超几何分布与二项分布.doc
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超几何分布与二项分布
一.选择题(共9小题)
1.(2004•辽宁)已知随机变量ξ的概率分布如下,则P(ξ=10)=( )
ξ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
m
A.
B.
C.
D.
2.(2011•黄冈模拟)随机变量ξ的概率分布规律为(n=1、2、3、4、…),其中a是常数,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
3.(2008•石景山区一模)已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1,则η的期望值是( )
A.
1
B.
C.
D.
4.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),则=( )
A.
B.
C.
D.
5.电子手表厂生产某批电子手表正品率为,次品率为,现对该批电子手表进行测试,设第X次首次测到正品,则P(1≤X≤2013)等于( )
A.
B.
C.
D.
6.(2010•江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:
在10箱中各任意抽查一枚;方法二:
在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2.则( )
A.
P1=P2
B.
P1<P2
C.
P1>P2
D.
以上三种情况都有可能
7.(2011•潍坊二模)设X为随机变量,X~B,若随机变量X的数学期望EX=2,则P(X=2)等于( )
A.
B.
C.
D.
8.(2012•衡阳模拟)已知随机变量ξ~N(0,a2),且p(ξ>1)=p(ξ<a﹣3)的值为( )
A.
2
B.
﹣2
C.
0
D.
1
9.设随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ≥1)=p,则P(﹣1<ξ<0)=( )
A.
1﹣p
B.
p
C.
+p
D.
﹣P
二.填空题(共5小题)
10.(2010•上海模拟)在10件产品中有2件次品,任意抽取3件,则抽到次品个数的数学期望的值是 _________ .
11.有一批产品,其中有6件正品和4件次品,从中任取3件,至少有2件次品的概率为 _________ .
12.(2010•枣庄模拟)设随机变量X~B(n,0.5),且DX=2,则事件“X=1”的概率为 _________ (作数字作答.)
13.若随机变量X服从二项分布,且X~B(10,0.8),则EX、DX分别是 _________ , _________ .
14.(2011•浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙公司面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)= _________ .
三.解答题(共3小题)
15.(2009•朝阳区二模)在袋子中装有10个大小相同的小球,其中黑球有3个,白球有n(2≤n≤5,且n≠3)个,其余的球为红球.
(Ⅰ)若n=5,从袋中任取1个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有2个红球的概率;
(Ⅱ)从袋里任意取出2个球,如果这两个球的颜色相同的概率是,求红球的个数;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从袋里任意取出2个球.若取出1个白球记1分,取出1个黑球记2分,取出1个红球记3分.用ξ表示取出的2个球所得分数的和,写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望Eξ.
16.某批产品共10件,已知从该批产品中任取1件,则取到的是次品的概率为P=0.2.若从该批产品中任意抽取3件,
(1)求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率;
(2)求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望.
17.(2006•崇文区一模)某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛,但乙队明显处于弱势,乙队为争取胜利,决定采取这样的战术:
顽强防守,0:
0逼平甲队进入点球大战.假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为.现规定:
点球大战中每队各出5名队员,且每名队员都各踢一球,求:
(I)乙队以4:
3点球取胜的概率有多大?
(II)设点球中乙队得分为随机变量ξ,求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望.
参考答案与试题解析
一.选择题(共9小题)
1.(2004•辽宁)已知随机变量ξ的概率分布如下,则P(ξ=10)=( )
ξ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
m
A.
B.
C.
D.
考点:
离散型随机变量及其分布列.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
由题意知,本题需要先计算出其它的概率之和,根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是,公比是的等比数列,根据等比数列的求和公式,得到答案.
解答:
解:
∵由题意知,本题需要先计算出其它的概率之和,
∴根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是,公比是的等比数列,
∴S==1﹣,
∵S+m=1,
∴m=,
故选C.
点评:
本题考查离散型随机变量的分布列的性质,在一个试验中所有的变量的概率之和是1,本题又考查等比数列的和,是一个综合题.
