数列求和的基本方法归纳.doc

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数列求和的基本方法归纳

知识点

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）

（2）

（3）（4）

（5）

（6）

练习题

1、已知，求的前n项和.

2求和：

3、求数列前n项的和.

4、求的值

5、求数列的前n项和：

，…

6、求数列的前n项和.

7、在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

1、解：

由

由等比数列求和公式得（利用常用公式）

＝＝＝1－

2、解：

由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积

设……………………….②（设制错位）

①－②得（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

3、解：

由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

………………………………②

①－②得

∴

4、解：

设………….①

将①式右边反序得

………..②

又因为

①+②得

＝89

∴S＝44.5

5、解：

设将其每一项拆开再重新组合得

当a＝1时，＝

当时，＝

6、解：

设

则

＝＝

7、解：

　∵∴

∴数列{bn}的前n项和

＝＝

等比数列

知识点：

1、定义：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列；这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，表达式为：

；

2、如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，且

；

3、等比数列的通项：

4、等比数列的前项和：

5、等比数列的性质：

⑴若，则

特别的,当时,得注：

⑵等比数列中连续项的和构成等比数列,……

⑶等比数列中①三个数,,

②四个数,,,

练习题

1.已知等比数列中，且，则（）

A.B.C.D.

2.已知等比数列的公比为正数，且·=2=1，则=（）

A.B.C.D.2

3.在等比数列中,则（）

A.B.C.D.

4.设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=（）

（A）2（B）（C）（D）3

5.已知等比数列的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学计算得到S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）

A．S1B．S2C．S3D．S4

6.若是等比数列,前n项和,则（）

A.B.C.D.

7.已知数列1,a1,a2,4成等差数列，1,b1,b2,b3,4成等比数列，则_______．

8.已知等差数列{an}，公差d0,成等比数列，则=

9.等比数列{}的公比,已知=1，，则{}的前4项和=

10.在等比数列中，为数列的前项和，则.

11.已知等比数列记其前n项和为

（1）求数列的通项公式；

（2）若

12.已知等比数列的公比，是和的一个等比中项，和的等差中项为，若数列满足（）．

（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．

答案

1.D2.B3.A4.B5.C6.D

7.8.9.10.2011

三、解答题

11.解析：

（1）设等比数列的公比为q，则

解得 …………4分

所以 …………5分

（2） …………8分

由

12.解：

（Ⅰ）因为是和的一个等比中项，

所以．由题意可得因为，所以．解得

所以．故数列的通项公式．

（Ⅱ）由于（），所以．

．①

．②

①-②得．

所以

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