第4章 图变换.docx

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第4章图变换

第4章图像变换

4.1阿贝成像理论

在17世纪以前，人们一直认为光的本性是直线传播的。

直到1678年惠更斯在《论光》一书中提出光的波动学说之后，经菲涅尔的进一步完善，光的波动性才逐渐被人们认识和接受。

尽管如此，关于光的成像理论仍沿用它的直线传播本性来解释。

几乎是惠更斯提出波动理论后的200年，在1873年，阿贝（E.Abbe,1840—1905）在研究如何提高显微镜的分辨率时，试图用光的波动学说来解释成像原理而首先提出了“二次成像”假说。

随后他用数学证明了他的假说。

1906年波特（A.B.Porter）用一系列实验证实了阿贝的二次成像假说，从而使阿贝二次成像理论成为近代光信息处理的基础。

今天计算机图像处理的许多思想，都从那里借鉴而来。

4.1.1阿贝成像理论及其数学证明方法

图4.1是采用几何光学原理成像的光路图，物l经透镜系统L后成一倒立实物l′，f为透镜系统焦距。

图4.1成像系统几何光路

阿贝二次成像假说是这样解释成像过程的，阿贝认为，物体经过光学系统到像经历了两个过程：

（1）物l经光学系统后，在它的后焦面上形成衍射图样。

（2）以衍射图样为次波波源，在像平面上产生振幅叠加而构成了物的像l′。

阿贝从数学上精确地解释了它的假说。

阿贝提出，二次成像过程，就是对二维光场的复振幅进行正、反两次傅里叶变换的过程。

第一次衍射的作用，是把光场复振幅的空间分布，变成光学系统后焦面上的空间频率分布。

第二过程的作用，就是把空间频率分布还原成光场复振幅的空间分布。

假定物面上复振幅的分布为f（x，y），光学系统后焦面上的复振幅的空间频率分布为F（u，v），则f（x，y）的傅氏变换为

dxdy（4-1）

第二过程实质上是对F（u，v）作它的逆变换，设像平面上的光波场的复振幅分布为

f（x’，y’），则

dudv（4-2）

f（x’，y’）=kf（x，y），这是考虑它们之间的差异而不能全等的意思。

通常把光学系统的后焦面称为频谱面或变换平面。

4.1.2阿贝-波特实验

阿贝二次成像假说的提出，引起光学界的极大兴趣。

波特于1906年用实验方法证实了阿贝的假说，从此人们改称为阿贝二次成像理论。

图4-2是波特实验光路原理图。

透镜前放置一个方形细丝网格，用平行光入射，结果在透镜后焦平面上出现一系列按点阵排列的亮斑，而像平面上出现了网络的实像。

用阿贝成像理论完全可以解释这一实验现象，后焦面上的一次成像反映了物复振幅函数的傅里叶频谱分布，这正是物函数的傅里叶正变换的结果。

沿u，v方向的点阵排列，正是傅里叶频谱的一系列分立频率分量的分布。

像平面上的网络图像，正是频谱面上分立频率分量的逆傅里叶变换的结果。

这一实验较完整地证明了阿贝二次成像理论的正确性。

图4-2阿贝-波特实验光路原理图

波特的实验更加引起人们兴趣的是，在频谱面上采用不同形式的光束限制，而像也将发生变化。

例如，沿水平方向放一狭缝，即仅让水平方向一行斑点通过而阻挡其它的斑点不能通过，则网格像变成了一组垂直条纹，见图4-3（A）。

这表示像的竖直结构是水平方向的频率分量的贡献。

再将狭缝旋转90°，网格像也将随之改变成一组水平的平行条纹，见图4-3（B）。

这说明像的水平结构是竖直方向的频率分量的贡献。

如果将狭缝改成一小圆屏，挡住中心亮斑而让其它亮斑通过，则网格像对比度反转，即网格像的原黑线变白，而原白区变黑。

如果将圆屏换成一个小孔，仅让中心亮斑通过而挡住其它斑点，则网格像将不出现了。

