数学建模作业影院座位选择.doc
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摘要
看电影是众多大学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大
家所关心的一个问题。
本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。
由于
座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一
个多目标规划问题。
本文先建立了模型1，采用主目标法找出了讲堂最优的一个
位子。
而后就"怎样选择一个好位子"的问题，建立模型2，分析了讲堂中央部
分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情
况，相对复杂。
模型2作了巧妙的假设，提出了"基本视效"的概念将目标化为
单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值
大的座位满意度高，反之，满意度低。
模型2的优点在于避免了其他方法，如权
重法的主观性。
因此模型也更加可信。
关键词
多目标规划
视角
仰角
几何
基本视效
matlab
一、问题的背景
看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心
随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。
在师
范大学，每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息，其中每周敬文讲堂
放映的英文电影，因其免费放映、效果良好、寓教于乐，更是成为多年来的保留
节目。
每每放映之前，讲堂门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好
地形。
-1-
影院座位选择
数学模型期末论文
二、问题的提出
有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平
90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平180°，垂直90°。
观影
时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。
经医学实验得知：
10°以内
是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。
20°以
内能正确识别图形等信息，称为有效视野。
*0°～30°，虽然视力及色辨别能力
开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。
但是人们又发
现，若观看一幅宽大的画面时，视角大到一定值后，观看者会感到和画面同处一
个空间，给人带来一种身临其境的艺术效果。
即虽然图像内容是二维平面的，但
结合在一起后，平面的图像能呈现出立体感，这种效果在观察大画面图像时，会
令人感觉出画面有自然感和动人逼真的临场感。
也就是说观影时，视角越大，越
能达到一种身临其境的满足感。
但是观影时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角
指观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。
例如，坐在第一排看电影，虽然
视角很大，但观影者须在这个观影过程中仰头，整个过程也不一定享受，一般仰
角越小，观影过程越舒适。
同样，定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与
水平线的夹角中大的角度值，那么坐的越偏，斜角越大，座位过偏时，也会导致
颈部向一侧扭曲，甚是难受，无疑坐的越靠近影院中轴线，斜角越小，越舒适。
由上面的分析，在敬文讲堂看电影时，座位过偏、过前，整个过程要么扭颈
斜视，要么"曲项向天"，着实难受，座位太后，又视觉不够震撼，不够享受。
怎样选择一个好座位呢，下面我们就进行建模，找出其尽量的实际的答案。
考虑到讲堂的400个座位分为左侧、中央和右侧三个部分，其中中央部分约
2*0个座位，两侧约各200个。
由于敬文讲堂，只有一个小的投影屏幕，宽度远
小于正规电影院的屏幕，两侧的座位的观影效果在各个方面都比中央部分的座位
