数值分析实验论文矩阵的特征值与特征向量Word文档下载推荐.docx
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6、编写复化辛卜生公式和龙贝格算法，通过实际计算体会各种方法的精确度；
具体题目P2572
（1）要求分别编写复化辛卜生公式和龙贝格算法
7、
利用改进Euler方法和四阶Runge-Kutta方法求解初值问题的微分方程组；
P2671
（1）
8、利用幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量；
P2711C
（8个中选取2个）
三、设计时间
2010—2011学年第1学期：
第16周 共计一周
教师签名：
2010年12月20日
前言
随着计算机技术的迅速发展和广泛应用，在众多领域内，人们在越来越多的问题中是通过计算matlab程序来实现的。
机来完成，计算数学是数学与计算机科学的交叉科学，它既有数学的抽象性与严密性，又有计算机科学的实践性和技术性。
基于计算数学的以上特性，人们也越来越注重使用计算数学方法来完成许多的问题。
而其中C语言和matlab更是被广大大学生广泛的运用，大学生的许多学习内容是通过计算机编写C语言或matlab程序来具体实现，本论文中实验题目就是通过编写matlab程序来实现的。
摘要
本论文的内容是应用最小二乘法对不同的曲线进行曲线拟合和运用幂法求矩阵的特征值及特征向量，通过使用最小二乘法对不同的曲线进行拟和并比较其优劣性，掌握如何使用最小二乘法对曲线进行拟合并了解最小二乘法的使用方法。
并掌握使用幂法求矩阵在特征值及特征向量。
论文中的具体操作都是通过编写matlab程序来实现，由此可以更好的了解matlab语言的使用和编程，在熟练掌握matlab语言编程的基础上，编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。
关键词：
曲线拟和；
最小二乘法；
幂法；
矩阵的特征值与特征向量；
matlab
目录
一、实验目的………………………………………………4
二、实验内容………………………………………………4
三、算法……………………………………………………4
3.1、最小二乘法算法……………………………………4
3.2、幂法算法……………………………………………5
四、程序编码及运行结果……………………………………6
4.1、最小二乘法拟合函数………………………………6
4.2、幂法求特征值与特征向量…………………………9
五、结果分析…………………………………………………11
六、附录………………………………………………………12
参考文献………………………………………………………12
一、实验目的：
1）了解最小二乘法的基本原理，并运用其对曲线进行拟合；
2）领会求矩阵特征值及特征向量在幂法的理论及方法；
3）会编制上述方法在计算机程序，并用来计算有关问题。
二、实验内容：
1）利用所给数据进行数据的多项式和可转化成多项式形式的函数拟合；
2）利用幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量；
三、算法：
3、1最小二乘法算法
已知数据对（xj,yj）（j=1,2,…n）,求多项式P（x）=
使得（a0,a1,…,an）=
为最小。
注意到此时k（x）=xk，
多项式系数a0,a1,…,am满足下面的线性方程组；
=
其中
（k=0,1,2,…,2m）
（k=0,1,2,…,m
然后只要调用解线性方程组的函数程序即可。
3、2幂法算法
幂法是求矩阵住特征值的一种迭代方法。
设A∈Rn*n有n个线性无关的特征向量X1,X2,…,Xn，而相应的特征值满足|λ1|〉|λ2|≥…≥|λn|,则对任意非零初始向量V0=U0≠0按下述公式构造向量序列：
V0=U0≠0
Vk=AUk-1k=0,1,2…
Uk=Vk/max（Vk）
其中max（Vk）表示Vk中模最大的分量，并有
Uk=
，，
=
1.
用幂法计算式对称你矩阵的r特征值时，可用Rayleigh商作加速。
设Uk的Rayleigh商为Rk,则
Rk=
当k
时，Rk将比max（Vk）更快地趋向于
四、程序编码和运行结果：
4.1、最小二乘法拟合函数
一元二次函数：
functionZXE（x,y,m）
x=[11.522.533.544.555.566.577.58];
y=[33.479.50122.65159.05189.15214.15238.65252.50267.55280.50296.65301.40310.40318.15325.15];
m=2;
S=zeros（1,2*m+1）;
T=zeros（m+1,1）;
fork=1:
2*m+1
S（k）=sum（x.^（k-1））;
end
m+1
T（k）=sum（x.^（k-1）.*y）;
A=zeros（m+1,m+1）;
a=zeros（m+1,1）;
fori=1:
forj=1:
A（i,j）=S（i+j-1）;
end
a=A\T;
fprintf（‘a[%d]=%f\n’,k,a（k））;
指数函数：
functionZXE2（x,y）
y=[33.479.50122.65159.50189.15214.15238.65252.50267.55280.50296.65301.40310.40318.15325.15];
z=log（y）;
p=polyfit（x,z,1）
上述两个程序运行结果：
抛物线拟合函数：
y（t）=-45.333297+94.230200t-6.131610t^2
抛物线拟和图：
指数拟合函数：
y=
指数曲线拟和图：
两拟合函数比：
蓝色代表抛物线拟合函数，绿色代表指数拟合函数
4.2、幂法求特征值与特征向量
程序：
functioniterMult（A,u,KM,eps）
k=0;
r1=0;
whilek<
KM
k=k+1;
v=A*u;
r2=norm（v,Inf）;
u=v/r2;
if（abs（r1-r2）<
eps）break;
r1=r2;
ifk>
=KM
fprintf（'
TheMethodisdisconvergent\n'
）;
else
r=%f\n'
r2）;
fori=1:
length（u）
x[%d]=%f\n'
i,u（i））;
运行结果：
五、结果分析：
小结：
由matlab程序运行结果可以知道抛物线拟合函数为：
y（t）=-45.333297+94.230200t-6.131610
指数拟合函数为：
比较2个拟合函数的优劣性主要是看给定数据与拟合函数的偏差大小，而以偏差小者为优。
由抛物线函数拟合图和指数函数拟合图可以看出：
在抛物线函数拟合图中点集与拟合函数的偏差不是很大，而在指数函数拟合图中点集和拟合函数的偏差不较大，则抛物线拟合函数比指数拟合函数更好。
由matlab程序运行结果可知：
矩阵的最大特征值是r=98.125698,
对应的特征向量是x=
。
六、附录
1、试分别用抛物线y=a+bx+cx2和指数曲线y=aebx拟合下列数据
xi
11.522.533.544.5
yi
33.479.5122.65159.05189.15214.15238.65252.50
55.566.577.58
267.55280.50296.65301.40310.40318.15325.15
比较2个拟合函数的优劣。
2,、用幂法求矩阵按模最大的特征值r及相应的特征向量x，使
：
A=
参考文献：
【1】孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初.计算方法与实习.第四版.东南大学出版社，2005
【2】赵静，但琦，严尚安，杨秀文.数学建模与数学实验.第三版.高等教育出版社2008
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