某商店销售某物品的3类产品的进货问题.doc
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论文题目：
某商店销售某物品的3类产品的进货问题
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2013年5月21日
1
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
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B
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15
某商店销售某物品的3类产品的进货问题
一、摘要
本文针对商店中三件产品每日的销售量，市场需求，缺货时间及缺货量,进货次数之间的关系进行分析，并建立数学模型对三类产品的进货策略进行优化。
基于对本问题的认识并结合现实生活的常识，我们可以判定进货策略主要考虑每日的销售量、市场需求、进货次数、缺货时间及缺货量。
进货策略的作用量为进货的时间间隔和进货量。
问题一：
首先对所给的数据做基本的处理，并通过对销售量的分析，基于每个周期T内商品销售量在某个值浮动，我们将这个值定为该周期内的进货量。
每个周期内销售量浮动越小，越能达到进出货平衡，以此作为评价模型的基准。
通过c++程序编写变化周期方差的代码，方差的大小表示该周期内商品销售量的波动程度，我们通过比较各个T的方差，最终把T定为17，并且为了减少进货次数，最终决定每次A,B,C商品一起进货。
问题二：
首先对数据划分基期（相当于进货周期），将销售量数据和销售时间处理成线性的，去除一些主要的误差因素，建立市场需求预测模型，通过随机变量Y来表示两个需求量几乎相同的天数的间隔，分析Y可得到商品的平均需求量和在一个基期内的平均需求次数，分析两者间的分布情况，从而得到平均需求量和平均需求次数。
采用matlab编程得出时间间隔为5天，A类商品每周期的需求量稳定在46左右，B类商品每周期的需求量稳定在78左右，C类商品每周期的需求量稳定在127左右。
问题三：
在第一问的订货策略下，我们定为第一天进货，每个周期末统计剩余量（或缺货量），运用Excel运算得各类商品的缺货情况，与相对应的周期内的需求量作比较知：
A商品共缺货一次，在第17天；B商品共缺货三次，在第13,33,34天;C商品共缺货,九次，在第16,17,663，765,782,799,814,815,816天。
问题四：
为了尽量降低缺货的损失，我们调整进货模式，采取随机贮存模式（s，S），约定s为各类商品在一个周期里的最小值，S为各类商品一个周期里的最大值。
通过Excel处理，我们发现A商品现在缺货一次，在第17天；B商品缺货一次，在第17天；C商品缺货二次，在第16,17天。
关键词：
订货策略，matlab，随机贮存模式
一问题重述
某商店取得了某物在该区域的市场经销权，销售该物的三类产品，附表1给出了该店过去连续800多天的三类产品销售记录。
根据附表1数据，解决如下问题：
（1）该店三类产品的进货策略是什么？
800多天内共进了多少次货？
（2）该三类产品在该区域的市场需求如何？
（3）分析现有进货策略下，该店的缺货情况（包括缺货时间及缺货量）。
（4）如果现有进货策略已经充分考虑了该店的产品存贮能力，如何改进进货策略，将缺货损失减半，且进货次数尽可能少？
二问题的分析
问题一1.通过对销售量的分析，基于对每个周期T内商品销售量在某个值浮动，我们将这个值定为该周期内的进货量，该周期内销售量浮动的越小，达到进出货平衡时，我们认为最好，以此作为评价模型的基准。
通过c++程序编写变化周期方差值计算的代码，方差的大小表示该周期内商品销售量的波动程度，我们通过比较各个T的波动程度决定T的大小。
并且我们为了减少进货次数决定每次A,B,C商品一起进货。
问题二.首先对数据划分基期（相当于进货周期），将销售量数据和销售时间处理成线性的，去除一些主要的误差因素，建立市场需求预测模型，通过随机变量Y来表示两个需求量几乎相同的天数的间隔，分析Y可得到商品的平均需求量和一个基期（进货周期）的平均需求次数，分析两者间的分布情况，从而得到平均需求量和平均需求次数。
问题三：
在第一问的订货策略下，我们第一天进货，每个周期末我们统计剩余量（或缺货）我们运用Excel运算得各类商品的缺货情况下表，与相对应的周期内的需求量作比较就可知各类商品的缺货量情况。
问题四：
为了降低缺货的损失，我们调整我们的进货模式，采取随机贮存模式（s，S），我们约定s为各类商品的一个周期里的最小值，S为各类商品一个周期；里的最大值。
每次周期初进货量为u,，上周期末的库存量x，按照制定（s，S）策略的要求，当周末存货量x≥s时，进货量u=0；当x0，且令x+u=S。
通过随机贮存模型我们不仅能降低缺货的次数，还能减少进货的次数。
三模型的假设
1.各类商品的销售量不受季节影响
2.问题所给的调查数据真实可靠，能够有效反映市场信息
3.各商品的销售量在每个周期微小波动
四模型的建立与求解
问题一：
1.1符号说明
n：
表示总的销售天数
m：
表示总的周期数
1.2我们建立周期筛选模型我们先计算各个周期的数学期望：
EXT=n=825，
接着我们计算对应T的方差：
DX=m=[],
根据上式我们利用c++编程（见附件一），通过计算知:
T值
A的DX
B的DX
C的DX
总的方差
15
30
76
93
214
16
26
88
79
209
17
35
86
69
207
18
40
137
139
334
19
37
90
98
244
20
35
106
80
241
21
41
96
140
298
22
26
107
130
285
23
33
88
109
253
24
39
79
128
270
25
54
90
87
256
26
59
87
124
296
27
25
137
171
360
28
56
96
189
369
29
28
91
128
276
30
59
126
118
333
31
38
107
167
343
32
47
134
110
323
33
47
131
157
368
34
31
136
71
272
35
32
137
168
372
36
61
173
157
427
37
41
182
186
446
38
24
191
133
386
39
44
174
152
409
40
52
158
147
397
41
56
198
140
435
42
57
192
243
534
43
18
216
159
436
44
35
179
116
374
45
69
144
205
463
通过分析我们知：
周期为17时方差最小，我们定进货周期为17。
此时A每次进货量为47，B的进货量为79，C的进货量为127.。
一共进货49次。
问题二.
