（3）在
（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M.若经过点C（4，2）的直线y＝kx＋b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．
6．[2019·通州一模]二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与一次函数y1＝x＋k的图象交于A（0，1），B两点，C（1，0）为二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的解析式；
（2）在平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象和一次函数y1＝x＋k的图象；
（3）把
（1）中的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象平移后得到新的二次函数y2＝ax2＋bx＋c＋m（a≠0，m为常数）的图象，定义新函数f：
“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，如果y1≠y2，函数f的函数值等于y1，y2中的较小值；如果y1＝y2，函数f的函数值等于y1（或y2）．”当新函数f的图象与x轴有三个交点时，直接写出m的取值范围．
7．[2019·海淀二模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m＋4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．
（1）求该抛物线的函数解析式及点B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx＋b经过点D和点E（－1，－2），求直线DE的函数解析式；
（3）在
（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．
图Z8－7
8．[2019·海淀期中]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－（m－1）x－m（m>0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求点A的坐标；
（2）当S△ABC＝15时，求该抛物线的函数解析式；
（3）在
（2）的条件下，经过点C的直线l：
y＝kx＋b（k<0）与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：
若新函数的最小值大于－8，求k的取值范围．
图Z8－8
9．[2019·平谷一模]已知抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）经过A（－1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的函数解析式及点D的坐标；
（2）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；
（3）在
（2）的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO＋∠EPO＝∠α，当tanα＝2时，求点P的坐标．
图Z8－9
10．[2019·怀柔一模]在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（a－1）x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，a为正整数．
（1）求a的值；
（2）将二次函数y＝（a－1）x2＋2x＋1的图象向右平移m个单位长度，再向下平移（m2＋1）个单位长度，当－2≤x≤1时，二次函数有最小值－3，求实数m的值．
图Z8－10
参考答案
北京真题体验
1.解：
（1）当y＝2时，2＝x－1，x＝3.
∴A（3，2）．
∵点A，B关于直线x＝1对称，
∴B（－1，2）．
（2）把（3，2），（－1，2）代入y＝x2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线C1的解析式为y＝x2－2x－1，顶点坐标为（1，－2）．
（3）如图，当C2过点A，点B时为临界状态，
将A（3，2）代入y＝ax2，则9a＝2，a＝，
将B（－1，2）代入y＝ax2，则a＝2，
∴≤a＜2.
2．解：
（1）∵y＝2x2＋mx＋n经过点A（0，－2），B（3，4），
∴
解得
∴抛物线的函数解析式为y＝2x2－4x－2.
∴对称轴为直线x＝1.
（2）由题意可知C（－3，－4）．
二次函数y＝2x2－4x－2的最小值为－4.
如图，由图象可以看出点D纵坐标的最小值即为－4，最大值为直线BC与抛物线对称轴的交点的纵坐标．
由B（3，4），C（－3，－4）可知直线BC的函数解析式为y＝x.
当x＝1时，y＝.
∴－4≤t≤.
3．解：
（1）当x＝0时，y＝－2，
∴A（0，－2），
抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，
∴B（1，0）．
（2）易得点A关于对称轴直线x＝1的对称点为A′（2，－2），点B关于对称轴对称的点仍为点B，
∴直线l经过点A′，B.
设直线l的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）．
则
解得
故直线l的函数解析式为y＝－2x＋2.
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线在2＜x＜3这一段与在－1＜x＜0这一段关于对称轴对称．
如图，结合图象可以观察到抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方，
∴抛物线与直线l的交点的横坐标为－1.
当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，
∴抛物线与直线l的一个交点为（－1，4）．
当x＝－1时，m＋2m－2＝4，
解得m＝2，
∴抛物线的函数解析式为y＝2x2－4x－2.
4．解：
（1）∵二次函数y＝（t＋1）x2＋2（t＋2）x＋在x＝0和x＝2时的函数值相等，
∴0＋0＋＝4（t＋1）＋4（t＋2）＋，
解得t＝－，
∴二次函数的解析式是y＝－x2＋x＋.
（2）把A（－3，m）代入y＝－x2＋x＋得m＝－×（－3）2－3＋＝－6，
即A（－3，－6）．
将A（－3，－6）代入y＝kx＋6，得－6＝－3k＋6，
解得k＝4，
故m＝－6，k＝4.
（3）由题意可知，点B，C间的部分图象的函数解析式是y＝－（x－3）（x＋1）（－1≤x≤3），
则抛物线平移后得到图象G的函数解析式是y＝－（x－3＋n）（x＋1＋n）（－n－1≤x≤3－n），
此时直线平移后的解析式是y＝4x＋6＋n.
如果平移后的直线与平移后的二次函数图象相切，
则方程4x＋6＋n＝－（x－3＋n）（x＋1＋n）有两个相等的实数解，
即－x2－（n＋3）x－n2－＝0有两个相等的实数解，
Δ＝[－（n＋3）]2－4×（－）×（－n2－）＝6n＝0，解得n＝0.
