数学专业外文翻译多元函数的极值.docx

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数学专业外文翻译多元函数的极值

数学专业外文翻译--多元函数的极值

外文文献

EXTREMEVALUESOFFUNCTIONSOFSEVERALREALVARIABLES

1.StationaryPoints

Definition1.1LetandThepointaissaidtobe:

1alocalimumifforallpointssufficientlycloseto;

2alocalminimumifforallpointssufficientlycloseto;

3aglobalorabsoluteimumifforallpoints;

4aglobalorabsoluteminimumifforallpoints;;

5alocalorglobalextremumifitisalocalorglobalimumorminimum.

Definition1.2LetandThepointaissaidtobecriticalorstationarypointifandasingularpointifdoesnotexistatFact1.3Letand.Ifhasalocalorglobalextremumatthepoint,thenmustbeeither:

1acriticalpointof,or

2asingularpointof,or

3aboundarypointofFact1.4Ifisacontinuousfunctiononaclosedboundedsetthenisboundedandattainsitsbounds.

Definition1.5Acriticalpointwhichisneitheralocalimumnorminimumiscalledasaddlepoint.

Fact1.6Acriticalpointisasaddlepointifandonlyiftherearearbitrarilysmallvaluesofforwhichtakesbothpositiveandnegativevalues.

Definition1.7Ifisafunctionoftwovariablessuchthatallsecondorderpartialderivativesexistatthepoint,thentheHessianmatrixofatisthematrix

wherethederivativesareevaluatedat.

Ifisafunctionofthreevariablessuchthatallsecondorderpartialderivativesexistatthepoint,thentheHessianoffatisthematrix

wherethederivativesareevaluatedat.

Definition1.8Letbeanmatrixand,foreach,letbethematrixformedfromthefirstrowsandcolumnsof.Thedeterminantsdet,,arecalledtheleadingminorsof

Theorem1.9TheLeadingMinorTest.SupposethatisasufficientlysmoothfunctionoftwovariableswithacriticalpointatandHtheHessianofat.If,thenis:

1alocalimumif0detH1fxxand0detH;

2alocalminimumif0detH1fxxand0detH;

3asaddlepointifneitheroftheabovehold.

wherethepartialderivativesareevaluatedat.

SupposethatisasufficientlysmoothfunctionofthreevariableswithacriticalpointatandHessianHat.If,thenis:

1alocalimumif0detH1,0detH2and0detH3;

2alocalminimumif0detH1,0detH2and0detH3;

3asaddlepointifneitheroftheabovehold.

wherethepartialderivativesareevaluatedatIneachcase,ifdetH0,thencanbeeitheralocalextremumorasaddlepoint.

Example.Findandclassifythestationarypointsofthefollowingfunctions:

12

Solution.1,so

ijk

Criticalpointsoccurwhen,i.e.when

1

2

3

Usingequations2and3toeliminateyandzfrom1,weseethator,giving,and.Hencewehavethreestationarypoints:

andSince,,,,and,theHessianmatrixisAt,

whichhasleadingminors0,

Anddet.BytheLeadingMinorTest,then,isalocalminimumAt,

whichhasleadingminors0,

Anddet.BytheLeadingMinorTest,then,isalsoalocalminimum.

At,theHessianis

Sincedet,wecanapplytheleadingminortestwhichtellsusthatthisisasaddlepointsincethefirstleadingminoris0.Analternativemethodisasfollows.Inthiscaseweconsiderthevalueoftheexpression

forarbitrarilysmallvaluesofh,kandl.Butforverysmallh,kandl,cubictermsandabovearenegligibleincomparisontoquadraticandlinearterms,sothat.Ifh,kandlareallpositive,However,ifandand,then.Hencecloseto,bothincreasesanddecreases,soisasaddlepoint.

2so

ij.

Stationarypointsoccurwhen,i.e.atLetusclassifythisstationarypointwithoutconsideringtheLeadingMinorTestinthiscasetheHessianhasdeterminant0atsothetestisnotapplicable.

