线性系统状态反馈区域极点配置算法研究.doc

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辽宁科技大学本科生毕业论文第III页

线性系统状态反馈区域极点配置算法研究

摘要

20世纪50年代后期，控制理论由经典控制理论向现代控制理论转变，现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。

与经典控制理论一样，现代控制系统中仍然主要采用反馈控制结构，但不同的是，经典控制理论中主要采用输出反馈，而现代控制系统中主要采用内部状态反馈。

状态反馈可以为系统控制提供更多的信息反馈，从而实现更优的控制。

闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点所应具备的分布情况，把极点的配置作为系统的动态品质指标。

这种把极点配置在某位置的过程称为极点配置。

在空间状态法中，一般采用反馈系统状态变量或输出变量的方法，来实现系统的极点配置。

本论文对线性系统的状态反馈区域极点配置的算法进行了研究，分别以具有稳定裕度和具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计为例，利用线性矩阵不等式LMI处理方法，编写系统的MATLAB仿真程序。

最后以同样的方法对不确定系统状态反馈区域极点配置进行了研究，结果证明了设计方法的正确性和有效性。

关键词：

线性系统；状态反馈；极点配置；线性矩阵不等式；不确定系统

AlgorithmicResearchforRegionalPole

AssignmentofLinearSystemViaState

FeedbackControllers

ABSTRACT

Inthelate1950s,controltheorylaterbyclassicalcontroltheorytomoderncontroltheoryshift,moderncontroltheoryisintroducingstateandstatespaceconceptdevelopedonthebasisof.Aswithclassicalcontroltheory,moderncontrolsystemstillmainlyusesthefeedbackcontrolstructure,butdifferentis,classicalcontroltheorymainlyusestheoutputfeedback,andmoderncontrolsystemmainlyusestheinternalstatefeedback.Statefeedbackcontrolforsystemprovidemoreinformationfeedback,soastoachievebettercontrol.Thedistributionofclosed-loopsystempolesdependsonsystemstabilityanddynamicquality,therefore,canaccordingtothesystemdynamicqualityrequest,provisionsthatpolesofclose-loopsystemshouldhavethedistributionofthepole,configurationofthesystemdynamicqualityindicators.Thepositionofthepolesintheprocesscalledpoles.Inspace,thegeneralstatemethodinthefeedbacksystemstatevariablesoroutputvariablemethodtoachievesystempoles.Thisthesisstudiedthealgorithmoflinearsystemstatefeedbackregionalpoles,andrespectivelybythestatefeedbackcontrollerdesignofstabilitymarginofandhasrounddomainconstraintsasexamples,byusingthelinearmatrixinequalityLMItreatmentmethods,writingMATLABsimulationprogramofsystem.Finallyinthesamewaytheuncertainsystemstatefeedbackregionalpolesarestudied,andtheresultshowsthedesignmethodiscorrectandeffective.

Keywords：

Linearsystem；Statefeedback；Poleplacement；LMI；Uncertainsystem

目录

摘要............................................................................................................................................Ι

ABSTRACT...........................................................................................................................П

1绪论 1

1.1课题背景及意义 1

1.2极点配置简介 1

1.3本论文研究的主要工作 2

2理论基础及数学准备 3

2.1区域极点配置问题 3

2.2状态反馈 4

2.3线性矩阵不等式LMI 6

2.3.1线性矩阵不等式LMI基本变换引理 7

2.3.2LMI工具箱介绍 8

2.4本章小结 10

3线性定常系统状态反馈区域极点配置算法研究 11

3.1精确极点配置 11

3.1.1问题描述 11

3.1.2算法步骤 12

3.1.3仿真分析 12

3.2具有稳定裕度的区域极点配置 15

3.2.1问题描述 16

3.2.2具有稳定裕度的状态反馈控制器设计 16

3.2.3程序清单 17

3.2.4仿真结果 18

3.3具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计 21

3.3.1问题描述 21

3.3.2具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计 21

3.3.3程序清单 22

3.3.4仿真结果 23

3.4本章小结 26

4线性不确定系统状态反馈区域极点配置算法研究 27

4.1不确定性 27

4.2线性不确定系统区域极点配置 27

4.2.1问题描述 27

4.2.2不确定系统区域极点约束的状态反馈控制器设计 28

4.2.3仿真分析 30

4.3本章小结 32

结论 33

致谢 34

参考文献 35

辽宁科技大学本科生毕业论文第34页

1绪论

1.1课题背景及意义

在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。

现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的，其研究问题的方法主要有时域状态空间分析法，线性二次型最优状态调节器法（LinearQuadraticRegulator，简记为LQR），状态观测器控制法，李雅普诺夫（Laypunov）稳定性分析法以及极点配置法等[1-2]。