频谱面上光束形式的变化造成像平面上像的变化，启发人们在频谱面上采取不同措施来改善和提高像的质量。

由此而发展了“光学信息处理”这门学科。

如“图像相减”、“图像边缘增强”、“目标识别”等技术，应用于军事、工农业生产等诸多领域。

因而可以说，阿贝成像理论是近代光学信息处理科学的基础，也是我们数字图像处理学科的物理基础。

图4-3网格物面的狭缝滤波

4.2函数的傅里叶（Fourier）变换

令f（x）为实变量x的连续函数且在（-∞，+∞）内绝对可积。

f（x）的傅里叶变换的定义为：

（4-3）

式中j=

u为函数f（x）变换后的空间频率。

若已知F（u），则可利用傅里叶反变换求得f（x）。

（4-4）

式（4-3）和式（4-4）称为傅里叶变换对，简称傅氏变换对，记作：

（4-5）

如果f（x）是连续可积的，并且F（u）是可积的，可以证明此傅氏变换对存在。

在实际应用中这些条件基本上都可以满足。

由式（4-3）可以看出，即使f（x）是一实函数，其傅氏变换通常是自变量u的复函数。

且具有以下形式：

F（u）=R（u）+jI（u）（4-6）

式中R（u）和I（u）分别是F（u）的实部和虚部。

我们也可以将式（4-6）写成指数形式：

F（u）=|F（u）|ejθ（u）（4-7）

式中

（4-8）

tg-1

（4-9）

|F（u）|称为f（x）的振幅谱或傅里叶谱或称变换的幅值；θ（u）是傅里叶变换的相角。

振幅谱的平方称为f（x）的能量谱，即

E（u）=|F（u）|2=R2（u）+I2（u）（4-10）

通常，我们将傅里叶变换前的变量域，即变量x的变化范围称为空间域或空域，而将变换后的变量域，即变量u的变化范围称为频率域或频域。

傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。

设函数f（x,y）是连续可积的，且f（u,v）可积，则存在如下的傅里叶变换对：

（4-11）

（4-12）

式中u,v是傅里叶变换的空间频率。

与一维的情形一样，二维函数的傅里叶变换也可以写成指数形式：

F（u,v）=|F（u,v）|·ejθ（u,v）（4-13）

其中

（4-14）

tg-1

（4-15）

能量谱为：

E（u,v）=R2（u,v）+I2（u,v）（4-16）

4.3离散傅里叶变换（DFT）

从函数f（x）中取出N个等间隔点作为取样点，将一个连续函数f（x）离散化为一个序列{f（x0）,f（x0+Δx）,f（x0+2Δx）…f（x0+[N-1]Δx）}，如图4-4所示。

图4-4连续函数f（x）的离散化

如果我们定义f（x）=f（x0+xΔx）。

这里，x将被看作离散变量，取离散值为0，1，2，…，N-1，则序列{f（0）,f

（1）,f

（2）,…，f（N-1）}可用来表示取自相应的连续函数的任意N个等间隔的取样值。

被抽样的函数的离散傅里叶变换对由下面式（4-17）和式（4-18）给出。

（4-17）

式中u=0，1，2，…，N-1。

（4-18）

式中x=0，1，2，…，N-1。

在式（4-17）给出的离散傅里叶变换中，u=0，1，2，…，N-1的值，对应于在值0，Δu，2Δu，…，（N-1）Δu处连续傅里叶变换的抽样值，即用F（u）来表示F（uΔu）。

Δu和Δx的关系由下式表示：

（4-19）

Δu和Δx分别称为频率域和空间域的抽样增量。

同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其正变换（DFT）和反变换（IDFT）由下面两式给出。