Let

CompletingthesquareweseethatSoforanyarbitrarilysmallvaluesofhandk,thatarenotboth0,andweseethatfhasalocalimumat2.ConstrainedExtremaandLagrangeMultipliers

Definition2.1Letfandgbefunctionsofnvariables.Anextremevalueoffxsubjecttotheconditiongx0,iscalledaconstrainedextremevalueandgx0iscalledtheconstraint.

Definition2.2Ifisafunctionofnvariables,theLagrangianfunctionoffsubjecttotheconstraintisthefunctionofn+1variables

whereisknownastheLagrangemultiplierTheLagrangianfunctionoffsubjecttothekconstraints,,isthefunctionwithkLagrangemultipliers,

Theorem2.3LetandbeapointonthecurveC,withequationgx,y0,atwhichfrestrictedtoChasalocalextremum.SupposethatbothandhavecontinuouspartialderivativesneartoandthatisnotanendpointofandthatThenthereissomesuchthatisacriticalpointoftheLagrangianFunctionProof.Sketchonly.SincePisnotanendpointand,hasatangentatwithnormalIfisnotparalleltoat,thenithasnon-zeroprojectionalongthistangentat.Butthenfincreasesanddecreasesawayfromalong,soisnotanextremum.Henceandareparallelandthereissome?

suchthatandtheresultfollows.

Example.Findtherectangularboxwiththelargestvolumethatfitsinsidetheellipsoid,giventhatitsidesareparalleltotheaxes.

Solution.Clearlytheboxwillhavethegreatestvolumeifeachofitscornerstouchtheellipse.Letonecorneroftheboxbecornerx,y,zinthepositiveoctant,thentheboxhascorners±x,±y,±zanditsvolumeisV8xyz.

WewanttoimizeVgiventhatNotethatsincetheconstraintsurfaceisboundeda/mindoesexist.TheLagrangianis

andthishascriticalpointswhen,i.e.whenNotethatwillalwaysbetheconstraintequation.AswewanttoimizeVwecanassumethatsothat.Hence,eliminating,weget

sothatandButthenso

or,whichimpliesthatandtheyareallpositivebyassumption.SoLhasonlyonestationarypointforsomevalueof,whichwecouldworkoutifwewantedto.Sinceitistheonlystationarypointitmusttherequiredandthevolumeis

中文译文多元函数的极值

1.稳定点

定义1.1使并且.对于任意一点有以下定义:

1如果对于所有充分地接近时,则是一个局部极大值;

2如果对于所有充分地接近时,则是一个局部极小值;

3如果对于所有点成立,则是一个全局极大值（或绝对极大值）;

4如果对于所有点成立,则是一个全局极小值（或绝对极小值）;5局部极大（小）值统称为局部极值;全局极大（小）值统称为全局极值.

定义1.2使并且.对于任意一点,如果,并且对于任意奇异点都不存在,则称是一个关键点或稳定点.

结论1.3使并且.如果有局部极值或全局极值对于一点,则一定是:

1函数的一个关键点,或者

2函数的一个奇异点,或者

3定义域的一个边界点.

结论1.4如果函数是一个在闭区间上的连续函数,则在区间上有边界并且可以取到边界值.

定义1.5对于任一个关键点,当既不是局部极大值也不是局部极小值时,叫做函数的鞍点.

结论1.6对于一个关键点是鞍点当且仅当任意小时,对于函数取正值和负值.

定义1.7如果是二元函数,并且在点处所有二阶偏导数都存在,则则根据函数在点处导数,有在点处的Hessian矩阵为:

推广:

如果是三元函数,并且在点处所有二阶偏导数都存在,则根据函数在点处导数,有在点处的Hessian矩阵为:

定义1.8矩阵是阶矩阵,并且对于每一个都有,从矩阵中选取左上端的行和列,令其为阶的矩阵.则行列式det,,叫做矩阵的顺序主子式定理1.9假如是一个充分光滑的二元函数,且在点处稳定,其Hessian矩阵为H.如果,则根据偏导数判定点是:

1一个局部极大值点,如果0detH1fxx并且0detH;2一个局部极小值点,如果0detH1fxx并且0detH;

3一个鞍点,如果点既不是局部极大值点也不是局部极小值点.