近年来，随着科学技术的日新月异和工业生产的高速发展，使得工程界对控制的要求也日益提高，由此极大地推动了现代控制理论的发展和完善。

在控制理论与实践中的一个基本要求是设计反馈控制律，将闭环系统的极点配置在指定的位置上，从而保证闭环系统具有所要求的动态和稳态特性。

由于模型的不确定因素和各种扰动的存在，使得精确极点配置的控制方式不可能得到真正的实现。

实际设计中只要将闭环系统的极点配置在指定的区域内，就可以使系统获得满意的性能。

近年来，对D稳定理论的研究十分活跃，利用这一理论研究区域极点配置问题已取得一些成果，包括最优控制、鲁棒性、性能、性能等方面[3]。

在对系统的分析和设计中，首先要考虑的是系统的稳定性问题，而线性系统的稳定性与其极点的位置紧密相关，因此极点配置问题在系统设计中是很重要的。

为此，需要根据分析和设计的目的，将系统极点配置在指定区域内或指定某个位置。

这里需要解决两个问题：

一个是建立极点配置的条件，也就是给出受控系统可以利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件；另一个是确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。

1.2极点配置简介

所谓极点配置问题，就是通过反馈矩阵的选择，使闭环系统的极点，即闭环特征方程的特征值恰好处于所希望的一组极点位置上或者是某个区域内。

由于希望的极点具有一定的任意性，因此极点的配置也具有一定的任意性。

对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点分布在虚轴上时，系统是临界稳定的；当极点的实部大于零时，系统是不稳定的。

同时，系统动态响应的基本特性也依赖于极点的分布，若系统极点是负实数，则系统动态响应时非周期的，按指数规律衰减，衰减的快慢取决于极点的分布；若系统极点是具有负实部的共轭复数，则其动态响应是衰减振荡的，振荡的频率取决于极点的虚部，而振幅衰减的快慢由极点的实部决定。

因此将系统极点配置在指定位置（这主要由综合问题中更为直观的性能指标，例如时域形式的过渡过程时间、超调量等和频域形式的增益稳定域度、相位稳定域度等，通过转换和经验估计，而具体地加以给出的），可以使系统满足性能指标的要求，从而改善系统的基本特性，具有实际的理论意义。

在现代控制理论中，以状态空间描述和状态空间方法为基础，引入反馈和补偿器将闭环系统的极点配置在指定位置。

显然，解决极点配置问题必须给出可配置条件和相应的配置方法。

由于在控制理论中，主要的反馈形式有状态反馈和输出反馈两种。

传统的输出反馈方法虽然也能改变系统极点的位置，但有很大的局限性，而采用状态反馈方法可以实现极点的任意配置。

下面重点对状态反馈形式的极点配置问题行讨论。

状态反馈是控制理论中最基本的反馈形式之一。

状态反馈就是采用线性系统的状态变量构成反馈律，进而改变系统矩阵，因此状态反馈具有改变系统结构属性和实现性能指标的功能。

首先，状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。

其次，由于状态反馈是系统结构信息的一种完全的反馈，因此状态反馈系统可以获得良好的动态性能。

最后，当系统状态完全可测时，状态反馈控制器更易于实现。

下面我们给出线性定常系统极点的可配置条件：

线性定常系统可以通过状态反馈任意配置其全部极点的充分必要条件是此系统完全能控。

对于单输入单输出线性定常系统，可以直接通过系统的特征多项式求出状态反馈增益矩阵。

1.3本论文研究的主要工作

本论文是对线性系统状态反馈区域极点配置算法的研究。

其中，第一章简单介绍了该课题的背景，使读者对极点配置有了基本的理解；第二章主要介绍了线性系统状态反馈区域极点配置的基本理论概念和线性矩阵不等式LMI的相关内容；第三章对精确极点配置进行了分析，重点是对区域极点配置的分析与研究；第四章研究对不确定系统的极点配置问题及不确定系统区域极点约束的状态反馈控制器设计。