2.(2011•黄冈模拟)随机变量ξ的概率分布规律为(n=1、2、3、4、…),其中a是常数,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
离散型随机变量及其分布列;互斥事件的概率加法公式.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
估计所给的随机变量的分布列的特点,利用无穷等比递缩数列的各项之和写出所有的变量的概率之和,使它等于1,求出a的值,利用互斥事件的概率公式写出结果.
解答:
解:
∵随机变量ξ的概率分布规律为(n=1、2、3、4、…),
∴a=1,
∴a=,
∴=P(ξ=1)+P(ξ=2)==
故选C.
点评:
本题考查离散型随机变量的分布列的性质,是一个综合题目,在解题时一定要注意所有的变量的概率之和的求法,注意应用分布列的性质.
3.(2008•石景山区一模)已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1,则η的期望值是( )
A.
1
B.
C.
D.
考点:
离散型随机变量及其分布列.菁优网版权所有
分析:
由题目中所给的变量的分布列得到变量ξ的期望,根据η=2ξ+1关系,得到两个变量的关系,代入ξ的期望,求出结果.
解答:
解:
由表格得到Eξ=﹣1×+1×=﹣,
Eη=E(2ξ+1)=2Eξ+1=2×(﹣)+1=,
故选C.
点评:
本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系,本题也可以这样来解,根据两个变量之间的关系写出η的分布列,再由分布列求出期望.
4.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),则=( )
A.
B.
C.
D.
考点:
离散型随机变量及其分布列.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
由题意可得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1,求出m的值,再根据=P(X=2)+P(X=3),进而求出答案.
解答:
解:
因为所有事件发生的概率之和为1,
即P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1,
所以m(++++)=1,即m(1﹣)=1
所以m=.
所以P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),
则=P(X=2)+P(X=3)=+=.
故选A.
点评:
解决此类问题的关键是掌握所有事件发生的概率之和为1,进而求出随机变量的分布列即可得到答案.
5.电子手表厂生产某批电子手表正品率为,次品率为,现对该批电子手表进行测试,设第X次首次测到正品,则P(1≤X≤2013)等于( )
A.
B.
C.
D.
考点:
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专题:
概率与统计.
分析:
先求出P(X=0),即第0次首次测到正品,即全是次品的概率,从而可得结论.
解答:
解:
由题意,P(X=0)=
∴P(1≤X≤2013)=1﹣P(X=0)=
故选B.
点评:
本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率,考查学生的计算能力,属于中档题.
6.(2010•江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:
在10箱中各任意抽查一枚;方法二:
在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2.则( )
A.
P1=P2
B.
P1<P2
C.
P1>P2
D.
以上三种情况都有可能
考点:
二项分布与n次独立重复试验的模型;等可能事件的概率.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
每箱中抽到劣币的可能性都相等,故可用独立重复试验求解,又因为事件“发现至少一枚劣币”的对立事件是“没有劣币”,概率好求.方法一概率为1﹣0.9910;方法二概率为1﹣()5,做差比较大小即可.
解答:
解:
方案一:
此方案下,每箱中的劣币被选中的概率为,没有发现劣币的概率是0.99,故至少发现一枚劣币的总概率为1﹣0.9910;
方案二:
此方案下,每箱的劣币被选中的概率为,总事件的概率为1﹣()5,
作差得P1﹣P2=()5﹣0.9910,由计算器算得P1﹣P2<0
∴P1<P2.
故选B
点评:
本题考查独立重复试验的概率和对立事件的概率问题,以及利用概率知识解决问题的能力.
7.(2011•潍坊二模)设X为随机变量,X~B,若随机变量X的数学期望EX=2,则P(X=2)等于( )
A.
B.
C.
D.
考点:
二项分布与n次独立重复试验的模型.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
根据X为随机变量,X~B和求服从二项分布的变量的期望值公式,代入公式得到n的值,再根据二项分布概率公式得到结果.
解答:
解:
∵随机变量X为随机变量,X~B,
∴其期望EX=np==2,∴n=6,
∴P(X=2)==.
故选D.