假如是一个充分光滑的三元函数,且在点处稳定,其Hessian矩阵为H.如果,则根据偏导数判定点是:

1一个局部极大值点,如果当0detH1,0detH2并且0detH3时;

2一个局部极小值点,如果当0detH1,0detH2并且0detH3时;

3一个鞍点,如果点既不是局部极大值点也不是局部极小值点在不同的情况下,当detH0时,点是一个局部极值点,或者是一个鞍点例.确定下列函数的稳定点并说明是哪一类点:

12解.1,so

ijk

当时有稳定点,也就是说,当123

时,将方程2和方程3带入到方程1可以消去变量y和z,由此可以得到

即,得,和.因此我们可以得到函数的三个稳定点:

和又因为,,,,和,则Hessian矩阵为在点处,则顺序主子式0,

并且行列式.根据主子式判定方法,则点是一个局部极小值点在点处,则顺序主子式0,

并且行列式.根据主子式判定方法,则点也是一个极小值点.

在点处,Hessian矩阵为

因此det,根据主子式判定方法,第一主子式为0,由此我们可以知道该点是一个鞍点.下面是另一种计算方法,在这种情况下,我们考虑现在下面函数表达式

的值,对于任意h,k和l无限小时.担当h,k和l非常小时,三次及三次以上方程相对线性二次方程时可忽略不计,则原方程可为.当h,k和l都为正时,.然而,当、和,则.因此当接近时,同时增加或者同时减少,所以是一个鞍点.

2so

ij.

当时有稳定点,也就是说,当在时.

现在我们在不考虑主子式判定方法的情况下为该稳定点进行分类（因为在时Hessian矩阵的行列式为0,所以该判定方法在此刻无法应用）.

令

配成完全平方的形式为所以对h和k为任意小时（h和k都不为0）,有,因此我们可以确定函数f在点处有局部极大值.

2.条件极值和Lagrange乘数法

定义2.1函数f和函数g都是n元函数.对于限制在条件gx0下的函数fx的极值叫做函数的条件极值,函数gx0叫做限制条件.

定义2.2如果函数是一个n元函数,则对应于函数f的Lagrange函数在限制条件下的函数是一个n+1元函数

这就是著名的Lagrange乘数法对应于函数f的Lagrange函数在k个限制条件,时,带有k个的Lagrange函数为:

定理2.3使并且是曲线C上的一个点,有方程gx,y0成立,则在限制条件C上函数有局部极值.假设函数和函数在点都有连续的偏导数,点不是曲线的端点,且.因此存在的值使得点是Lagrange函数的关键点证明.仅仅描述.因为点不是曲线的端点,且,则曲线在点处的切线与有关如果在点处与平行,则函数在点处的切线有非零值.但另一方面函数f的值随着在的运动增加减小,所以点不是极值点.因为和平行,所以存在使得成立例.求内接于椭球的体积最大的长方体的体积,长方体的各个面平行于坐标面解:

明显地,当长方体的体积最大时,长方体的各个顶点一定在椭球上.设长方体的一个顶点坐标为x,y,zx0,y0,z0,则长方体的其他顶点坐标分别为±x,±y,±z,并且长方体的体积为V8xyz.

我们要求V在条件下的最大值.注意:

因为约束条件是有边界的,故其一定存在极大或者极小值.其Lagrange函数为

并且存在稳定点当时,也就是说,当时.注意:

是约束方程.要想求得体积V的最大值,假设,则可得.因此,用其他式子表示,我们可以得到

消去,有和进而得出,因此有

或者得出,同理可得出和根据假设可得x,y,z都是正值所以函数L有且仅有一个稳定点为某一计算可得到的常数.又因为该点是函数L的唯一稳定点,则该稳定点一定是所要求的最大值点,故其体积的最大值为