2理论基础及数学准备

2.1区域极点配置问题

在控制理论与实践中的一个基本问题是设计反馈控制率，将闭环系统的极点配置在所期望的位置上，以保证闭环系统具有所要求的动态和稳态性能。

在最初的极点配置问题研究中，考虑的是精确的极点配置问题，即将闭环极点配置在复平面中事先给定的位置。

然而，由于模型的不精确性和各种扰动的存在，使得这样一种精确极点配置的控制方式不可能得到真正的实现。

区域极点配置是指将一个线性系统的所有极点配置在一个指定的区域内。

对于连续系统，指定的区域在左半开复平面；对于离散系统，指定的区域在以原点为圆心的单位圆内。

如果记这个指定区域为D，则区域极点配置称为D—极点配置。

下面介绍将系统极点配置在左半开复平面某一区域内的主要目的。

线性系统的瞬时响应与它的极点位置紧密相关，只要将闭环系统的极点配置在复平面上一个适当区域内，就能保证系统具有一定的动态和稳态特性。

以二阶系统为例，设极点为：

其阶跃响应可由无阻尼自然频率（或无阻尼振荡频率），阻尼比（或相对阻尼系数）和阻尼自然频率完全决定。

如果将配置在一个适当的区域内，则可保证，和满足一些给定的界，从而保证系统具有所期望的过渡过程特性。

对于要达到的控制目的，一个有意义的区域是图2-1中：

将闭环极点限定在这个区域内，可保证系统具有最小衰减度，最小阻尼比和最大阻尼自然频率，这将进一步保证系统的最大超调、振荡模频率、衰减时间、上升时间、调节时间等过渡过程指标不超过由，和确定的。

图2-1区域

2.2状态反馈

在经典控制理论中，利用系统输出进行反馈，构成输出负反馈系统，可以得到较为满意的系统性能；减小干扰对系统的影响；减小被控对象参数变化对系统性能的影响。

因此输出反馈得到了广泛的应用，在现代控制理论中，为了达到希望的控制要求，也采用反馈控制方法来构成反馈系统，多数控制系统都采用基于反馈控制构成的闭环系统。

反馈系统的特点是对内部参数变化和外部环境影响具有良好的抑制作用。

反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。

状态反馈是以系统状态为反馈变量的一类反馈形式。

状态反馈不增加系统新的状态变量，对系统输入矩阵无影响，状态反馈不改变系统的能控性。

下面针对连续时间线性定常系统，就状态反馈的相关问题进行简单的讨论。

（1）状态反馈的构成

对连续时间线性定常受控系统，状态反馈的构成可用图2-2所示的方块图表示，其中，状态x通过反馈矩阵K被回馈到系统输入端，v为系统参考输入。

考虑到反馈矩阵K为常数阵而非动态系统，更确切地应称这类状态反馈为静态状态反馈。

图2-2状态反馈结构图

（2）状态反馈系统的描述

考虑连续时间线性定常受控系统，状态空间描述为：

：

，，（2.1）

其中，x为n维状态，u为p维输入，y为q维输出，A，B和C为相应维数的常数阵。

由图2-2可知，状态反馈下受控系统的输入为：

（2.2）

其中，K为反馈矩阵，v为p维参考输入。

将式（2.2）带入（2.1），通过简单推导，可以导出线性定常状态反馈系统的状态空间描述为：

：

，，（2.3）

上式表明，引入状态反馈的结果是使系统矩阵变为。

在系统综合中，不同的期望性能指标归结为综合不同的反馈矩阵K。

进而，由式（2.3）并利用传递函数矩阵基本关系式，可以得到线性定常状态反馈系统的传递函数矩阵为：

（3）状态反馈系统的结构特性

对于线性定常状态反馈系统，结构特性可由其系统矩阵的特征值表征，有

特征值，i=1,2,...,n

其中，表示相应矩阵的特征值。

系统综合实质上就是通过引入适当状态反馈矩阵K使闭环系统特征值位于复平面上期望位置。

对于连续时间线性定常系统，状态反馈保持能控性，但是不一定保持能观测性。

状态反馈为系统结构信息的完全反馈，在物理上是不能构成的。

2.3线性矩阵不等式LMI

线性矩阵不等式LMI（LinearMatrixInequality）的研究最早可以追溯到1892年。

李亚普诺夫矩阵不等式实际上就是一个线性矩阵不等式LMI，任意给定一个对称正定矩阵P，求解李亚普诺夫方程，即可得到不等式的一个可行解[4]。

控制中的很多问题，由于复杂性的增加而不可能直接给出问题求解的解析表达式，但却可以将问题转化为线性矩阵不等式求解。

因此，线性矩阵不等式的求解在控制系统的分析、设计中的地位是举足轻重的。

1995年，MathWorks公司在其软件MATLAB中推出了求解线性矩阵不等式问题的LMI工具箱，从而使得人们能够更加方便和有效地处理和求解线性矩阵不等式，进一步推动了LMI方法在系统和控制领域中的应用。

到目前为止，LMI在控制中应用主要具有以下特点。

一是通用性，即一类系统分析与综合的问题可以通过LMI的形式来解决，并且可以方便的添加约束条件；二是可解性，虽然我们通常不能找找一个系统或控制问题的解析解，但是如果要计算的问题具有凸函数的形式，可以得到有效的解决，大量的系统分析与综合问题都可以用LMI的形式表示，根据有界实引理，最终转化为可解的凸问题。

