函数的奇偶性.docx

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函数的奇偶性

专题4　函数的奇偶性

1．函数的奇偶性定义

对于函数f（x）的定义域内任意一个x：

（1）f（－x）＝f（x）⇔f（x）是偶函数；

（2）f（－x）＝－f（x）⇔f（x）是奇函数．

2．函数的奇偶性的性质

（1）对称性：

奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

（2）整体性：

奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x必须成立；

（3）可逆性：

f（－x）＝f（x）⇔f（x）是偶函数；f（－x）＝－f（x）⇔f（x）是奇函数；

（4）等价性：

偶函数：

f（－x）－f（x）＝0；奇函数：

f（－x）＋f（x）＝0；

（5）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

3．分类

奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．

4．函数的奇偶性判断方法与步骤

利用定义判断：

（1）定义域是否关于原点对称，

（2）数量关系f（－x）＝±f（x）哪一个成立．

例1　判断下列函数是否具有奇偶性．

（1）f（x）＝x＋x3＋x5；

（2）f（x）＝

＋

.

变式训练1　判断下列函数是否具有奇偶性．

（1）f（x）＝x2＋1；

（2）f（x）＝x＋1；

（3）f（x）＝x2，x∈[－1,3]．

例2　求函数f（x）＝

的奇偶性．

变式训练2　判定函数f（x）＝

的奇偶性．

例3　若f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）＝x（1－x），求当x≥0时，函数f（x）的解析式．

变式训练3　已知函数f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝x－x4，求当x∈（0，＋∞）时，f（x）的表达式．

A级

1．函数f（x）＝2x3的图象（　　）

A．关于y轴对称B．关于x轴对称

C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称

2．奇函数f（x）的定义域为R.若f（x＋2）为偶函数，且f

（1）＝1，则f（8）＋f（9）等于（　　）

A．－2B．－1C．0D．1

3．函数f（x）＝x＋

（　　）

A．是奇函数，但不是偶函数

B．是偶函数，但不是奇函数

C．既是奇函数，又是偶函数

D．既不是奇函数，又不是偶函数

4．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f

（1）等于（　　）

A．－3B．－1

C．1D．3

5．若f（x）＝（x＋a）（x－4）为偶函数，则实数a＝________.

6．若奇函数f（x）的定义域为[p，q]，则p＋q＝________.

7．奇函数f（x）的定义域为[－2,2]，若f（x）在[0,2]上单调递减，且f（1＋m）＋f（m）<0，则实数m的取值范围是________．

B级

8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，则（　　）

A．f（3）

（1）B．f

（1）

C．f（－2）

（1）

（1）

9．已知函数f（x）对任意的x∈R有f（x）＋f（－x）＝0，且当x>0时，f（x）＝ln（x＋1），则函数f（x）的大致图象为（　　）

10．函数f（x）＝x|x＋a|＋b是奇函数则（　　）

A．a·b＝0B．a＋b＝0

C．a2＋b2＝0D．a＝b

11．定义在[－2,2]上的奇函数f（x），当x∈（0,2]时，f（x）＝－

x＋1，则不等式f（x）－f（－x）≥2x的解集为________．

12．函数f（x）在R上为奇函数，且x>0时，f（x）＝

＋1，则当x<0时，f（x）＝________.

13．函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）．

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；

（3）如果f（4）＝1，f（x－1）<2，且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围．

14．设函数f（x）＝

.

（1）判断它的奇偶性；

（2）x≠0，求f（

）＋f（x）的值；

（3）计算f（

）＋f（

）＋f（

）＋f（

）＋f（0）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）的值．

答案精析

专题4　函数的奇偶性

典型例题

例1　解　

（1）函数f（x）＝x＋x3＋x5的定义域为R.

当x∈R，－x∈R.

∵f（－x）＝－x－x3－x5＝－（x＋x3＋x5）＝－f（x）．

∴f（x）＝x＋x3＋x5为奇函数．

（2）由

得x＝－

，或x＝

.

∴函数f（x）的定义域为{－

，

}．

又∵对任意的x∈{－

，

}，－x∈{－

，

}，

且f（－x）＝－f（x）＝f（x）＝0，

∴f（x）既是奇函数又是偶函数．

变式训练1　解　

（1）函数f（x）＝x2＋1的定义域为R，当x∈R时，－x∈R.

∵f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1＝f（x），

∴f（x）＝x2＋1是偶函数．

（2）函数f（x）＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R，

∵f（－x）＝－x＋1＝－（x－1），

－f（x）＝－（x＋1），

f（－x）≠－f（x）且f（－x）≠f（x）（x∈R）

∴f（x）＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．

（3）因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1,3]，而－3∉[－1,3]．

∴f（x）＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函数，也不是奇函数．

例2　解　函数定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．

当x<0时，－x>0，

则f（－x）＝－（－x）2－x

＝－（x2＋x）＝－f（x）；

当x>0时，－x<0，

则f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x

＝－（－x2＋x）＝－f（x）．

∴对任意x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）都有f（－x）＝－f（x）．

故f（x）为奇函数．

变式训练2　解　当x>0时，－x<0

f（－x）＝（－x）2＋2（－x）＋3

＝x2－2x＋3＝－f（x）；

当x<0时，－x>0

f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）－3

＝－x2－2x－3＝－f（x）．

∴f（x）是奇函数．

例3　解　由f（x）是奇函数，

当x>0时，f（x）＝－f（－x）

＝－{（－x）[1－（－x）]}＝x（1＋x）；

当x＝0时，f（0）＝－f（0），

即f（0）＝0.