差很多，又考虑到中央的近200个座位可以满足占座位同学的需求，所以下面的
讨论都只限于中央的座位。
下图为敬文讲堂剖面简图，只画出中央部分的座位，且台阶型座位只简化为
3级。
-2-
数学模型期末论文
屏幕
座位
三、模型的建立
模型1：
寻找最优位置
显然，最优的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以这个模型所选择的
范围就缩小了，只用考虑一列14个座位。
1）模型的假设
A.假设敬文讲堂的座位面为与水平面夹角为q的倾斜面（如下图所示）
观众
d
h
屏幕
座位
q
B.不考虑人们视力的影响，即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度
-3-
数学模型期末论文
相同。
C.不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响。
D.只从中间部分的座位选择。
*.忽略观众头顶到眼睛的距离。
F.忽略观众两眼间的距离。
*.将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边
的垂直地面的中线上。
下图为敬文讲堂侧面简图
屏幕
l线
a
a
*
*
b
L
H1
H-h
q
l
d
s1
D
敬文讲堂侧视图
2）参量变量
H
：
屏幕上边缘到地面的高度
h
：
屏幕的高度
H1
:
最后一排距地面的高度
a
：
观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角
b
：
观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角
q
：
近似座位面与水平面所夹的二面角
*
：
第一排座位与屏幕的水平距离
D
：
最后一排座位与屏幕的水平距离
*1
：
观众眼睛到屏幕的水平距离
l
：
观众所处的座位面上的点到水平面的距离
*
：
观众眼睛到水平面的距离
a
：
观众平均坐高
l线
：
观众眼睛所在位置构成的直线
-4-
数学模型期末论文
经过实地测量，讲堂中中央部分的座位有14排×13列，座位与座位之间左
右间隔0.54米，前后间隔1米。
并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长
度单位均为米）：
H
4
h
*
D
18
d
4
a
1.1
*1
3
q
12.1°
*anq
3/14
3）模型的求解
因为经过如上假设，最佳的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以问题
便转化成一个平面几何问题。
为达到"视角尽可能大，仰角尽可能小"的目的，
就是在l线上选择合适的点使得角（a+b）尽量大，但角a尽量小。
由于a和b
的变化范围都在-90°-90°之间，所以可以用函数arctan来衡量角的大小。
如
图所示，tana=
H-L
tanb=
L-（H-h）
L+h-H
H-L
=
。
所以a=arc*an
，
s1
s1
*1
s1
b=arctan
L+h-H
（注意，L+h>H时为正），那么，问题进一步转化为
s1
H-L
L+h-H
H-L
arc*a*
+arctan
尽量大，而ar*ta*
尽量小。
而后一目标可简化为
s1
s1
s*
*-L
s1
尽量小，即
尽量大。
s1
H-L
用数学语言写为：
s1
f1（s）=
*-*
H-L
L+h-H
f2（s）=ar*tan
+arctan
s*
s1
F（s）=[*1（*1）,f2（s1）]
T
在解的可行域R内,求多目标的极值问题可记为：
m*xF（s1）
s1ÎR
这是一个典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用"化多为
单"的方法。
下面就用"主目标优化法"对模型进行求解。
所谓"主目标法"就
是分清目标的主要与次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优
化，而使其他的目标降为约束条件。
进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进
-5-
数学模型期末论文
电影院看电影的原因，而通过调整颈部的扭转角度，只要角度不是很大，是不会
给人的身体带来太大的不适感的，特别是当电影内容比较精彩时，人们更会忽略
颈部的不适感，而更追求观影的视觉效果。
查资料知，当仰角不大于20°时，
短时间的观影不会给人体带来太大的不适感。
