m，ab,m，3.?
?
m2,4m,12?
0，?
要使方程有两个正根，应有?
m>0，?
m，3>0，?
解得m?
6，即a，b?
6，故a，b的取值范围是[6，，?
）（
变式训练8若抛物线y,,,,x总在直线y,,的下变式训练若抛物线,,2，ax,2总在直线,3x,1的下,总在直线的取值范围是（方，则实数a的取值范围是（1,5）（则实数的取值范围是
解析
构造不等式，依题意知，不等式,x2，ax,2<3x
1在R上恒成立，即x2，（3,a）x，1>0在R上恒成立（故?
（3,a）2,4<0，即a2,6a，5<0，解得10}，?
UA,[,1，,，则，,n]，（设全集U,，,，,,，,x，m，m2，n2,.2
解析
由?
UA,[,1,,n],知A,（,?
，,1）?
（,n,，?
），
x,1即不等式>0的解集为（,?
,1）?
（,n，，?
）,所以x，m,n,1,,m,,1，因此m,1，n,,1，故m2，n2,2.
2（在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?
a6,9，log3a1（在各项均为正数的等比数列中，则，log3a2，„，log3a10,.10
解析
特殊化法:
尽管满足a5?
a6,9的数列有无穷多，但
所求结果应唯一的，故只需选取一个满足条件的特殊数列a5,a6,3，则公比q,1就
可以了（原式,log3（3?
3?
3?
„?
3）,log3310,10.
3（在数列{an}中，若a1,1，an，1,2an，3（n?
1），则该数列（在数列中，?
，的通项a的通项n,.2n，1,3
解析由an，1,2an，3，则有an，1，3,2（an，3），an，1，3即,2.an，3所以数列{an，3}是以a1，3为首项、公比为2的等比数列，即an，3,4?
2n,1,2n，1，所以an,2n，1,3.
4（设非零向量a，b，c满足,|b|,|c|，a，b,c，则（，，满足|a|,,，，,，
1,2
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