∴当x≥0时，f（x）＝x（1＋x）．

变式训练3　解　当x∈（0，＋∞）时，

－x∈（－∞，0），

因为x∈（－∞，0）时，f（x）＝x－x4，

所以f（－x）＝（－x）－（－x）4＝－x－x4，

因为f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，所以f（－x）＝f（x），

所以当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－x－x4.

强化提高

1．D　[∵f（x）＝2x3，

∴f（－x）＝2（－x）3＝－2x3＝－f（x），

故函数f（x）是奇函数，故函数图象关于原点对称，故选D.]

2．D　[因为f（x）为R上的奇函数，

所以f（－x）＝－f（x），f（0）＝0.

因为f（x＋2）为偶函数，

所以f（x＋2）＝f（－x＋2），

所以f（x＋4）＝f（－x）＝－f（x），

所以f（x＋8）＝f（x），

即函数f（x）的周期为8，

故f（8）＋f（9）＝f（0）＋f

（1）＝1.]

3．A　[f（x）＝x＋

的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，

且f（－x）＝－x－

＝－（x＋

）

＝－f（x）．

所以f（x）为奇函数，故选A.]

4．A　[∵f（x）是奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，

∴f

（1）＝－f（－1）＝－[2×（－1）2－（－1）]＝－3.]

5．4

解析　∵f（x）＝（x＋a）（x－4）为偶函数，

∴f（－x）＝f（x）对于任意的x都成立，

即（x＋a）（x－4）＝（－x＋a）（－x－4），

∴x2＋（a－4）x－4a＝x2＋（4－a）x－4a，

∴（a－4）x＝0，∴a＝4.

6．0

解析　因为奇函数f（x）的定义域[p，q]关于原点对称，

故有p＝－q，即p＋q＝0.

7．（－

，1]

解析　∵函数f（x）定义域在[－2,2]上为奇函数，

则由f（1＋m）＋f（m）<0，

可得f（1＋m）<－f（m）＝f（－m），

又根据条件知函数f（x）在定义域上单调递减，

∴－2≤－m<1＋m≤2，

解可得，－

8．B　[∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

且1<2<3，

∴f

（1）

（2）

又∵f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f

（2）＝f（－2），因此，

f

（1）

9．D　[∵函数f（x）对任意的x∈R有f（x）＋f（－x）＝0，

∴函数f（x）为R上的奇函数，图象关于原点对称，排除A、B，

将y＝lnx的图象向左平移1个单位长度，

即可得到f（x）＝ln（x＋1）的图象，

由对数函数的图象性质排除C，故选D.]

10．C　[若f（x）是奇函数，

则f（－x）＝－f（x），

即－x|－x＋a|＋b＝－x|x＋a|－b恒成立，

亦即x（|x－a|－|x＋a|）＝2b恒成立，

要使上式恒成立，

只需|x－a|－|x＋a|＝2b＝0，

即a＝b＝0，

故选C.]

11．{x|－2≤x≤－

或0≤x≤

}

解析　∵函数f（x）为奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

则f（x）－f（－x）＝2f（x）≥2x，

即f（x）≥x，

当x∈（0,2]，f（x）＝－

x＋1≥x，

解得0

，

当x＝0时，f（x）＝0≥x，解得x＝0，

当x∈[－2,0），f（x）＝－

x－1≥x，

解得－2≤x≤－

，

综上所述：

－2≤x≤－

或0≤x≤

.

12．－

－1

解析　∵f（x）为奇函数，x>0时，f（x）＝

＋1，

∴当x<0时，－x>0，

f（x）＝－f（－x）＝－（

＋1），

即x<0时，f（x）＝－（

＋1）

＝－

－1.

13．解　

（1）∵对于任意x1，x2∈D，

有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），

∴令x1＝x2＝1，得f

（1）＝2f

（1），

∴f

（1）＝0.

（2）令x1＝x2＝－1，

有f

（1）＝f（－1）＋f（－1），

∴f（－1）＝

f

（1）＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f（－x）

＝f（－1）＋f（x），

∴f（－x）＝f（x），∴f（x）为偶函数．

（3）依题设有f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，

由

（2）知，f（x）是偶函数，

∴f（x－1）<2⇔f（|x－1|）

又f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

∴0<|x－1|<16，

解之得－15

∴x的取值范围是{x|－15

14．解　

（1）∵函数的定义域{x|x≠±1}，

f（－x）＝

＝f（x），

∴f（x）是偶函数；

（2）f（

）＝

＝

＝－f（x），

所以f（

）＋f（x）＝0.

（3）由

（2）可得：

f（

）＋f（

）＋f（

）＋f（

）＋f（0）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）

＝0＋0＋0＋0＋f（0）＝1.