也就是说，视角大给人们带来的满
足感比仰角小给人们带来的舒适感更重要。
所以f*（*1）为主要目标，f1（s*）降
为约束条件f2（s1）那么问题转化为一个非线性规划：
max*2（s1）
d£s*£D
*1（s1）在求f2（s1）极值时，利用f2'（s1）=0,即：
H-L
L+h-H
（ar*ta*
）'+（arctan
）'=0
s1
s1
-
H-L
-
*+*-*
2
s1
+
s1
2
=0
1+
（*-L）
2
1+
（L+h-H）
2
s1
2
s1
2
*-H
H-L-h
+
=0
s1+（H-*）
2
2
s1+（L+h-H）
2
2
将L=（*1-d）*tanq+a=（s1-4）*3/14+1.1,*=4,h=*,代入整理得
3（s1-4）
-2.9
3（s1-4）
+0.1
1*
-
14
=0
s1+（
3（s1-*）
3（s*-4）
2
-2.9）
2
s1+（
*
+*.1）
2
14
14
用*at*ab解得s1=1.6223<4
*-L
*+*-H
画出f=（arcta*
）'+（arctan
）'的图像（见下图）
s1
s1
H-L
L+h-*
由图像看出f*（s）=arctan
+a*ctan
的导数值恒负
s1
s1
-6-
数学模型期末论文
-0.*1
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
-0.0*
-0.07
-*.08
-0.09
-0.1
-0.11
4
*
8
10
*2
1*
16
进一步，算出各排的视角值
排数
1
2
*
4
5
6
7
视角35.81*
31.*2*
26.988
23.7
*1.03
*8.846
17.042
排数
8
9
1*
11
12
13
14
视角15.533
14.257
13.167
12.2*5
11.405
10.686
10.*5
以及各排的仰角值
排数
*
2
*
4
*
6
7
仰角*8.679
*0.85*
*4.805
20.078
16.331
*3.*13
10.*42
排数
8
9
10
11
1*
13
14
仰角8.78**
7.*614
5.5887
4.3204
3.2177
2.2*09
1.39*7
视角是依排数递减的，再由约束条件*2（s1）第*排中央的位子。
这是一个有效解。
即在所有可行解中找不到比它更好的解。
-*-
数学模型期末论文
4）模型的分析
*-L
L+h-*
f=（arctan
）'+（*rctan
）'在求导时没有在[4，17]的区间内出现理想
s*
*1
零值，主要跟敬文讲堂的设置有关，它并不是专门的电影院，屏幕高度不够，悬
挂的很低，这就导致了仰角主要决定视角的大小，从第一排向后视角依次递减。
所以由敬文讲堂的这种设置，看电影时最好应该坐在第5排中央，这是一个有效
解。
下面关心此模型用在正规电影院的情形。
广州最豪华的飞扬影城设计采用国
际标准，屏幕高10米，宽14米。
而观众席全部采用高角度斜坡式，从第一行到
最后一行的坡度高达4.*米。
它的其他数据与敬文讲堂相同，套用此模型解得从
一到十四排的视角为：
排数
1
2
3
4
5
6
*
视角40.665
43.8*7
44.9*3
44.796
43.*76
42.276
*0.521
排数
8
*
10
11
12
13
**
视角38.657
36.7*9
34.942
33.182
3*.516
*9.*51
28.491
仰角为：
排数
1
2
3
4
5
6
7
仰角70.1*4
*5.067
60.*91
55.29*
*0.729
4*.432
42.425
排数
8
9
10
11
12
13
*4
仰角38.71*
*5.296
32.158
29.285
26.656
24.*52
22.052
得到在此电影院观影，最优位置为第*4排中央的位置，这主要是由它宽大
的屏幕决定的，坐的靠后，反而观影满意度高，而影院也大力宣传：
"最后一排
的观众感觉尤其奇妙，由于坡度高，会产生一种'空中看电影'的感觉"。
这点
验证了模型的合理性。
上述数据摘自新快报文章---《到天河城"空中看电影"》。
模型2：
寻找好位置
最优位置只有一个，去抢座位看电影的同学能竞争到那个位子可谓十分不
易，那么下面我们就来进一步分析，在抢不到最优位置的情况下，再选择哪里的
位子可以达到一个也算不错的观影效果。
-8-
数学模型期末论文
下图为敬文讲堂俯视图：
w
屏幕
中
轴
面
d
x
座位区
s2
W
敬文讲堂俯视图
这样，问题就不能只考虑垂直的情况，还要考虑水平的情况，具体的说，