（4-20）

式中u=0，1，2，…，N-1；v=0，1，2，…，N-1。

（4-21）

式中x=0，1，2，…，N-1；y=0，1，2，…，N-1。

几点说明：

（1）函数的抽样可看成是在二维栅格上进行的，格子在x和y轴上的宽度分别为Δx和Δy，如图4-5。

f（x,y）表示在点（x0+xΔx,y0+yΔy）处对连续函数的取样值f（x0+xΔx,y0+yΔy），x=0，1，2，…，N-1；y=0，1，2，…，N-1。

F（u,v）有相同的解释。

（2）考虑图像的抽样通常是一个方阵，如64×64，128×128，256×256，或512×512，因而在x方向和y方向的抽样点数均取N。

（3）有关离散函数的傅里叶谱、相位和能量谱也分别由式（4-14）、（4-15）和（4-16）给出，唯一的差别是独立变量是离散的。

（4）由式（4-20）和（4-21）表示的傅氏变换对中，其常数乘项都包含有1/N项。

有的参考书中将两者组合放在正变换中，也有的放在反变换中。

由于它们是一个变换对，不同的放置方法不影响最后的结果。

图4-5连续函数f（x）的抽样

4.4傅里叶变换的性质

傅氏变换的一些性质在数字图像处理中是非常有用的。

利用这些性质，一方面可以简化DFT的计算方法；另一方面，某些性质可直接应用于图像处理中去解决某些实际问题。

4.4.1傅里叶变换的共轭表达式

首先我们来证明下面等式：

=

（4-22）

其中符号*表示取共轭。

到此等式（4-22）得到证明。

这一结果非常有利于简化逆傅氏变换的计算方法。

从等式（4-22）左边看出，它就是逆变换的形式，即

因此，等式（4-22）的右端括号内部分可以写成如下形式：

（4-23）

从式（4-23）看出，这就是f*（x）的傅里叶正变换。

这表明当你把F*（u）送入计算傅里叶正变换的程序中去时，得到的是原函数的共轭f*（x）。

对它取共轭，即可得到原函数f（x）。

傅里叶逆变换的这种形式，当然可推广到离散傅里叶变换中去。

对于一维离散情形，存在如下等式：

（4-24）

对于二维离散的情形，存在如下等式

（4-25）

式（4-23）、（4-24）、（4-25）都说明了傅里叶变换的一个共同性质，无论是对连续的或是离散的傅里叶变换，求它的逆变换时，都可以通过求它的正变换的算法来完成。

这一性质为我们编制傅里叶算法程序带来极大方便。

4.4.2可分离性

式（4-20）给出的离散傅里叶变换可表示成它的分离形式

=

=

（4-26A）

式（4-26A）表明，在对f（x,y）函数做二维傅氏变换时可分两步进行。

第一步是把y看成不变，如（4-26A）式中中括号内的表示，这就得到沿x方向的u=0，1，2，…，N-1个频率的一维变换。

对每一行都作这样的处理。

第二步是换成对x固定不变，得到的是沿y方向的一个v=0，1，2，…，N-1个频率的一维变换。

对每一列都作这样的处理。

最后就完成了f（x,y）的二维变换。

同样，对二维反变换也有类似可分离的表示。

=

=

（4-26B）

4.4.3线性性质

如果f1（x,y）和f2（x,y）的傅里叶变换分别为F1（u,v）和F2（u,v）,a,b是两个标量，则有下述变换对存在：

（4-27）

另外，我们也容易证明

（4-28）

4.4.4周期性和共轭对称性

若以（u+N）代替u,（v+N）代替v,N为周期，按傅里叶变换的定义有

=

=F（u,v）[cos（2π（x+y））-jsin（2π（x+y））]（4-29）

由于X，Y是整数，方括号内值为1，这表明f（x,y）的振幅谱具有周期性，周期为（N,N）。

傅里叶变换还具有共轭对称性质，从周期性可以导出共轭对称性的关系。

由式（4-29），取它的共轭，有：

（4-30）

将式（4-30）中的u换成-u,v换成-v，则该式变成：

=F（u,v）（4-31）

式（4-31）就是傅里叶变换的共轭对称性的表达式。

利用这一性质，容易分析到，图像函数经二维傅里叶变换后，如果将F（0，0）置于谱方阵的中心，则其余各行各列的谱对中心点是共轭对称的。

利用这一特性，如果在数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆变换恢复原图像前，按对称性补充另一部分数据，即可达到数据压缩的目的。