点评:
本题主要考查分布列和期望的简单应用,通过解方程组得到要求的变量,这与求变量的期望是一个相反的过程,但是两者都要用到期望和方差的公式.
8.(2012•衡阳模拟)已知随机变量ξ~N(0,a2),且p(ξ>1)=p(ξ<a﹣3)的值为( )
A.
2
B.
﹣2
C.
0
D.
1
考点:
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专题:
计算题;概率与统计.
分析:
利用正态曲线的对称性,可得曲线的对称轴是直线x=0,由此可得结论.
解答:
解:
由题意,∵ξ~N(0,a2),∴曲线的对称轴是直线x=0,
∵p(ξ>1)=p(ξ<a﹣3)
∴a﹣3+1=0
∴a=2
故选A.
点评:
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,主要考查正态曲线的对称性,是一个基础题.
9.设随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ≥1)=p,则P(﹣1<ξ<0)=( )
A.
1﹣p
B.
p
C.
+p
D.
﹣P
考点:
二项分布与n次独立重复试验的模型.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1),知正态曲线关于x=0对称,根据P(ξ≥1)=p,得到P(1>ξ>0)=﹣p,再根据对称性写出要求概率.
解答:
解:
∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1),
∴正态曲线关于x=0对称,
∵P(ξ≥1)=p,
∴P(1>ξ>0)=﹣p,
∴P(﹣1<ξ<0)=﹣p,
故选D.
点评:
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,本题的主要依据是曲线的对称性,这种问题可以出现在选择或填空中.
二.填空题(共5小题)
10.(2010•上海模拟)在10件产品中有2件次品,任意抽取3件,则抽到次品个数的数学期望的值是 .
考点:
超几何分布;离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
设抽到次品个数为ξ,则ξ~H(3,2,10),利用公式Eξ=,即可求得抽到次品个数的数学期望的值.
解答:
解:
设抽到次品个数为ξ,则ξ~H(3,2,10)
∴Eξ=
故答案为:
点评:
本题考查离散型随机变量的数学期望,解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布,从而利用相应的期望公式求解.
11.有一批产品,其中有6件正品和4件次品,从中任取3件,至少有2件次品的概率为 .
考点:
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专题:
概率与统计.
分析:
从10件产品任取3件的取法共有,其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品,取法分别为,.利用互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式即可得出.
解答:
解:
从10件产品任取3件的取法共有,其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品,取法分别为,.
因此所求的概率P==.
故答案为.
点评:
本题考查了互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式,属于基础题.
12.(2010•枣庄模拟)设随机变量X~B(n,0.5),且DX=2,则事件“X=1”的概率为 (作数字作答.)
考点:
二项分布与n次独立重复试验的模型.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
由随机变量X~B(n,0.5),且DX=2,知n×0.5×(1﹣0.5)=2,解得n=8.再由二项分布公式能够导出事件“X=1”的概率.
解答:
解:
∵随机变量X~B(n,0.5),且DX=2,
∴n×0.5×(1﹣0.5)=2,
∴n=8.
∴p(x=1)=.
故答案为:
.
点评:
本题考查二项分布的性质和应用,解题时要注意二项分布方差公式Dξ=np(1﹣p)的灵活运用.
13.若随机变量X服从二项分布,且X~B(10,0.8),则EX、DX分别是 8 , 1.6 .
考点:
二项分布与n次独立重复试验的模型.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据随机变量符合二项分布,根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值,得到关于n和p的方程组,解方程组得到要求的两个未知量,做出概率.
解答:
解:
∵X服从二项分布X~B(n10,0.8)
由Eξ=10×0.8=8,①
Dξ=1=np(1﹣p)10×0.8×0.2=1.6,②
故答案为8;1.6
点评:
本题主要考查分布列和期望的简单应用,通过解方程组得到要求的变量,这与求变量的期望是一个相反的过程,但是两者都要用到期望和方差的公式.
14.(2011•浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙公司面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)= .
考点:
离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率,做出得到乙、丙公司面试的概率,根据题意得到X的可能取值,结合变量对应的事件写出概率和做出期望.