就是如果最佳位置已有人坐了，而它旁边和后面的位置都还空着，那么是坐在最
佳位置的后面还是坐在最佳位置的旁边，可以更好的享受这次观影呢？
同样，在考虑水平的情况时，根据人的视觉感受，坐的太偏离屏幕中心，需
扭转颈部才能达到更好的观影效果，因此，和水平情况的讨论结果相同，水平视
角d越大越好，斜角x越小越好。
于是，问题就变成一个空间立体几何问题，考
虑到对称性，我们只讨论最中间一列位置和它左边区域的位置。
而同时讨论水平
视角d、水平斜角x、垂直视角h、垂直仰角a，就是说有四个目标要优化，无
疑使问题得讨论非常复杂，在衡量目标的主次上也会比两两比较困难。
所以，为化简问题，我们将四个目标化简为1个------"基本视效"。
定义
为：
人直视屏幕时，屏幕在人的视野中所占比例。
1）模型的假设
A.人的观影感受只与视觉感受与颈部舒适度有关。
B.忽略人头顶到眼镜的距离，忽略人两眼之间的距离。
-9-
数学模型期末论文
C.人的有效视野为椎定为20°的正4棱锥，人只能看见以其眼睛为锥
定，锥角为20°的4棱锥范围内的事物。
且忽略围墙和屋顶的阻挡
作用（如下图所示）
观众
L2
屏幕
座位
q
*.将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一
条边的垂直地面的中垂线上。
2）比模型1增加的参量、变量
w
：
屏幕宽
W
：
一排座位的总宽度
s*
：
观众眼睛到讲堂中轴面的距离
s
：
屏幕所在的区域
ϕ
：
屏幕所在的平面
y
：
观众眼睛所在的平面
S
s
：
视线*棱锥在平面的投影与s区域重合部分的面积
SP
：
视线锥在屏幕所在平面的投影面积
L2
：
观众眼睛距屏幕中截面的高度
k
:
基本视效值SsSP
/
测量得*=3米
W=7米
-10-
数学模型期末论文
3）模型的解释
此模型将人的视线看成光线，于是眼睛被看成一个特殊的光源，只能射出一
个正4棱锥形的光束，锥角固定为2*°。
那么，看电影的问题就转化成投影问
题。
即光源垂直地向屏幕所在的平面ϕ发射光线，最终在ϕ平面上得到一个正方
形光区，那么屏幕与光区重合部分在光区中所占比例越大，基本视效越好。
依据此思想，建立3维直角坐标系，分析此问题。
s1
*
P
*
s
o
s2
ϕ
*2
i
如上图，以屏幕的中心为坐标原点O,建立{O；i,j,k}单位右手标架。
使向
量i,j张成平面ϕ，空间中任一点A（s*，s1，L2）关于单位右手正交基{i,j,k}
的分量就为三元有序实数组（s2，s1，L2）。
其中s2的几何意义为观众眼睛到讲
堂中轴面的距离，s1的几何意义为观众眼睛到屏幕的水平距离，L*的几何意义为
观众眼睛距屏幕中截面的有向高度。
观众的眼睛P在平面y上移动，由模型1
的假设y面可以参数化：
r=r（s2,s1）=（*2,s1,*-h/*-（s1-d）ta*q），那么当观众
眼睛在y面上移动时，以P为定点的4棱锥在空间内做平移运动，图中阴影部分
为4棱锥在ϕ平面的投影与s区域的重合部分，则随点P的运动，阴影与投影部
分的面积及其二者的比例比值k也会发生变化。
-11-
数学模型期末论文
4）模型的求解
Ⅰ
为使基本视觉效果
L2
达到最好，则只需在y面
x1
x2
1.5
上找一点P，使得其对应的
*1
k值最大。
左图为s2oL2
y2
（*2,L*）
平面图：
*.5
空间内一点P（s2,s1,*2）
s2
o
-1.*
在该平面的投影点为
屏幕
（s2,L2），由于只考虑讲
堂最中间一列位置和它左
-1.*
（s*,L2）
边区域的位置，所以
Ⅳ
0£s*£3.5,4£s1£17,
-1.4£L2£1.5。
且投影点只在Ⅰ、Ⅳ象限运动。
以P点为顶点的上述4棱锥在
此平面截出一个正方形，其边长为**s1*t*n（10°）=1.4*s1,其到屏幕上、下、
左、右边的距离为：
1.5-L2，L2+*.5，|1.5-s2|,s2+1.5
其中,L2=[（s1-d）**a*q+*]-[h/2+（*-h）]=[（s1-4）*3/14+1.*]-2.5
由此可以给出阴影部分面积计算方法：
图中标明了4个变量x1,x2,y1,y*,为正数，表示分别表示投影点到阴影部分，
左、右、上、下4边的距离：
x1=*in{|1.5-s2|,0.699**s1}
x2=min{s2+*.5,0.6997*s1}
y1=min{1.5-L2,0.6997*s1}
*2=m*n{L*+1.5,0.6997*s1}
当s2£1.5时
阴影部分的面积为Ss=（x1+x2）（y1+y2）
当s2〉*.5时
阴影部分的面积为Ss=（x2-x*）（y1+y*）