∵与已知n＞0相矛盾，
∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，
∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点，
则两个临界的交点为（－n－1，0），（3－n，0），
∴0＝4（－n－1）＋6＋n，
解得n＝.
0＝4（3－n）＋6＋n，
解得n＝6.
故n的取值范围是≤n≤6.
5．解：
（1）∵点A，B是二次函数y＝mx2＋（m－3）x－3（m＞0）的图象与x轴的交点，
∴令y＝0，即mx2＋（m－3）x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝.
又∵点A在点B左侧且m＞0，
∴点A的坐标为（－1，0）．
（2）由
（1）可知点B的坐标为（，0）．
∵二次函数的图象与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，－3）．
∵∠ABC＝45°，∴＝3，解得m＝1.
（3）由
（2）得，二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
依题意并结合图象（如图）可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，
由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）．
将交点坐标分别代入一次函数解析式y＝kx＋b中，
得解得
∴一次函数的解析式为y＝－2x＋1.
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1.解：
（1）∵抛物线y＝x2－x＋2与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，2）．
∵y＝x2－x＋2＝（x－1）2＋，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点B的坐标为（1，）．
又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，
∴点C的坐标为（2，2），且点C在抛物线上．
设直线BC的函数解析式为y＝kx＋b.
∵直线BC经过点B（1，）和点C（2，2），
∴解得
∴直线BC的函数解析式为y＝x＋1.
（2）如图所示，∵抛物线y＝x2－x＋2中，当x＝4时，y＝6，
∴点D的坐标为（4，6）．
∵直线y＝x＋1中，当x＝0时，y＝1，
当x＝4时，y＝3，
∴点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3）．
设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′.
当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D′在直线BC上方，此时t＝1；
当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t＝3.
结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3.
2．解：
（1）∵点A在直线y＝x上，且点A的横坐标是－3，
∴A（－3，－3）．
把A（－3，－3）代入y＝ax2＋4x，
解得a＝1.
∴M1：
y＝x2＋4x，顶点坐标为（－2，－4），
∴抛物线M2的顶点坐标为（1，－1）．
∴抛物线M2的函数解析式为y＝x2－2x.
（2）①如图，由题意，知C（2，2），∴F（4，2）．
∵直线y＝x＋n经过点F，∴2＝4＋n.
解得n＝－2.
②n＞3或n＜－6.
3．解：
（1）∵二次函数y1＝x2＋bx＋c的图象C1经过（－1，0），（0，－3）两点，
∴
解得
∴抛物线C1的函数解析式为y1＝x2－2x－3.
（2）∵y1＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，
∴抛物线C1的顶点坐标为（1，－4）．
∴平移后抛物线C2的顶点坐标为（0，0），
∴C2对应的函数解析式为y2＝x2.
（3）a≥－1（如图）．
4．解：
（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋1过点A，B，
∴
∴
∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋x＋1.
（2）∵x＝－＝，
∴抛物线y＝－x2＋x＋1的对称轴为直线x＝.
设点E为点A关于直线x＝的对称点，则点E的坐标为.
连接EC交直线x＝于点D，此时△ACD的周长最小．
设直线EC的函数解析式为y＝kx＋m，代入点E，C的坐标，
则
解得
∴直线EC的函数解析式为y＝－x＋1.
当x＝时，y＝.
∴点D的坐标为.
（3）存在．
①当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线交y轴于点M，交对称轴于点P1.
∵AO⊥OC，AC⊥AP1，
∴∠AOM＝∠CAM＝90°.
∵C，A，
∴OA＝OC＝1.
∴∠CAO＝45°，
∴∠OAM＝∠OMA＝45°，
∴OA＝OM＝1.
∴点M的坐标为.
设直线AM对应的一次函数的解析式为y＝k1x＋b1，代入点A，M的坐标，
则
解得
∴直线AM的函数解析式为y＝－x－1.
令x＝，则y＝－.
∴点P1的坐标为.
②当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线交对称轴于点P2，交x轴于点N.
与①同理可得Rt△CON是等腰直角三角形，
∴OC＝ON＝1，
∴点N的坐标为.
∵CP2⊥AC，AP1⊥AC，
∴CP2∥AP1，
∴直线CP2的函数解析式为y＝－x＋1.
令x＝，则y＝.
∴点P2的坐标为.
综上所述，在对称轴上存在点P1，P2，使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形．
5．解：
（1）将A代入y＝mx2－2mx－3，解得m＝1.
∴抛物线的函数解析式为y＝x2－2x－3.
令y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，
∴点B的坐标为.
（2）y＝x2－2x－3＝－4.
∵当－2当1≤x<3时，y随x增大而增大，
∴当x＝1，ymin＝－4；
当x＝－2，ymax＝5.