基于这两点，用LMI求解鲁棒性问题已发展成比较成熟的技术。

LMI方法以其高效的求解算法和能获得全局最优解的特点，已引起控制界的关注，成为鲁棒控制分析与设计的重要方法。

在控制工程中，许多控制问题尤其是鲁棒控制问题，都可转化成一种称为线性矩阵不等式或带有线性矩阵不等式限制条件的最优化问题的求解。

线性矩阵不等式一般形式如下：

（2.4）

其中是变量，，i=0，1，...m，是已知的实对称阵。

实际应用时，通常遇到的LMI并不呈现式（2.4）的形式，其中变量不是向量而是一个（或多个）实矩阵，但它可以等价地转化成式（2.4）形式。

线性矩阵不等式的求解一般可归结为下列三类问题：

一、可行性问题

求使得（2.5）

二、具有线性矩阵不等式限制条件的线性规划问题

满足于（2.6）

三、具有线性矩阵不等式限制条件的广义特征值最小化问题

满足于（2.7）

在控制理论中，大多数控制问题都可以转化成上述三种矩阵不等式问题中一种。

2.3.1线性矩阵不等式LMI基本变换引理

在许多系统与控制问题中，我们需要将一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式，这时常常用到矩阵的Schur补性质。

考虑对称矩阵，且

（2.8）

假定非奇异，则称为S11在S中的Schur补。

以下引理给出了矩阵的Schur补性质。

引理2.1：

（SchurComplement）对于给定的对称矩阵，以下三个条件等价：

（1）

（2）

（3）

在一些控制问题中，经常遇到二次矩阵不等式：

（2.9）

其中，A，B，，是给定的适当维数的常数矩阵，是对称矩阵变量，则应用引理2.1上述矩阵不等式的可行性问题可以转化为一个等价的矩阵不等式

（2.10）

的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量的线性矩阵不等式。

该引理用于矩阵不等式的等价变换。

2.3.2LMI工具箱介绍

在60年代，已经提出了线性矩阵不等式，但由于求解形如式（2.5）～（2.7）所描述的线性矩阵不等式的算法还不够成熟。

再加上求解量大，因而线性矩阵不等式在实际中未得到充分应用。

近几年来，由于线性矩阵不等式的理论不断完善，求解算法也不断成熟，加上计算机的广泛应用，线性矩阵不等式的求解变得很方便，因此线性矩阵不等式在实际工程中尤其在控制工程理论中得到广泛的应用。

线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。

由于其面向结构的线性矩阵不等式方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。

一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。

由于用线性矩阵不等式求解控制理论中的问题是当今控制理论发展的一个重要方向，因此出现了许多计算机应用软件，其中以美国MathsWorksInc公司用C语言开发的MATLAB软件最为流行；到目前为止，已相继推出了几个版本，其中在MATLAB5.3、MATLAB6.0、MATLAB7.0等版本中，增加了用于求解线性矩阵不等式的线性矩阵不等式控制工具箱。

线性矩阵不等式工具箱提供了在鲁棒控制设计中所遇到的最优化问题的解，同时给出了一个用于求解线性矩阵不等式的集成环境。

由于这个工具箱功能强大和友好的用户界面，因此可以开发自己的应用程序。

LMI工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于：

（1）以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式；

（2）获取关于现有的线性矩阵不等式系统；

（3）修改现有的线性矩阵不等式系统；

（4）求解三个一般的线性矩阵不等式问题；

（5）验证结果。

下面我们介绍LMI工具箱中的几个重要函数：

（1）setlmis（[]）：

初始化的LMI系统。

（2）lmivar（type，struct）：

增加新的矩阵变量X到当前的LMI系统中。

其中，type（类型）：

根据变量X的不同类型设置（1~3），1表示矩阵变量X为对称块对角阵，2表示矩阵变量X为满秩阵，3表示矩阵变量X为其它；struct（结构）：

若type=1,则struct的第i行描述X的第i个块对角阵，其中struct（i，1）代表块的大小，struct（i，2）代表块的性质，如果是尺度块t*I，则struct（i，2）取0，如果是满块，则取1，如果是0块，则取-1。

若type=2，假如X是矩阵，则struct=[M，N]。

若type=3,则struct是一个与X同维的矩阵，其中，struct（i，j）取值为：

当X（i，j）=0，struct（i，j）=0，当X（i，j）为第n个待求变量时，struct（i，j）=+n，当X（i，j）为第n个待求变量乘上（-1）时，struct（i，j）=-n。

（3）lmiterm（termID，A，B，flag）：

给定前描述的LMI系统中的某个LMI增加一项。