4棱锥在屏幕所在平面的投影面积为S=（1.4*s1）
2
P
-12-
数学模型期末论文
Ss
则基本视效k=
S
P
用Matlab软件可计算出有14排×*3列，282个座位的k值,下表为中央一列和
他右侧共98个座位的基本视效值，表格安排与座位安排相同：
0.5*094
*.57094
0.42*48
0.18421
0
0
0
0.67837
0.67837
0.4*752
0.2429*
*.018352
0
0
0.74999
0.70014
0.4932*
0.**63*
0.079406
*
*
0.80*14
*.6**28
0.50883
*.31938
*.12993
0
0
*.83951
0.6927*
0.*1902
0.3*531
0.1716
0
0
0.82231
0.6859*
0.*2*04
0.36615
0.2*625
0.04636
0
0.72*7*
*.6*7*
*.50618
0.36526
*.22434
0.083423
0
0.5*89*
0.569*7
0.45351
*.33705
0.22*58
0.104*2
0
0.50328
0.50328
0.41063
0.31277
0.21491
*.*1705
0.019192
0.4*883
0.42883
0.37507
0.29169
*.2*831
0.124*2
0.041539
*.3*9*6
0.36976
0.34512
0.27322
0.20133
*.12943
0.0*7*34
0.3221
0.3221
0.3195*
0.25693
*.1*43
0.13167
0.069036
0.28309
*.283*9
0.28309
0.2*24*
0.1874
0.132*5
0.077304
0.*5077
0.2*0*7
0.**077
*.2*9**
0.18073
*.131*7
*.*832*5
并画出14排×*3列，*82个座位k值的三维图形，可更直观的看出各个座
位的观影适合程度，图形中方格的分布与敬文讲堂俯视图中座位的分布相同。
其
中越突出的地方越适合观影：
-1*-
数学模型期末论文
从上面表格及图形可看出，前9排靠近中央的座位都比较适合观影，其中3
到7排中央3列的座位观影满意度更佳。
因此在敬文讲堂看电影时，可优先选择
这些位子。
且最佳的那*5个位子满意度相差不多，选择时不必过度苛求。
而对
于相对较偏的位子，靠后坐一些可以得到比坐在前排可好的视觉效果。
5）模型的分析
我们定义"基本视效"这一标准来衡量座位的优良是有其合理性的。
因为观
众在观看电影时，视野中屏幕所占的比例越大，视觉效果越好，它与专业上所说
的视角越大，视效越好是同理的，只不过一个用的是角度的度量，一个用的是比
例系数的度量。
当观众的基本视效较小时，他总会通过扭转颈部的方法使基本视
效最大化。
例如，坐在第一排的观众没有谁是不仰头看电影的，而坐在边上的观
众也都不是直视前方的。
因此，这一模型就是将视角和仰角整合成一个变量，"基
本视效"值k小既意味着视角不够大，也暗含着，你需要更大地扭转颈部来达到
满意的视效，从而要影响观影的舒适度。
这样，模型就很好地把一个多目标规划
变成了一个单目标的规划。
而假设人的水平和垂直有效视角均为20°，将人的有效视觉区域看成一个4
棱锥，虽然看似荒唐，但对问题的解决上是不存在太大影响的，因为这是一个比
较问题，只需比较座位之中哪个的"基本视效"最大。
而采取20°，而不是其
他角度，是与医学上认为，2*°以内能正确识别图形等信息，并称为有效视野相
符合的，后来带入程序也验证采用其他角度建立模型，得到的结果并不满意。
从模型2的结果，光看中央一列的基本视效*值，正好是第*排达到最优，
与模型1的结果一致，可以说相互作了验证，模型是合理的。
四、参考文献
［１］刘来福，曾文艺.数学模型与数学建模.北京师范大学出版社
［２］席少霖，赵凤治.最优化计算方法.上海科学技术出版社
［３］范玉妹，徐尔，周汉良.数学规划及其应用（第2版）.冶金工业出版社
-14-
数学模型期末论文
［４］欧阳崇森.实用最优化技术.湖北科学技术出版社
［５］清源计算机工作室.Ma*lab基础及其应用.机械工业出版社
五、心得体会
经过了两周的奋战，终于完成了这篇凝聚了自己心血的论文。
一周的选题，
大海捞针，头晕眼花，一周的写论文，反复推敲，辛酸苦辣。
最后近20页沉甸
甸、思想不是*trl+C加Ct
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