∴y的取值范围是－4≤y<5.
（3）如图，当直线y＝kx＋b经过点B，C时，其函数解析式为y＝x＋.
当直线y＝kx＋b经过点，C时，
其函数解析式为y＝x－.
结合图象可得b的取值范围是－6．解：
（1）设抛物线的函数解析式为y＝a（x－1）2.
由抛物线过点A（0，1），可得y＝x2－2x＋1.
（2）如图①：
（3）如图②③，由图可知－47．解：
（1）∵抛物线y＝mx2－2mx＋m＋4与y轴交于点A（0，3），
∴m＋4＝3，
解得m＝－1，
∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.
∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点B，C，
∴令y＝0，即－x2＋2x＋3＝0.
解得x1＝－1，x2＝3.
又∵点B在点C左侧，
∴点B的坐标为（－1，0），点C的坐标为（3，0）．
（2）∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，
∴点D的坐标为（1，0）．
∵直线y＝kx＋b经过点D（1，0）和点E（－1，－2），
∴
解得
∴直线DE的函数解析式为y＝x－1.
（3）t<1或t>3.
8．解：
（1）∵抛物线y＝x2－（m－1）x－m（m>0）与x轴交于A，B两点，
∴令y＝0，即x2－（m－1）x－m＝0.
解得x1＝－1，x2＝m.
又∵点A在点B左侧，且m>0，
∴点A的坐标为（－1，0）．
（2）由
（1）可知点B的坐标为（m，0）．
∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，－m）．
∵m>0，
∴AB＝m＋1，OC＝m.
∵S△ABC＝15，
∴（m＋1）m＝15.
解得m＝－6或m＝5.
∵m>0，
∴m＝5，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2－4x－5.
（3）由
（2）可知点C的坐标为（0，－5）．
∵直线l：
y＝kx＋b（k<0）经过点C，
∴b＝－5，
∴直线l的解析式为y＝kx－5（k<0）．
∵y＝x2－4x－5＝（x－2）2－9，
∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值均为－9，不符合题意．
当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于－8（如图）．
令y＝－8，即x2－4x－5＝－8.
解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝3.
∴抛物线经过点（3，－8）．
当直线y＝kx－5（k<0）经过点（3，－8）时，可求得k＝－1.
由图象可知，当－19．解：
（1）∵抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）经过A（－1，0），B（2，0）两点，
∴解得
∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋x＋2，
∴点D的坐标为（，）．
（2）如图①，作EN∥BC，交y轴于点N，过点C作CM⊥EN于点M.
令x＝0，得y＝2，
∴OC＝OB＝2，
∴∠OCB＝45°.
∵EN∥BC，
∴∠CNM＝∠OCB＝45°.
∵CM⊥EN于点M，
∴∠CNM＝∠MCN＝45°，
∴MN＝CM＝，
∴CN＝1.
∴直线NE的函数解析式为y＝－x＋3.
由解得
∴点E的坐标为（1，2）．
（3）如图②，过点E作EF⊥AB于点F.
由
（2）知tan∠EOF＝2，
又∵tanα＝2，
∴∠EOF＝∠α.
∵∠EOF＝∠EAO＋∠AEO＝∠α，∠EAO＋∠EPO＝∠α，
∴∠EPO＝∠AEO.
∵∠EAO＝∠PAE，
∴△AEP∽△AOE，
∴＝.
∵AE＝＝2，AO＝1，
∴AP＝8，
∴OP＝7，
∴P，
由对称性可得P′.
∴点P的坐标为或.
10．解：
（1）∵二次函数y＝（a－1）x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
令y＝0，则（a－1）x2＋2x＋1＝0，
∴4－4（a－1）≥0，解得a≤2.
∵a为正整数，∴a为1或2.
又∵y＝（a－1）x2＋2x＋1是二次函数，
∴a－1≠0，∴a≠1，
∴a的值为2.
（2）∵a＝2，∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x＋1.
将二次函数y＝x2＋2x＋1化成顶点式为y＝（x＋1）2，
二次函数图象向右平移m个单位长度，再向下平移（m2＋1）个单位长度后的函数解析式为y＝（x＋1－m）2－（m2＋1）．
此时函数图象的顶点坐标为（m－1，－m2－1）．
当m－1＜－2，即m＜－1时，在x＝－2处二次函数有最小值－3，
∴－3＝（－1－m）2－（m2＋1），
解得m＝－，符合题目要求．
当－2≤m－1≤1，即－1≤m≤2时，在x＝m－1处二次函数有最小值－3，即－m2－1＝－3，
解得m＝±.
∵m＝－不符合－1≤m≤2的条件，舍去．
∴m＝.
当m－1＞1，即m＞2时，在x＝1处二次函数有最小值－3，
∴－3＝（2－m）2－（m2＋1），
解得m＝，不符合m＞2的条件，舍去．
综上所述，m的值为－或.
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