第六部分 函数的奇偶性.docx

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第六部分函数的奇偶性

第六部分函数的奇偶性

一、基本知识点

1．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f（x）就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f（x）就叫做奇函数．

奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称．

2．奇、偶函数的性质

（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性________，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性________．

（2）在公共定义域内，

①两个奇函数的和是________，两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积都是__________；

③一个奇函数，一个偶函数的积是__________．

3．周期性

（1）周期函数：

对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝________，那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．

（2）最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中____________的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

4．对称性

若函数f（x）满足f（a－x）＝f（a＋x）或f（x）＝f（2a－x），则函数f（x）关于直线x＝a对称．

2、内容扩充

1．函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性主要根据定义：

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x）（或f（－x）＝－f（x）），那么函数f（x）就叫做偶函数（或奇函数）．其中包含两个必备条件：

①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；

②判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立．

2．函数奇偶性的性质

（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．

（2）若f（x）为偶函数，则f（－x）＝f（x）＝f（|x|）．

（3）若奇函数f（x）定义域中含有0，则必有f（0）＝0.

“f（0）＝0”是“f（x）为奇函数”的既不充分也不必要条件．

（4）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”．

（5）复合函数的奇偶性特点：

“内偶则偶，内奇同外”．

（6）既奇又偶的函数有无穷多个（如f（x）＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．

1．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．

2．下列函数中，所有奇函数的序号是________．

①f（x）＝2x4＋3x2；②f（x）＝x3－2x；

③f（x）＝

；④f（x）＝x3＋1.

3．设函数f（x）＝x3cosx＋1.若f（a）＝11，则f（－a）＝________.

4．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝lgx，则满足f（x）>0的x的取值范围是________．

5．定义在R上的函数y＝f（x）是奇函数，且满足f（1＋x）＝f（1－x）．当x∈[－1,1]时，f（x）＝x3，则f（2020）的值是（　　）

A．－1　　　B．0　　　　C．1　　　　D．2

3、小练习

题型一　函数奇偶性的判断

例1判断下列函数的奇偶性．

（1）f（x）＝

＋

；

（2）f（x）＝（x＋1）

；

（3）f（x）＝

.

探究提高　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；

（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立．

分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．

练习判断下列函数的奇偶性．

（1）f（x）＝lg

；

（2）f（x）＝（x－1）

；

（3）f（x）＝

（4）f（x）＝

.

题型二　函数的单调性与奇偶性

例2定义在（－1,1）上的函数f（x）．

（ⅰ）对任意x，y∈（－1,1）都有：

f（x）＋f（y）＝f

；

（ⅱ）当x∈（－∞，0）时，f（x）>0，回答下列问题．

（1）判断f（x）在（－1,1）上的奇偶性，并说明理由；

（2）判断函数f（x）在（0,1）上的单调性，并说明理由；

（3）若f

＝

，试求f

－f

－f

的值．

探究提高　对于抽象函数单调性和奇偶性的判断一般要紧扣定义．通过赋值要出现：

f（x1）－f（x2）与0的大小关系，f（x）与f（－x）的关系．就本题来讲要注意运用x<0时f（x）>0的条件．

练习函数y＝f（x）（x≠0）是奇函数，且当x∈（0，＋∞）时是增函数，若f

（1）＝0，求不等式f[x（x－

）]<0的解集．

题型三　函数的奇偶性与周期性

例3设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）．当x∈[0,2]时，f（x）＝2x－x2.

（1）求证：

f（x）是周期函数；

（2）当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式；

（3）计算f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2011）．

探究提高　判断函数的周期只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．

练习已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x＋2）＝－

，当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f（105.5）＝________.

练习函数f（x）的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）．

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明；

（3）如果f（4）＝1，f（3x＋1）＋f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围．

解　

（1）令x1＝x2＝1，

有f（1×1）＝f

（1）＋f

（1），解得f

（1）＝0.[2分]

（2）f（x）为偶函数，证明如下：

[4分]

令x1＝x2＝－1，

有f[（－1）×（－1）]＝f（－1）＋f（－1），解得f（－1）＝0.

令x1＝－1，x2＝x，有f（－x）＝f（－1）＋f（x），

∴f（－x）＝f（x）．∴f（x）为偶函数．[7分]

（3）f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，

f（16×4）＝f（16）＋f（4）＝3.[8分]

由f（3x＋1）＋f（2x－6）≤3，

变形为f[（3x＋1）（2x－6）]≤f（64）．（*）

∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x）＝f（|x|）．

∴不等式（*）等价于f[|（3x＋1）（2x－6）|]≤f（64）．[9分]

又∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

∴|（3x＋1）（2x－6）|≤64，且（3x＋1）（2x－6）≠0.