4.4.5卷积定理

傅里叶变换之间有一种特殊的关系，它构成了空间域和频率域之间的基本联系，这个关系称为卷积，它对深入理解在傅里叶变换基础上的图像处理技术十分重要。

我们先以一维连续函数为例来讨论它们，然后再推广到二维离散情况。

两个函数f（x）和g（x）的卷积记作f（x）*g（x），由下面积分公式定义：

（4-32）

其中，α是积分变量。

如果f（x）和F（u）,g（x）和G（u）是两个傅里叶变换对。

卷积定理用傅里叶变换对表示为：

（4-33）

式（4-33）表明，在空域中的卷积可以用频域乘积F（u）·G（u）来替换。

当然也存在所谓频域卷积定理，即频域中的卷积转化为空域中的乘积。

频域卷积定理可表示为：

（4-34）

根据傅里叶变换的定义，容易证明卷积定理。

用F[f（x）]符号表示函数f（x）的傅里叶变换。

=

=

=F（u）·G（u）（4-35）

同理，可以证明式（4-34）。

卷积定理同样可推广到离散的情况。

设f（x）和g（x）离散化成大小为A和B的两个抽样数列：

{f（0）,f

（1）,f

（2），…，f（A-1）}和{g（0）,g

（1）,g

（2），…，g（B-1）}。

由于离散卷积的应用主要是来逼近它的连续卷积，为了使离散卷积结果近似它的连续函数卷积结果，需要将f（x）和g（x）的周期进行延拓，使它变为M。

M应按下式选择：

M=A+B-1（4-36）

周期延拓后的f（x）和g（x）的数列为

（4-37）

（4-38）

故此离散函数的卷积定义为

（4-39）

其中x=0，1，2，…，M-1。

如果用符号F[fe（x）*ge（x）]表示对fe（x）*ge（x）的傅氏变换，按照证明公式（4-35）的方法我们可以得到离散卷积定理，表示如下：

（4-40）

这里F（u）和G（u）分别是fe（x）和ge（x）的离散傅里叶变换。

卷积定理同样可以推广到二维的情况。

公式（4-41），（4-42）和（4-43）是二维连续函数f（x,y）和g（x,y）的卷积定义及其卷积定理的表示。

dαdβ（4-41）

（4-42）

（4-43）

如果把f（x,y）和g（x,y）看成是大小分别为A×B和C×D的离散数列，为考虑二维离散卷积结果与它对应的连续卷积结果的一致性，必须在x和y方向上扩展这些数列为某个周期为M和N。

其数值为：

（4-44）

此时，f（x,y）和g（x,y）有如下形式：

（4-45）

（4-46）

二维离散卷积定义为：

（4-47）

其中x=0，1，2，…，M-1；以及y=0，1，2，…，N-1。

其卷积定理的形式完全同于式（4-42）和（4-43）。

卷积定理所描述的空域的卷积计算与频域的关系可能简化繁杂的卷积运算而转变为乘法运算。

而卷积运算在图像处理中，特别在增强处理中是经常遇到的。

4.5图像傅里叶变换实例

图4-6是经采集后一幅N×N=16×16的子图像块的灰度分布。

图4-7是它的傅氏变换后的幅值（傅里叶谱）分布图，直流分量已移至窗口中心。

图4-616×16子图像块的灰度分布

图4-7子图像块傅氏变换的频谱分布

傅里叶变换结果，原点在窗口的左上角，即变换后的直流成分位于左上角，窗口的四角分布低频成分。

为便于分析，通常采用频移技术使直流成分位于窗口中心，即变换后的坐标原点移至窗口中心，见图4-8。

围绕坐标中心是低频，即图中阴影区，向外是高频。

图4-8DFT的频谱分布

4.5.1图像傅氏变换的统计特性

（1）图4-7中心数值最大的值，可看成变换后的零频分量F（0，0），或直流分量。

按公式（4-20）有

（4-48）

它反映了原始图像的平均亮度。

（2）从图4-7看出，图像的能量主要集中在低频区，其高频区的幅值很小或趋向于零。

对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85%以上的能量。

这一点成为图像变换压缩编码的理论根据。

如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变换前将它们再恢复为零值即可。

（3）原图像中如果存在有明显的颗粒噪音或图像的某些细节处具有明显的亮度跳跃，变换后的高频幅值数值增加，分布增多。

由此得出，图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。

除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。

4.5.2傅氏变换频谱分布实例

图4-9示出三幅图像经傅氏变换后的频谱分布例子。

左边均为原始图像，右边分别是它们变换后的谱分布。

图像尺寸均为64×64。

图（A）是中心为一小正方形周边为空；图（B）是中心为小圆，周边为空；图（C）是中心为斜置的小矩形，周边为空。

图4-9傅氏变换频谱分布实例

谱分布图中，最亮区域表示其变换后的幅值最大。

结合实例（A），（B），可用数学分析方法的结果进行比较。

如对图（A），可考虑将原图像抽象为一矩形函数，图（B）可考虑将原图像抽象为一圆域函数。

对图（C），可看出这样一个事实，即谱分布方向是与其正交的原图像方向的贡献结果。