解答:
解:
由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数,则X的可能取值是0,1,2,3,
∵P(X=0)=,
∴,
∴p=,
P(X=1)=+=
P(X=2)==,
P(X=3)=1﹣=,
∴E(X)==,
故答案为:
点评:
本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望,考查生活中常见的一种题目背景,是一个基础题目.
三.解答题(共3小题)
15.(2009•朝阳区二模)在袋子中装有10个大小相同的小球,其中黑球有3个,白球有n(2≤n≤5,且n≠3)个,其余的球为红球.
(Ⅰ)若n=5,从袋中任取1个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有2个红球的概率;
(Ⅱ)从袋里任意取出2个球,如果这两个球的颜色相同的概率是,求红球的个数;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从袋里任意取出2个球.若取出1个白球记1分,取出1个黑球记2分,取出1个红球记3分.用ξ表示取出的2个球所得分数的和,写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望Eξ.
考点:
超几何分布;n次独立重复试验中恰好发生k次的概率;离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有
专题:
综合题.
分析:
(Ⅰ)先求出从袋中任取1个球是红球的概率,再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有2个红球的概率;
(Ⅱ)根据从袋中一次任取2个球,如果这2个球颜色相同的概率是建立等式关系,求出n的值,从而求出红球的个数.
(Ⅲ)ξ的取值为2,3,4,5,6,然后分别求出对应的概率,列出分布列,最后根据数学期望的公式解之即可;
解答:
解:
(Ⅰ)设“从袋中任取1个球是红球”为事件A,则.
所以,.
答:
三次取球中恰有2个红球的概率为.…(4分)
(Ⅱ)设“从袋里任意取出2个球,球的颜色相同”为事件B,则,
整理得:
n2﹣7n+12=0,解得n=3(舍)或n=4.
所以,红球的个数为3个.…(8分)
(Ⅲ)ξ的取值为2,3,4,5,6,且,,,,.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
所以,.…(13分)
点评:
本题以摸球为素材,主要考查相互独立事件的概率的求法,考查了离散型随机变量的期望与分布列,解题的关键是正确利用公式求概率.
16.某批产品共10件,已知从该批产品中任取1件,则取到的是次品的概率为P=0.2.若从该批产品中任意抽取3件,
(1)求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率;
(2)求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望.
考点:
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专题:
应用题.
分析:
设该批产品中次品有x件,由已知,可求次品的件数
(1)设取出的3件产品中次品的件数为X,3件产品中恰好有一件次品的概率为;
(2)取出的3件产品中次品的件数X可能为0,1,2,求出相应的概率,从而可得概率分布列与期望.
解答:
解:
设该批产品中次品有x件,由已知,
∴x=2…(2分)
(1)设取出的3件产品中次品的件数为X,3件产品中恰好有一件次品的概率为…(4分)
(2)∵X可能为0,1,2
∴…(10分)
∴X的分布为:
X
0
1
2
P
则…(13分)
点评:
本题以实际问题为载体,考查等可能事件的概率,考查随机变量的期望与分布列,难度不大.
17.(2006•崇文区一模)某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛,但乙队明显处于弱势,乙队为争取胜利,决定采取这样的战术:
顽强防守,0:
0逼平甲队进入点球大战.假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为.现规定:
点球大战中每队各出5名队员,且每名队员都各踢一球,求:
(I)乙队以4:
3点球取胜的概率有多大?
(II)设点球中乙队得分为随机变量ξ,求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望.
考点:
二项分布与n次独立重复试验的模型;离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
(I)根据相互独立事件的概率公式以及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式进行求解即可;
(II)点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0,1,2,3,4,5,然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率,列出分布列,最后利用数学期望公式解之即可.
解答:
解:
(I)乙队以4:
3点球取胜的概率为P==25×=0.1043
(II)点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0,1,2,3,4,5
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==
P(ξ=3)==,P(ξ=3)==,P(ξ=5)==
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+5×=3.75
点评:
本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列,以及二项分布与n次独立重复试验的模型,同时考查了计算能力,属于中档题.