解得－

≤x<－

或－

∴x的取值范围是{x|－

≤x<－

或－

批阅笔记　数学解题的过程就是一个转换的过程．解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度．如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的．等价转化要做到规范，应注意以下几点：

（1）要有明确的语言表示．如“M”等价于“N”，“M”变形为“N”．

（2）要写明转化的条件．如本例中：

∵f（x）为偶函数，∴不等式（*）等价于f[|（3x＋1）（2x－6）|]≤f（64）．

（3）转化的结果要等价．如本例：

由于f[|（3x＋1）（2x－6）|]≤f（64）⇒|（3x＋1）（2x－6）|≤64，且

（3x＋1）（2x－6）≠0.若漏掉（3x＋1）（2x－6）≠0，则这个转化就不等价了.

方法与技巧

1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：

（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要非充分条件；

（2）f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）是定义域上的恒等式．

2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：

f（－x）＝±f（x）⇔f（－x）±f（x）＝0⇔

＝±1（f（x）≠0）．

3．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图像的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

4．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

5．判断函数f（x）是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f（－x）＝－f（x），而不能说存在x0使f（－x0）＝－f（x0）．对于偶函数的判断以此类推．

6．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．

限时训练A组（时间：

60分钟）

一、选择题

1．（2011·课标全国）下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）单调递增的函数是（　　）

　A．y＝x3B．y＝|x|＋1

C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|

2．（2011·辽宁）若函数f（x）＝

为奇函数，则a等于（　　）

A.

B.

C.

D．1

3．函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：

对任意x∈R，都有f（2＋x）＝f（2－x），f（1＋x）＝－f（x），则f（x）（　　）

A．是奇函数但非偶函数

B．是偶函数但非奇函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．是非奇非偶函数

4．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7）等于（　　）

A．－2B．2C．－98D．98

二、填空题

5．设函数f（x）＝

为奇函数，则a＝________.

6．（2010·江苏）设函数f（x）＝x（ex＋ae－x）（x∈R）是偶函数，则实数a的值为________．

7．（2010·山东高考改编）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋2x＋b（b为常数），则f（－1）＝______.

三、解答题

8．已知函数f（x）＝x2＋

（x≠0）．

（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若f

（1）＝2，试判断f（x）在[2，＋∞）上的单调性．

限时训练B组　

一、选择题

1．（2011·安徽）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f

（1）等于（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

2．设奇函数f（x）的定义域为R，最小正周期T＝3，若f

（1）≥1，f

（2）＝

，则a的取值范围是（　　）

A．a<－1或a≥

B．a<－1

C．－1

D．a≤

3．定义在R上的函数f（x）是偶函数，且f（x）＝f（2－x）．若f（x）在区间[1,2]上是减函数，则f（x）（　　）

A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数

B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数

D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数

二、填空题

4．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f

＝－f（x），且函数y＝f

为奇函数，给出以下四个命题：

①函数f（x）是周期函数；

②函数f（x）的图像关于点

对称；

③函数f（x）为R上的偶函数；

④函数f（x）为R上的单调函数．

其中真命题的序号为________．

5．（2011·浙江）若函数f（x）＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.

6．对于函数f（x）＝

（其中a为实数，x≠1），给出下列命题：

①当a＝1时，f（x）在定义域上为单调函数；

②f（x）的图像关于点（1，a）对称；

③对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；

④当a＝－1时，f（x）为偶函数；

⑤当a＝2时，对于满足条件2

其中正确命题的序号为________．

三、解答题

7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x＝1对称．

（1）求证：

f（x）是周期为4的周期函数；

（2）若f（x）＝

（0

8．函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）．

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；

（3）如果f（4）＝1，f（x－1）<2，且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围．

答案

要点梳理

1．f（－x）＝f（x）　f（－x）＝－f（x）

2．

（1）相同　相反　

（2）①奇函数　②偶函数　③奇函数

3．

（1）f（x）　

（2）存在一个最小

基础自测

1.

　2.②③　3.－9

4．（－1,0）∪（1，＋∞）　5.C

题型分类·深度剖析

例1

　解　

（1）由

，得x＝±3.

∴f（x）的定义域为{－3,3}．

又f（3）＋f（－3）＝0，f（3）－f（－3）＝0.

即f（x）＝±f（－x）．

∴f（x）既是奇函数，又是偶函数．

（2）由

，得－1

∵f（x）的定义域（－1,1]不关于原点对称．

∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（3）由

，得－2≤x≤2且x≠0.

∴f（x）的定义域为[－2,0）∪（0,2]，关于原点对称．

∴f（x）＝

＝

.