三类商品的市场需求总体来说比较平稳。
虽然利用自己的经验与
感觉来确定市场需求值是一种常用的直观简便的方法,但以计量经济学为理论背景的
市场需求预测分析方法已被企业管理者所接受。
这种预测方法把时间分割成适应企业经营需要的基本单位,每一基本单位称为一个基期,并以每一基期的中间时刻作为该期的代表时刻。
以y（t）表示t时某种产品的需求量。
影响y（t）的因素很多,例如居民的收人、产品的价格、代用品的价格等等。
把影响y（t）的诸变量记为t），（t）,…（t）,于是y（t）是这些变量的函数。
由于总有一些误差因素,所以
Y（t）=f[t）,t）,t）…（t），（t）]
在实际工作中往往把预测模型
（1）处理成线性的，并且不考虑误差（t），而回归是解决此类问题最常用的方法。
市场需求的预测模型
这三种产品的市场需求量可能会受到数十种甚至更多种已知或未知因素的影响,显然要逐一列出这些影响因素十分困难。
而且题目中只给出了销售量这一种数据。
但在不少场合我们更关心的不是哪些已知或未知的影响因素而是市场需求本身的两项主要信息,即需求量和需求时间。
市场需求的两项主要信息一般可以用下图示
图为前30天A，B，C三种商品的销售量
图中横轴表示时间,纵轴表示需求量，在T=1时刻有第一次需求,需求量为S1,⋯,在时刻有第n次需求,需求量为。
显然无论需求时间和需求量都不可能是常数,客观上它们应该是随机变量。
当用随机变量Y来表示需求的间隔时间,即=-,i=1,2,…,n,这时需求随时间的变化过程构成特殊的随机过程—标值点过程{,}.显然,对市场需求这个标值点过程,我们最关心的指标是任意时刻的平均需求量和一个经营基期内（如一年,一个月,一天等）的平均需求次数。
下面先来研究一个经营基期内的平均需求次数。
当用N（t）表示（0,t]中的需求次数,即N（t）=sup{n|+…+≤t}，则有（0,t]中的平均需求次数为M（t）=E[N（t）].总的平均需求量E[R]=E[S]M（t）.
如果随机变量Y的分布函数F（y）服从指数分布，即
F（y）=1-exp（-λy），λ>0,
则需求次数N（t）形成一泊松需求过程,那么平均需求次数
M（t）=λt
这是一种简单而常见的情况。
在大多数场合随机变量Y将不服从指数分布，于是对一般的F（y）来说,N（t）形成一更新需求过程。
于是在普遍情况下,平均需求次数M（t）的计算方法要视t来确定:
（1）对充分大的t我们有
M（t）≈t/μ+0.5（/-1）
式中μ=E[y]为均值，=D[y]为方差。
（2）对较小的t我们取γ=k/t，k是迭代步数，显然迭代步数越多越精确，这时
M（t）==
其中=exp（-ry）dF（y）
根据同样的思路我们还可以用这个预测模型计算每次需求的平均数量。
计算机实现
对市场需求值进行预测时,我们首先要针对具体产品搞市场调查。
利用获得的统计数据就可以拟合出分布分布函数F（y）.由于影响市场需求值的因素多种多样.因而分布函数的性态也会千差万别。
然而无论分布函数呈现出怎样的形式,都可以用PH分布
F（y）=1-αexp（-Ty）
任意近似的拟合。
所以我们只需研究N（t）形成PH更新过程这一种情况即可.PH分布中的参数（,α）是初始概率向量，T是瞬时状态生成元矩阵，且有：
α=（，，…，）是行向量，=1，
T=是825*3阶矩阵，
=,=0,i=1,…,825;
matlab运行所得系数如下（见附录二）：
p=
5.0e-014*
Columns1through10
-84.000082.000180.0036-85.045688.227484.235485.735583.489390.539589.2749
Columns11through20
76.749283.653384.284389.472382.472482.274593.694294.164993.604292.6193
Column21through27
82.524286.058287.989687.050484.168989.690487.0582
（B，C商品同A代码）
由此可见，A类商品的月需求量稳定在82左右，B类商品的月需求量稳定在139左右，C类商品的月需求量稳定在225左右。
平均需求次数则体现在每5天左右会出现销售量的峰值和谷值，两者交替出现，并且A，B，C的平均需求次数大致相同，均等于5天。
而如果按进货周期17天来算的话，A类商品每周期的需求量稳定在46左右，B类商品每周期的需求量稳定在78左右，C类商品每周期的需求量稳定在127左右。
总的来说，C的需求量最大，B次之，A最少，且大体上C是A的三倍，B是A的两倍。
问题三：
在第一问的订货策略下，我们第一天进货，每个周期末我们统计剩余量（或缺货）我们运用Excel运算得各类商品的缺货情况下表，与相对应的周期内的需求量作比较知：
A商品共缺货一次，在第17天；B商品共缺货三次，在第13,33,34天;C商品共缺货,九次，在第16,17,663，765,782,799,814,815,816天
缺货一览表
第i次进货
A需求量
B需求量
C需求量
1
49
-2
82
-3
133
-6
2
42
5
85
-6
123
4
3
44
3
68
11
128
3
4
47
0
56
23
115
12
5
54
1
