关于函数恒成立问题的解题.doc

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恒成立问题

二、恒成立问题解决的基本策略

A、两个基本思想解决“恒成立问题”

思路1：

在上恒成立；

思路2：

在上恒成立．

如何在区间上求函数的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数的最值．

此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累．

C、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略

1、一次函数型

若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷．

给定一次函数，若在内恒有，则等价于：

；同理，若在内恒有，则等价于：

．

例3．对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围．

解：

原不等式转化为：

在时恒成立，

设，则在上恒大于0，

故有：

即，解得：

；

∴或，即（－∞,－1）∪（3,+∞）．

2、二次函数型

例4．若函数的定义域为，求实数的取值范围．

解：

由题意可知，当时，恒成立，

①当且时，；此时，，适合；

②当时，有即有；

综上所述，的定义域为时，．

例5．已知函数，在上恒成立，求的取值范围．

分析：

的函数图像都在轴及其上方，如右图所示：

略解：

，．

变式1：

若时，恒成立，求的取值范围．

分析：

要使时，恒成立，

只需的最小值即可．

解：

，令在上的最小值为；

①当，即时，；，而，不存在；

②当，即时，，；

又，；

③当，即时，，；

又，；

综上所述，．

变式2：

若时，恒成立，求的取值范围．

2

—2

法一：

分析：

题目中要证明在上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题．

略解：

，

即在上成立；

①，

；

②；；

3、变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解．运用不等式的相关知识不难推出如下结论：

若对于取值范围内的任何一个数都有：

恒成立，则；若对于取值范围内的任何一个数，都有：

恒成立，则．

例6．已知三个不等式：

①，②，③．要使同时满足①②的所有的值满足③，求的取值范围．

略解：

由①②得，要使同时满足①②的所有的值满足③，

即不等式在上恒成立，

即在上恒成立，又在上大于9；

所以：

．

例7．函数是奇函数，且在上单调递增，又，若对所有的都成立，求的取值范围．

解：

据奇函数关于原点对称，；

又因为在是单调递增，所以；

对所有的都成立；

因此，只需大于或等于在上的最大值1，

；又∵对所有的都成立，

即关于的一次函数在上大于或等于0恒成立，

即：

．

利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题．

4、根据函数的奇偶性、周期性等性质

若函数是奇（偶）函数，则对一切定义域中的：

（）恒成立；若函数的周期为，则对一切定义域中的：

恒成立．

5、直接根据图像判断

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于填空题这种方法更显方便、快捷．

例8．对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

分析：

转化为求函数的最小值，画出此函数的图像即可求得的取值范围．

解：

令；

在直角坐标系中画出图像如图所示，由图象可看出，

要使对任意实数，不等式恒成立，

只需；故实数的取值范围是．

本题中若将“”改为“”；同样由图象可得．

利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．

三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法．

（一）换元引参，显露问题实质

例9．对于所有实数，不等式：

恒成立，

求的取值范围．

解：

因为的值随着参数的变化而变化，若设，

则上述问题实质是“当t为何值时，不等式恒成立”；

这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于：

求解关于的不等式组：

；

解得，即有，易得．

（二）分离参数，化归值域问题

例10．若对于任意角总有成立，求的范围．

解：

此式是可分离变量型，由原不等式得，

又，则原不等式等价变形为恒成立．

故必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．

由；

即时，有最小值为0，故．

（三）变更主元，简化解题过程

例11．若对于，方程都有实根，求实根的范围．

解：

此题一般思路是先求出方程含参数的根，再由的范围来确定根的范围，但这样会遇

到很多麻烦，若以为主元，则，

由原方程知，得；

又，即；解之得或．

（四）图象解题，用好数形结合

例12．设，若不等式恒成立，求的取值范围．

解：

若设，则表示为上半圆．

设，为过原点，为斜率的直线．

在同一坐标系内作出函数图像；

依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，

即的取值范围为．

例13．当时，不等式恒成立，求的取值范围．

解：

设，，则的图像为右图是抛物线；

要使对一切，恒成立，显然，

并且必须也只需当时，的函数值大于等于的函数值；故，．

（五）合理联想，运用平几性质

例14．不论为何实数，直线与曲线恒有交点，

求的范围．

解：

，C（a，0），

当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A（0，1）必在圆上或圆内，

即点A（0，1）到圆心距离不大于半径，则有，得．

评析：

因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，

用判别式来解题是比较困难的。

若考虑到直线过定点A（0，1），曲线为圆．

（六）分类讨论，避免重复遗漏

例15．当时，不等式恒成立，求的范围．

解：

使用的条件，必须将分离出来，此时应对进行讨论．

①当时，要使不等式恒成立，只要，解得；

②当时，要使不等式恒成立，只要，解得；

③当时，要使恒成立，只有；

综上①②③得．

解法2：

可设，用一次函数知识来解，则较为简单．

（七）构造函数，体现函数思想

例16．设，其中为实数，为任意给定的自然数，

且，如果当时有意义，求的取值范围．

解：

本题即为对于，有恒成立．

这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手；若考虑到求的范围，

可先将分离出来，得，对于恒成立．

构造函数：

，

则问题转化为求函数在上的值域．

由于函数在上是单调增函数，

则在上为单调增函数；

于是有的最大值为：

，从而可得．

四、巩固练习

1．对任意的实数，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

2．已知函数，对任意都有意义，求实数的取值范围．

3．已知是定义在的单调减函数，且对一切实数成立，求实数的取值范围．

4．当、满足什么条件时，关于的不等式对一切实数恒成立？

5．已知，在与时，都取得极值；

（1）求、的值；

（2）若都有恒成立，求实数的取值范围．

答案：

（1），；

（2）或．

6．定义在定义域内的函数，若任意的，都有，则称函数

为“接近函数”，否则称“非接近函数”，函数,是

否为“接近函数”？

如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．

解：

因为；

函数,的导数是：

；

当即时，

在时，，在时；

故在内有极小值是；

同理，在内有极大值是；

因为，

所以函数,的最大值是，最小值是；

故有：

；

所以函数,是“接近函数”．

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