∴f（x）＝－f（－x），∴f（x）是奇函数．

变式训练1　解　

（1）由

>0⇒－1

又f（－x）＝lg

＝lg

－1

＝－lg

＝－f（x），

故原函数是奇函数．

（2）由

≥0且2－x≠0⇒－2≤x<2，

定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．

（3）函数定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，又当x>0时，f（x）＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f（－x）＝x2－x＝f（x）；

当x<0时，f（x）＝x2－x，

则当x>0时，－x<0，

故f（－x）＝x2＋x＝f（x），

故原函数是偶函数．

（4）由

得定义域为（－1,0）∪（0,1），关于原点对称，

∴f（x）＝

＝－

.

∵f（－x）＝－

＝－

＝f（x），∴f（x）为偶函数．

例2

　解　

（1）令x＝y＝0⇒f（0）＝0，

令y＝－x，则f（x）＋f（－x）＝0⇒f（－x）＝－f（x）⇒f（x）在（－1,1）上是奇函数．

（2）设0

则f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）

＝f

，

而x1－x2<0,0

<0

⇒f

>0，

即当0f（x2），

∴f（x）在（0,1）上单调递减．

（3）由于f

－f

＝f

＋f

＝f

＝f

，

同理，f

－f

＝f

，

f

－f

＝f

，

∴f

－f

－f

＝2f

＝2×

＝1.

变式训练2　解　∵y＝f（x）为奇函数，且在（0，＋∞）上为增函数，

∴y＝f（x）在（－∞，0）上也是增函数，

且由f

（1）＝0得f（－1）＝0.

若f[x（x－

）]<0＝f

（1），

则

即0

）<1，

解得

或

若f[x（x－

）]<0＝f（－1），

则

由x（x－

）<－1，解得x∈∅.

∴原不等式的解集是

{x|

或

例3

（1）证明　∵f（x＋2）＝－f（x），

∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）．

∴f（x）是周期为4的周期函数．

（2）解　∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，

∴4－x∈[0,2]，

∴f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8，又f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），

∴－f（x）＝－x2＋6x－8，

即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．

（3）解　∵f（0）＝0，f

（2）＝0，f

（1）＝1，f（3）＝－1.又f（x）是周期为4的周期函数，

∴f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7）＝…＝f（2008）＋f（2009）＋f（2010）＋f（2011）＝0.

∴f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2011）＝0.

变式训练3　2.5

课时规范训练

A组

1．B　2.A　3.B　4.A　

5．－1　6.－1　7.－3

8．解　

（1）当a＝0时，f（x）＝x2，

f（－x）＝f（x），函数是偶函数．

当a≠0时，f（x）＝x2＋

（x≠0，常数a∈R），取x＝±1，得f（－1）＋f

（1）＝2≠0；

f（－1）－f

（1）＝－2a≠0，

∴f（－1）≠－f

（1），f（－1）≠f

（1）．

∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

（2）若f

（1）＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，

这时f（x）＝x2＋

.

任取x1，x2∈[2，＋∞），且x1

则f（x1）－f（x2）＝（x

＋

）－

＝（x1＋x2）（x1－x2）＋

＝（x1－x2）

.

由于x1≥2，x2≥2，且x1

∴x1－x2<0，x1＋x2>

，

所以f（x1）

故f（x）在[2，＋∞）上是单调递增函数．

B组

1．A　2.C　3.B　

4．①②③5．06．②③⑤

7．

（1）证明　由函数f（x）的图像关于直线x＝1对称，有f（x＋1）＝f（1－x），

即有f（－x）＝f（x＋2）．

又函数f（x）是定义在R上的奇函数，

故有f（－x）＝－f（x）．

故f（x＋2）＝－f（x）．

从而f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），

即f（x）是周期为4的周期函数．

（2）解　由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）＝0.

x∈[－1,0）时，－x∈（0,1]，

f（x）＝－f（－x）＝－

.

故x∈[－1,0]时，f（x）＝－

.

x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，

f（x）＝f（x＋4）＝－

.

从而，x∈[－5，－4]时，

函数f（x）＝－

.

8．解　

（1）∵对于任意x1，x2∈D，

有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），

∴令x1＝x2＝1，得f

（1）＝2f

（1），

∴f

（1）＝0.

（2）令x1＝x2＝－1，

有f

（1）＝f（－1）＋f（－1），

∴f（－1）＝

f

（1）＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f（－x）＝f（－1）＋f（x），

∴f（－x）＝f（x），∴f（x）为偶函数．

（3）依题设有f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，

由

（2）知，f（x）是偶函数，

∴f（x－1）<2⇔f（|x－1|）

又f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

∴0<|x－1|<16，

解之得－15

∴x的取值范围是{x|－15