77
2
125
2
6
42
5
78
1
127
0
7
53
0
70
9
134
10
8
41
6
71
8
131
6
9
55
-2
84
49
126
1
10
41
6
92
36
124
3
11
49
4
56
23
136
1
12
39
8
80
58
105
22
13
54
5
83
54
131
19
14
44
3
77
2
123
4
15
52
3
78
1
134
16
16
31
16
84
52
128
15
17
42
5
75
4
119
8
18
51
20
72
7
137
13
19
50
17
97
45
130
10
20
42
5
65
14
113
14
21
49
20
75
4
121
6
22
51
16
93
49
137
20
23
35
12
86
42
143
4
24
46
1
70
9
115
12
25
53
23
70
9
116
11
26
38
9
81
58
134
20
27
57
22
98
39
124
3
28
45
2
71
8
120
7
29
45
2
75
4
119
8
30
43
4
85
45
131
34
31
47
0
88
36
126
1
32
41
6
72
7
127
0
33
55
28
71
8
134
28
34
50
25
98
32
122
5
35
53
19
71
8
122
5
36
43
4
80
39
138
27
37
50
20
88
30
146
8
38
41
6
74
5
130
5
39
53
20
82
32
142
-10
40
43
4
84
27
121
6
41
41
6
77
2
127
0
42
54
23
71
8
123
4
43
46
1
80
36
131
6
44
51
20
85
30
125
2
45
55
12
79
0
140
-5
46
46
1
83
26
132
-5
47
51
9
91
14
136
-9
48
40
7
75
4
120
7
49
30
17
34
45
59
68
A商品的进货量为47
B商品的进货量为79
A商品的进货量为127
问题四：
为了降低缺货的损失，我们调整我们的进货模式，采取随机贮存模式（s，S），我们约定s为各类商品的一个周期里的最小值，S为各类商品一个周期；里的最大值。
每次周期初进货量为u,，上周期末的库存量x，按照制定（s，S）策略的要求，当周末存货量x≥s时，进货量u=0；当x0，且令x+u=S。
通过Excel处理，我们发现A商品现在缺货一次，在第17天；B商品缺货一次，在第17天；C商品缺货二次，在第16,17天。
第i次进货
A需求量
进货量
库存量
B需求量
进货量
库存量
C需求量
进货量
库存量
1
49
47
-2
82
79
-3
133
127
-6
2
42
57
15
85
98
13
123
146
23
3
44
42
13
68
85
30
128
123
18
4
47
44
10
56
68
42
115
128
31
5
54
47
3
77
56
21
125
115
21
6
42
54
15
78
77
20
127
125
19
7
53
42
4
70
78
28
134
127
12
8
41
53
16
71
70
27
131
134
15
9
55
41
2
84
71
14
126
131
20
10
41
55
16
92
84
6
124
126
22
11
49
41
8
56
92
42
136
124
10
12
39
49
18
80
56
18
105
136
41
13
54
39
3
83
80
15
131
105
15
14
44
54
13
77
83
21
123
131
23
15
52
44
5
78
77
20
134
123
12
16
31
52
26
84
78
14
128
134
18
17
42
31
15
75
84
23
119
128
27
18
51
42
6
72
75
26
137
119
9
19
50
51
7
97
72
1
130
137
16
20
42
50
15
65
97
33
113
130
33
21
49
42
8
75
65
23
121
113
25
22
51
49
6
93
75
5
137
121
9
23
35
51
22
86
93
12
143
137
3
24
46
35
11
70
86
28
115
143
31
25
53
46
4
70
70
28
116
115
30
26
38
53
19
81
70
17
134
116
12
27
57
38
0
98
81
0
124
134
22
28
45
57
12
71
98
27
120
124
26
29
45
45
12
75
71
23
119
120
27
30
43
45
14
85
75
13
131
119
15
31
47
43
10
88
85
10
126
131
20
32
41
47
16
72
88
26
127
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